本文摘自Vehicle System Dynamics
原文题目：
"Improving the robustness of an MPC-based obstacle avoidance algorithm to parametric uncertainty using worst-case scenarios"
原作者：
Jiechao Liu, Paramsothy Jayakumar, Jeffrey L. Stein & Tulga Ersal
作者单位：
Department of Mechanical Engineering, University of Michigan, Ann Arbor, MI, USA
作者之前的工作重点是避开未知和非结构化环境中的大型高速独立地面车辆。在优化速度和转向命令的同时，提出了基于非线性模型预测控制的算法。该算法可以在不损害安全性的情况下，尽快将车辆的动态极限导航到目标位置。在该算法中，车辆模型用于预测和优化未来动作，但在实践中，模型参数值不准确。因此，本文评估了算法对参数不确定性的鲁棒性。在考虑参数不确定性分布24%的评估场景中，首次证明了在算法中使用标称参数值会导致安全问题。为了提高算法的鲁棒性，提出了满足高速避障无碰撞、无车轮提升两个安全要求的新的双重最坏情况公式。对随机分层和最坏情况的模拟结果表明，双最坏情况公式使算法对所有测试的不确定性具有鲁棒性。本文还量化了鲁棒与任务完成性能之间的权衡。
1
自动地面车辆(AGV)它不仅可以有效地减少事故，提高民用应用的流动性，还可以提高军事应用中的人员安全和任务完成性能。AGV所有的潜力都取决于许多算法的开发和成功部署，包括避障。
障碍避免是指基于传感器测量和/或环境的先验地图生成控制命令，安全围绕障碍物导航车辆的任务。文献中有不同的目标AGV开发了许多避障算法，如[1-8]。
与大多数以前的工作不同，本文感兴趣的背景是未知和非结构化环境中的大型高速公路AGV避免障碍。这种背景是由军事应用驱动的，其中高速机动是安全和任务完成性能的关键要求。然而，对于大型高速车辆，避障操作会导致稳定性或操作问题，如过度侧滑、车轮抬起甚至翻车。请注意，高速术语用于地面机器人的操作速度。地面机器人的操作速度约为2米/秒 。特别是如果速度高于5米/秒(11英里/小时)，在这项工作中被认为是高速。超过这个速度，车辆动力学开始在车辆的机动性中发挥重要作用，将这些动态纳入路径规划是我们背景下的关键要求之一。因此，需要避障算法，该算法可以利用车辆动力学最大化任务来完成性能AGV安全[9]。
具体来说，在这项工作中，平坦地形上的典型军用卡车被认为是代表性的大型AGV。它的任务是尽可能安全地从初始位置移动到给定的目标位置。因此，如果有必要，希望AGV高速运行，接近其动态极限。环境是非结构化的，这意味着没有通道或交通规则需要遵循。此外，在初始位置和目标位置之间存在障碍。它们的位置、大小和形状是未知的，但当它们在平面光检测和测距中时(LIDAR)检测到传感器的范围。
作者之前的工作考虑了这个问题，描述了未知和非结构化的环境AGV避障算法[10-12]。该算法基于非线性模型预测控制(MPC)公式。该算法的新颖之处在于，它可以控制车辆，避免静止障碍物，并尽快导航到目标位置，并考虑动态安全约束。参考纵向速度和转向控制命令同时优化，没有环境先验知识，也没有参考轨迹需要遵循。在算法中，AGV该模型用于预测和优化未来动作。该模型依赖于多个车辆和轮胎参数值。模拟结果显示，当MPC当使用的参数值准确时，该算法可以安全地利用不同尺寸和数量的动态极限[11]。
本文旨在研究参数不确定性对上述避障算法的影响，提高算法的鲁棒性。[11]中使用的参数值被认为是准确的，但实际上是不确定的。这种不确定性会影响避障算法的有效性和任务完成性能。更具体地说，参数不确定性表示参数值是恒定但未知的。然而，参数值的概率分布或界限是先验已知的[13]。这种避障算法对参数不确定性的鲁棒性以及如何改进它是文献中尚未解决的研究问题。因此，它们是本文的重点。
通过考虑鲁棒性或随机性，文献[14-16]提出了许多方法MPC提高公式中给定的不确定性分布MPC鲁棒性算法。这些方法已应用于自动驾驶和车辆主动安全[17]。还有一理一般加法不确定性的算法，可以将其应用于参数不确定性。这些算法分为三种常用方法：(i)基于最小开环 - 最大优化的方法是满足所有可能不确定性的约束，如[18]；(ii)基于辅助控制器的方法，采用强制反馈控制动作，确保实际状态轨迹不偏离[19、20]等超过指定边界的前馈轨迹；(iii)基于情境的方法，通过评估大量不确定性样本中的机会约束，将机会约束转化为确定性对应物，如[21]；场景表示不确定性分布的具体实现或样本。本文还使用了相同的术语。
大多数算法来自前两种方法(分析鲁棒或随机)MPC仅限于线性系统和高斯分布。这种限制是为了促进不确定系统状态和/或计算不变管和辅助控制器增益的传播。但作者之前的工作得出结论，模型非线性对应用兴趣至关重要[10，12]。虽然模型非线性迭代在线线性化是可能的[22]，但线性模型在小区域周围的参考状态与输入向量的线性化非常相似。由于没有参考轨迹，为了避免在非结构化环境中避免障碍物，除了避免障碍物外，找到最佳路径也是任务的一部分。在可能明显偏离当前方向的方向上，成功导航[11]需要相对较长的预测范围。因此，小区域假设可能不成立。
与前两类相比，只要评估足够数量的随机样本，基于场景的方法就可以应用于任何类型的模型和不确定性分布。然而，主要缺点是，随着不确定参数的数量和这些参数可能使用的值范围，问题规模呈指数增长[23]。
一些研究工作除了考虑一般加性不确定性的文献外，还特别关注参数不确定性。例如，Walton将不确定参数视为优化变量。然后，她使用成本函数将原始成本乘以参数范围内的概率密度函数来解释不确定性。然而，该应用仅限于最佳控制问题(OCP)动态模型约束中的成本函数和参数不确定性，包括路径约束中的参数不确定性。Xiong[24]等人将原始随机轨迹优化问题转化为扩展的高维状态空间中的等效确定性问题。这种方法可以用来处理路径约束。然而，在扩展确定性状态方程中的状态数ns 等于原始状态数nr，此外，状态扩展系数的总数为，ne是未知参数的数量，np它是多项混沌扩展的阶数[25]。随着多项阶数和位置参数的数量的快速增长。因此，由于参数较多，该方法不适用于本文的问题。因此，现有的处理参数不确定性的方法并不容易适用于我们感兴趣的问题，包括非线性动力学模型、非线性路径约束和大量参数。
因此，本文提出了一种新的方法来提高避障算法对参数不确定性的鲁棒性。特别是，给出一个可以满足双重最坏情况的公式AGV中高速避障的两个安全要求:无碰撞、无车轮提升。与基于场景的方法类似，提出的方法也使MPC算法中的OCP公式中的约束在所有考虑的场景中都是安全的。然而，我们不考虑使用数百个随机生成的场景，而只考虑两个场景。这两种场景是与工作中确定的两种不安全场景相对应的两种最可能和最坏的场景。此外，并不是所有的场景都被用来检查所有的约束，而是每个最可能和最坏的情况都被用来检查与场景相关的约束的满意度。这种改进有助于最小化改进OCP为了保证鲁棒性，策略中的约束数。结果表明，虽然参数不确定性分布的所有可能性都无法保证，但由于工作中使用的最坏情况的独特性和近似性，提出的公式提高了算法的鲁棒性。本文还量化了基础MPC的避障算法的鲁棒性和任务完成性能之间的权衡。
本文的其余部分安排如下。第二节总结了基于开发的发展MPC避障算法列出了所有参数的标称值和相关的不确定性水平。第三节介绍了参数不确定性的鲁棒评估结果。第四节介绍了通过考虑最坏情况来提高稳定性的新策略。第五节显示并讨论了模拟结果。结论见第六节。
2
图1显示了AGV非线性非线性非闭环状态MPC算法示意图。基于模拟的研究，AGV使用14自由度(DoF)车动力学模型来表示[26]。在基于MPC的避障算法中，多相OCP被制定为在LIDAR传感器的检测范围内优化参考纵向速度和转向控制命令。该算法可以通过受到各种约束的平滑控制命令尽可能快地导航车辆，例如加速度限制，转向限制和安全操纵区域。
图1 基于MPC的避障算法的示意图
在MPC的每个步骤，建立并求解一个或多个多相OCP以同时优化转向角和参考速度曲线。一般形式的避障的最优控制问题的公式由公式(1)-(10)给出。
通过最小化等式(1)中指定的成本函数，受制于所有阶段的等式(2)-(8)中定义的约束，以及等式(9)-(10)中针对预测的初始点和结束点定义的约束，最佳状态轨迹，最优控制轨迹，时间T i 包含从一个子区域到下一个子区域的转换，其中N是阶段的总数; 即给定序列中的子区域的数量。特别地，成本函数等式(1)包括两个部分，即终端成本和被积函数的积分成本。等式(2)是车辆动力学模型。等式(3)和(4)分别指定状态和控制变量的界限。等式(5)定义了动态安全约束，等式(6)规定了避免障碍物的位置约束。等式(7)和(8)分别确保状态变量的连续性和不同阶段之间的时间。等式(9)称为终端约束，它限制状态变量的初始值和最终值。等式(10)指定预测时间的范围，预测时间也是要优化的变量。该配方的详细说明见[ 11 ]由于篇幅考虑而在本文中省略。
AGV的模型包含在OCP公式中，以预测和优化其在预测范围内的行为。特别地，使用三个DoF单轨非线性车辆模型，其考虑纵向载荷传递和轮胎非线性[11]。Pacejka Magic Formula轮胎模型[27] 用于预测横向力作为相应轮胎垂直载荷和侧偏角的函数。在这项工作中，通过将所有四个轮胎上的载荷限制在总是高于正的最小阈值，直接考虑无轮提升要求。具有经验估计的载荷传递系数的方程用于通过考虑车辆的纵向和横向载荷传递来预测轮胎垂直载荷[28]。
表1总结了非线性MPC模型中使用的参数列表和相关的不确定性水平。假设不确定性分布是独立的，并且遵循给定上限和下限的均匀分布。特别地，假设质量和惯性项具有±10%的不确定性，重心(CoG)位置测量有±20%的不确定性，并且轮胎参数有±30%的不确定性。基于测量参数值的难度估计不确定性水平。通常，轮胎模型中使用的参数值比车辆参数更不确定，尤其是在非结构化环境中，其通常是越野的。与质量和惯性测量相比，车辆重心位置测量具有更大的不确定性，因为重心位置可以容易地移动。假设与两个轴之间的距离相关的不确定性LV ，和轮胎半径Rt可以忽略不计，因为它们可以轻松直接地测量。质量和惯性的不确定性范围可能包括由于燃料消耗引起的微小变化，但不考虑大的变化(例如由于额外的有效载荷)。以下部分中给出的结果基于参数标称值和不确定性水平的这些假设。当做出不同的假设时，特定的数值结果(例如，失效情景的百分比)可能不成立，但仍然可以应用相同的方法。
表1 MPC模型中使用的参数列表
3
在我们之前的工作中，假设没有参数不确定性。因此，MPC模型中使用的参数值是表1中列出的标称值 。这些标称值也用于14DoF模型，然后用于证明避障算法在闭环模拟中的有效性。当存在参数不确定性时，有必要在使用标称参数值时首先评估算法的鲁棒性。MPC框架由于反馈和重新规划而具有固有的鲁棒性。因此，MPC算法可能已经对上面考虑的参数不确定性具有鲁棒性，并且不需要额外的策略。为了执行该任务，进行闭环仿真，其中每个仿真使用从参数不确定性分布采样的车辆模型中的不同参数值集。另一方面，MPC模型参数在模拟中都保存在标称值中。
由于有12个具有不确定性的参数，因此需要对参数值进行适当的采样，以便用有限数量的模拟来覆盖大部分参数不确定性域。特别是，拉丁超立方体设计(LHD)用于从多维分布中生成易处理的参数值近似随机样本集合[29]。LHD是这样执行的，每一个nd维度被划分为nl 等水平，在每个水平只有一个样本。随机过程用于确定样本位置。具体地说，对于这个问题，有12个维度，每个维度被分成50个相等的级别。本文中使用的LHD经过优化，具有良好的空间填充质量和样品之间的低相关性[30]。因此，获得50组参数值，换句话说，50个场景。
由于避障的安全要求有两个，即无碰撞和无车轮提升，两个明显的安全问题是碰撞和车轮提升，这些都是严重违反安全要求的。此外，安全边际包含在OCP的约束公式中。违反这些限制的场景，即在没有碰撞或车轮升空的情况下进入安全边缘，是违规行为。在基于仿真的鲁棒性研究中，硬性和软性违规都被认为是不可接受的。换句话说，当到障碍物或轮胎垂直载荷的距离小于相应的安全裕度时，AGV被认为是不安全的。AGV在这些模拟中的任务是从其起始位置移动并从指定方向穿过给定目标位置。从而，任务完成定义为在最终目标位置移动并沿指定方向前进。因此，安全和任务完成都很重要。当AGV从与指定值相比具有大于或等于10度差异的不同方向穿过目标位置时，即使没有任何安全违规，也将其视为失败。
图2显示了50个场景的模拟结果，其中障碍物图由两个障碍物组成。在该测试中，最终航向角必须与初始航向方向相同。总之，50个场景中的38个场景中的AGV成功完成任务，没有任何软或硬违规安全要求，如图 2(a，b)所示。其余12个情景导致硬性或软性违规。如图2(c,d)所示，在10种情况下观察到软违规。所有软违规都违反了最小垂直负载阈值，没有观察到违反到障碍物阈值的最小距离。这10种情况中的一种会导致轨迹非常接近障碍物，然后减速以避免碰撞，这将导致明显不同的、更长的路径。此外，由于没有满足最终的航向角要求，此场景无法成功完成任务。在两个场景中观察到硬违规。由于观察到如图2(e,f)所示的车轮提升，这些模拟在AGV到达目标位置之前就终止了。因此，该算法对假设的参数不确定性分布不具有很强的鲁棒性。24%的测试场景违反了安全要求。
图2 使用具有标称参数值的避障算法的LHD场景的闭环仿真结果。(a)38个没有安全问题的情景的轨迹剖面; (b)38个情景的最小垂直载荷剖面图，没有安全问题; (c)违反垂直载荷阈值的10种情景的轨迹剖面; (d)违反垂直载荷阈值的10种情景的最小垂直载荷剖面; (e)单轮提升的两种情况的轨迹轮廓。(f)两个方案的最小垂直载荷曲线，单轮提升。
4
本文提出了一种新的方法来提高避障算法对参数不确定性的鲁棒性。如第1节所述，基于场景的方法可以应用于非线性动力学模型所考虑的问题。然而，因为MPC模型具有大量参数，所以需要数百个随机生成的场景来提供机会约束的相对高置信水平，这在计算上是难以处理的。为了克服这一挑战，开发了一种双重最坏情况的策略。执行具有各种场景的系统离线模拟以识别将导致主动约束的场景。因此，计算负担被离线转移。因此，在提出的鲁棒性公式中仅考虑两种情况。它们是两种最可能的最坏情况，与AGV中的高速避障的两个安全要求相对应：无碰撞和无车轮提升。每个场景仅用于检查相应约束的满足，而不是应用两个场景来检查所有约束。这种改进用于减少增强OCP配方中的约束数量以确保鲁棒性。
在4.1节中，确定了两种类型的不安全情景。使用度量来定性地表征它们中的每一个，度量是AGV状态变量的函数。第4.2节介绍了获得两种最可能出现的最坏情况的过程。为了验证获得的最可能的最坏情况并且识别与最可能的最坏情况场景明显不同的最不可能的最坏情况场景，进行进一步的开环仿真。结果见4.3节。通过获得最可能的最坏情况和不太可能的最坏情况，第4.4节介绍了两种双重最坏情况的公式。
为了给出最坏情况的定义，首先定义了不安全的场景。如果具有特定情景的闭环结果揭示安全问题，即软违规或硬违规，则该情景被认为是不安全的。然而，场景是否不安全的理由取决于障碍场以及MPC算法中使用的车辆模型和参数值。这是因为具有该场景的AGV的控制命令是由算法响应于给定的障碍场而生成的。然而，由于无限多种可能性，试图列举所有可能的障碍场将是徒劳的。因此，为了使最坏情况的分析易于处理，我们使用恒定转向恒定加速度运动产生的开环仿真结果。这些操作可被视为更一般控制命令的主题。换句话说，对于任何障碍场，由算法在给定步骤产生的控制命令可以通过该组中的一个操纵来近似。因此，这种开环方法从分析中消除了策略和障碍场的特殊性。因此，减少了分析中要考虑的相互依赖性的数量。换句话说，开环分析使我们只关注与本文目标一致的参数不确定性。这种开环方法从分析中消除了配方和障碍场的特殊性。因此，减少了分析中要考虑的相互依赖性的数量。
对应于图2(c-f)中所示的闭环仿真结果的场景是所考虑的障碍场和使用标称参数值的MPC算法的不安全场景。使用这些不安全情况的两个典型恒定转向恒定加速运动的开环仿真结果如图3所示。这些结果有助于根据车辆响应分析不安全情景的特征。图 3(a-c)是具有恒定加速度的结果; 和图3(d-f)是具有恒定减速度的结果。选择这两个操纵是因为纵向加速度显着影响纵向载荷传递和车辆对转向的灵敏度。
图3.相应的开环仿真结果，其中闭环仿真中的不安全情景与标称情景的结果进行了比较。(a)轮胎垂直载荷剖面：加速度; (b)轨迹轮廓：加速度; (c)轨迹轮廓(放大视图)：加速度;(d)轮胎垂直载荷轮廓：减速; (e)轨迹轮廓：减速; (f)轨迹轮廓(放大视图)：减速。
如图3所示(a，d)，在12个开环结果中有11个出现不安全情景时，预测的轮胎垂直载荷值几乎总是小于预测范围内标称情景预测的值。由于垂直载荷值预测之间的差异，即使MPC算法生成的标称参数值的控制命令满足OCP公式中的动态安全约束，具有这些情形的AGV仍会遇到违反最小轮胎垂直的情况执行控制命令后，加载阈值或甚至车轮提升。因此，第一类不安全情景的特征在于轮胎垂直载荷值。由于垂直载荷曲线是定时的数据序列，因此最小轮胎垂直载荷值用作评估度量。值越小意味着不安全的可能性越大。作为示例，具有用于轮胎垂直载荷预测的给定控制命令的标称方案的度量值是，这是图4(a)中圆圈所示的值。
图4.使用名义场景和控制命令举例说明的评估指标的定义：。 (a)最小轮胎垂直载荷是用于评估轮胎垂直载荷预测的度量; (b)轨迹下的面积是用于表征轨迹“刚度”的度量。
对于不属于前一种类型的一种情况，其轨迹是12种情景中的“最硬”，如图3所示(b，e)。换句话说，具有这种情况的AGV不能像使用相同控制命令的标称情况一样变得尖锐。因此，由MPC模型产生的具有标称参数值的转向命令不足以使AGV远离障碍物足够早地驾驶AGV。因此，由于缺乏足够的转弯，AGV非常接近障碍物，这导致需要大的校正努力和显著的迂回，并导致不能完成任务。对于不同的障碍场，可能违反最小距离到障碍物阈值甚至碰撞。因此，第二类不安全情景的特征在于轨迹“刚度”，其定义为轨迹轮廓下的面积。度量值越小，轨迹越“僵硬”。举个例子, 这是图4(b)中阴影区域。
总之，所识别的两种类型的不安全场景被命名为小型垂直载荷类型和“刚性”轨迹类型。请注意，这两种类型的不安全场景是截然不同的; 如图3中的结果所示，小的垂直载荷场景不是“硬的”轨迹场景，反之亦然。
对于每种类型的不安全场景，导致最小度量值的场景是特定运动的最坏情况。确定最坏情况是至关重要的，因为如果最坏情况可以保证安全，那么所有其他方案也是安全的。由于模型非线性，很难(如果不是不可能的话)分析地获得最可能的最坏情况; 因此，使用数值方法。本节介绍了用于获取每种不安全情景的最可能最坏情况的统计方法。
因为有12个参数，所以由于大量组合，参数之间的相互作用被忽略。有关此假设的更多讨论可在本节后面部分找到。使用离线开环仿真结果独立地研究每个参数值对度量的影响。一组恒定转向恒定加速度操纵用于评估。考虑转向角，加速度和初始速度值的不同组合。
因此，该选择的方案基于车辆控制命令的固定网格采样。使用这种方案的主要原因是它是系统的和计算上易处理的。这是系统性的，因为该组操纵以详尽的方式覆盖AGV的整个操作空间，直到所考虑的网格的分辨率。就计算负荷而言，需要这种方法以便于调整网格间隔以在精度和计算需求之间达到平衡。这种确定性方法的替代方案是随机方案。一种选择是生成随机障碍场并执行闭环仿真。然而，这需要大量的计算资源才能得出任何统计上有意义的结论并且是不可行的。另一种选择是随机生成开环机动。使用该方案的困难在于确定确保满意地覆盖整个操作空间所需的模拟次数。
在这种情况下，术语最可能是最坏情况用于指代导致大多数考虑的操作的最小度量值的场景，这是我们对基于有限集的实际最坏情况场景的最佳猜测。请注意，这个术语的使用并不意味着所获得的场景是所有可能场景中最有可能的一个。相反，它是在考虑的场景中最有可能的一个，并从统计上得到。
表2列出了为每个命令考虑的值序列。使用图5中所示的初始速度和加速度对，其中在2秒的模拟中消除了产生小于5m/s或大于29m/s的速度对。使用这两种限速是因为速度低于5m/s不构成任何挑战，车辆的最高速度为29m/s。对于每一对，考虑表2中指定的转向角值序列。
图5 用于获得最坏情况的参数化评估操作中使用的成对纵向速度和加速度命令
表2 参数化评估操作中使用的命令的值
对每一个Np，考虑Nv 的值在不确定范围[vmin,I , vmax,i ]之内，其中i是参数的索引。换句话说，评估场景Nv ，其中只有一个参数值是变化的，其他参数值保持在它们的参考值。初始参考值是标称参数值。对于每种类型的不安全场景，在使用初始参考值获得最可能出现的最坏情况后，重复算法1将最可能出现的最坏情况更新为最可能出现的最坏情况，而之前最可能出现的最坏情况则更新为新的参考值。如果更新的最可能最坏的情况与前一个相同，那么最可能最坏的情况就确定下来了。否则，算法1将再次重复，以更新的最坏情况作为新的参考值，直到收敛为止。
在算法1中，对于每个考虑的参数，针对模拟车辆模型为Nv 场景和Nm 操纵的所有组合生成两个矩阵。第一个Isafe 记录所考虑场景中的操作是否安全。第二个记录根据车辆响应计算的度量值。这两个矩阵的大小都是Nm ×Nv 。只有当操纵对所有考虑的情况都是安全的时，才使用相应的度量值来确定最可能出现的最坏情况。例如，图6(a)说明了参数hCG 在1127个操纵下弹道轨迹度量值的影响，其中关系都是单调的，近似线性。每条线对应一个动作。将显示标准化度量，其中每一行的中值设置为0。利用这些结果，得到了产生最小度量值的参数的值。然而，这一价值并不独特，因为它取决于操作。在本例中，在1127次机动中，有333次(约30%)使用hCG 的下界值来获得最小的度量值。对于剩余的794个操作，它是通过上限值实现的。图6(b)显示了操作空间的投影视图所对应的操作。一般来说，当AGV加速时，较大的hCG 值会导致更硬的轨迹。此外，还观察到，度量值的变化范围也取决于操纵。当hCG 值较大时，更硬轨迹的最大变化范围为18.9,hCG 值较小时，最硬轨迹的最大变化范围为6.3。在考虑机动次数和最大偏差范围的基础上，得出hCG 的上界值在最可能最硬轨迹的参数值集中。
图6 评价hCG 值和其它参数对弹道刚度度量值的影响。(a)在各种评估机动情况下，正规化轨道刚度度量值与hCG值的变化;(b)控制命令对弹道刚度度量值与hCG值关系的影响
对于所考虑的车辆模型和参数不确定性分布，在重复算法1 两到三次后，每种类型的最坏情况最可能收敛。图7总结了算法最后一次运行时各参数对轨迹刚度和垂直荷载指标的影响。在每个图中，顶部的子图显示了导致参数值和度量值之间的单调递增关系(Nin/Nin + Nde + Not)、单调递减关系(Nde/Nin + Nde +Not)和非单调关系(Not/Nin + Nde + Not)的机动百分比。每个关系(Rin、Rde和Rot)的度量值的最大偏差范围总结在第二个子图中。最后一个子图通过引入投票度量N·R并将其标准化，从而将上述信息组合在一起，使每个参数的最大投票度量为1。然后使用投票度量值来确定每种类型中最可能出现的最坏情况。对于每个参数，如果单调增加关系的投票度量是最大的，则参数下限值在最可能最坏情况的参数值集合中，而如果单调递减关系的投票度量是最大的，参数上限值在集合中。然而，如果非单调关系具有最大的投票度量值，则需要对结果进行更详细的讨论，如下所示。
图7.使用条形图对所有参数对预测指标的影响摘要。(a)轨迹预测; (b)垂直载荷预测。
对于轨迹预测，如图 7(a)所示，除了参数hCG 已经在上面详细讨论过，其他参数对轨迹刚度度量的影响几乎与操作无关。因此，可以直接根据结果汇总最“可能”最坏情况的“最强”轨迹，如表 3所示。
表3.名义场景的参数值和最可能的最坏情况场景
对于垂直载荷预测，操作的影响较大，但仍存在主要趋势，如图7(b)所示。需要更详细讨论的两个参数是Lf 和Pd。对于超过一半的操作，垂直负荷指标不会随着两个参数的参数值单调变化。然而，在356次操纵中有309次(约87%)，Lf 的下界值导致垂直载荷最小。在355次操纵中有308次(约87%)，Pd 的上限值越高，垂直载荷测量值越小。因此，确定Lf 的下界值和Pd 的上界值都在最可能出现最小垂直荷载情况的参数集中。通过投票度量值和对算法1的详细结果的进一步分析，确定了垂直荷载最小时最可能出现的最坏情况，如表3所示。
此过程的目标是使用系统方法来获得对最坏情况的最佳猜测。由于参数众多，在精度和计算量之间存在权衡。因此，我们选择了固定网格采样方法，每次只考虑一个参数。用这种方法，计算时间是有限的。因此，尽管问题的维数很大，分析的优点是它在计算上是容易处理的。分析的不足之处在于缺少对参数共变的考虑，而参数共变对结论的影响可能是显著的，也可能是不显著的。探索这种共变的重要性仍然是一个有待研究的问题。一个可选的方案是使用蒙特卡罗方法，它随机地探索搜索空间，如果确定足够数量的模拟的挑战可以解决，并且结果的数量在计算上是可行的。
此外，还发现转向角命令对轨迹预测和垂直负荷预测的度量值没有显著影响。对于轨迹预测，由于hCG 只在加速度过程中呈单调递减，因此最可能出现的最坏情况是只有正加速度指令的实际最坏情况。对于垂直负荷预测，确定最可能出现的最坏情况是实际的最坏情况，这要复杂得多。除Lf 外， Pk 和Pk,z 是两个最重要的偏差范围参数。垂直荷载度量值相对于控制命令的参数值的单调性如图8所示。据观察，最可能出现的最坏情况并不是从高初始速度开始的高减速操纵的实际最坏情况。因此，以下三组控制命令用于以下开环仿真，包括加速、中减速和硬减速动作。这三次演习的初始速度是相同的。选择转向命令使最小的垂直载荷大致相同。
图8 垂直负载度量值相对于作为控制命令函数的参数值的单调性
使用算法1，不考虑参数之间的交互效果。虽然算法重复多次以考虑交互效果，但它仅在有限的意义上这样做。因此，为了验证获得的最可能的最坏情况场景，使用第3节中使用的LHD场景以及包含所有参数的上限或下限的所有场景来执行开环模拟。后一组结果也可用于识别与最可能的最坏情况明显不同的最不可能的最坏情况。
在图 9和 10中，使用表3中列出的情景 的开环仿真结果绘制在具有LHD情景的开环仿真结果之上。来自LHD场景的所有轨迹比最可能的“最强”轨迹场景中的轨迹更“灵活”。来自所有LHD场景的最小垂直载荷也大于最可能的最小垂直载荷场景中的值。然而，当使用不同的初始状态值组时，如图10(c)所示，最小的垂直负载情况可能并不总是最坏的，具有硬减速。
图9.开放式仿真结果的轨迹曲线与标称情景，获得的最可能的最坏情况和LHD情景。(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.
图10 对垂直荷载分布的开环仿真结果与标称方案、得到的最可能最坏情况和LHD方案进行了比较(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.
如图7所示，参数值和度量值之间的大多数关系是单调的。即使它们不是，最小的度量值几乎总是用参数值的上限或下限来实现。为了利用这种观察，然后通过假设每个参数只能采用两个值(上限值和下限值)来执行另一组开环模拟。因此，考虑212=4096种方案，结果显示在图11和12中。
图11 开环仿真结果的轨迹曲线，包括标称情景，最可能获得的最坏情况，以及参数下限值和上限值的所有组合。(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.
图12 开环仿真结果的垂直负载曲线，其中包括标称情景，获得的最可能的最坏情况，以及参数下限值和上限值的所有组合。(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.
据观察，当AGV加速时，这两种最可能的最坏情况是所有考虑的情景中的实际最坏情况。然而，当AGV减速时，它们不一定是实际的最坏情况，并且随着减速度的增加，差异变大。对于轨迹预测，使用下限值实现最小度量值用于减速机动。但是，hCG 上限值用于最可能的最坏情况。因此，存在更糟糕的情况，如图 11(c)所示。因为效果如图7(a)的第二子图所示，在轨迹预测仅排在第6位， 从最可能的最坏情况场景和实际最坏情况场景的轨迹之间的差异很小并且可以忽略。为了证实这种推断，表4列出了轨迹预测的最坏情况不太可能， 并在下一节中用于闭环仿真。
表4 不太可能的最坏情况的参数值(粗体字表示与表3中列出的相应方案的差异)
对于垂直载荷预测，加速度和适度减速度，最可能的最坏情况是实际最坏情况，如图 12(a，b)所示。但是，它没有硬减速，如图 12(c)所示。如果由导致最小度量值的场景生成的垂直负载分布是沿整个模拟范围的垂直负载的下限，则将是有益的。然而，这种情况并非如此; 下限由多个场景的结果组成，如图 13(b，c)所示。这些情景被认为是垂直负荷预测的最不可能的最坏情况，并列于表4中。
图13 开环仿真结果的垂直负载曲线，其中垂直负载预测的最可能和最不可能的最坏情况以及参数下限值和上限值的所有组合。(a)操作A; (b)操作B; (c)操作C.
为了提高避障算法的鲁棒性，考虑了两种方法。第一种方法使策略保持原样，并使用MPC公式中两种最可能的最坏情况中的任何一种。第二种方法同时考虑两种类型的最坏情况，称为双重最坏情况公式。在本文中，提出了两种双重最坏情况的配方。第一种情况仅考虑两种最可能的最坏情况，并且每种情况都用于仅检查相关约束。第二个也考虑了最不可能出现的最坏情况场景，除了两个最可能的最坏情况之外，在策略中没有引入额外的场景。
由于MPC框架固有的鲁棒性，具有名义情景的原始公式(称为MPC0)可以在一定程度上容忍参数不确定性。图2中显示的结果 用作评估有效性的基准，并研究在提高参数不确定性的鲁棒性方面的权衡。
另外两个也被考虑的MPC实现是具有最可能“最强”轨迹情景(MPC1)的原始公式，或者具有最可能最小垂直负载情形(MPC2)的原始公式。这两种实现不会增加OCP公式的复杂性，只会改变MPC模型中使用的参数值。术语“最强”的轨迹场景用于指出基于轨迹“刚度”的最可能的最坏情况。类似地使用术语最可能的最小垂直载荷场景。
第一个双重最坏情况公式(MPC3)同时考虑两个最可能的最坏情况，并且每个都用于仅检查相关约束，这需要增加原始OCP公式。增强的MPC模型由等式(11)-(22)指定。要优化的控制命令是纵向加加速度Jx 和转向加速度 ηf， 用于提供对车辆的平稳控制。
其中，U 是纵向速度，ax 是纵向加速度，δf 是转向角，γf 是转向角变化率。
分别用两种最坏情况下的参数值，同时计算了两组横向动力学和横摆动力学。第一组动力学方程使用最可能发生的刚性最大轨迹场景的参数值ptraj，下标traj表示相应的参数和变量。
其中vtraj 是车辆坐标系中的纵向速度，wz,traj 是横摆角速度，Fy,f,traj ，Fy,r,traj 使轮胎前后轴的侧向力，采用纯滑移式Pacejka Magic Formula轮胎模型P作为车辆状态和控制变量的函数计算横向力。下标f和r分别表示前桥和后桥。
第二组动态方程使用最可能最小的垂直载荷场景的参数值pload 。
这组方程(19)(22)与(15)(18)相同，只是下标load用来表示参数值来自最可能最小的垂直载荷场景，并且使用这些参数值计算变量。
由此，得到了两组具有两组参数值的车辆动力学模型的状态预测。每个集合只用于检查相关约束的满足程度。利用最可能发生的最硬轨迹情况的参数值和状态预测，计算了车辆的航向角和轨迹剖面。然后在成本函数中使用它们将车辆驱动到指定的目标位置，并在位置约束中使用它们将车辆保持在使用激光雷达数据建立的安全区域内。
(x，y)是全球坐标系中车辆的前中心位置，ψ是偏航角。
用于防止车轮提升的约束条件由下式给出：
Fz,threshold 是最小垂直载荷阈值。Fz,rl,load 和Fz,rr,load 为后左后轮和后右后轮的垂直载荷，计算为最可能最小垂直载荷情况下的参数值和状态预测的函数。
Fz,r0,load 是静态后轴负载;ΔFz,x,load 是由于纵向加速度在前后轴之间传递的载荷; ΔFz,yr,load 是由于横向加速度在两个后轮之间传递的载荷;Kx,load 是纵向载荷传递系数; Kz,yr,load是后轴的横向载荷传递系数。
面介绍的两个限制的细节以及OCP策略的其余部分在此省略，因为它们保持相同并在[11]中进行了详细讨论。
第二个双重最坏情况公式(MPC4)也考虑了最不可能出现的最坏情况，其方式除了两个最可能的最坏情况之外，没有在公式中引入其他方案。如第4.2节所述，并在第4.3节中进行了说明 ，对于垂直载荷预测，最可能的最坏情况和实际最坏情况之间的差异随着减速度的增加而变大。获得三种不太可能的最坏情况，其中簧载质量值处于其上限，并且轮胎参数值除了与场景2相比的两个刚度相关参数之外处于相反的边界。可以考虑所有三个较少的情况。通过进一步增加状态向量和增加约束数量，可能出现最糟糕的情况。然而，这种增加会增加解决OCP的计算负荷，这是不希望的。
如下开发了另一种方法。如图 13(b，c)所示，观察到场景2和场景4的结果彼此非常接近，场景5的结果位于场景4的结果和场景6的结果之间。因此，如果只考虑一个不太可能的最坏情况，那就是情景6.此外，情景6和情景1除了三个质量和惯性相关项之外是相同的，它们对度量值的影响较小。如图7的第二子图(b)所示。因此，情景6可以通过情景1来近似。因此，为了进一步提高算法的鲁棒性，可以通过考虑以下用于防止车轮提升的附加约束来增强MPC3，其成为MPC4，其解释了不太可能出现的最坏情况。
Fz,rl,traj 和Fz,rr,traj 是左后轮胎和右后轮胎的垂直载荷，并计算为最可能“最强”的轨迹情景的参数值和状态预测的函数。它们使用以下方程组来计算，除了使用不同的参数值组之外，其与方程(18)-21)相同。
表5总结了不同情景(MPC0，MPC1，MPC2)和两个双重最坏情况的原始公式的转化为非线性规划问题(NLPs)中的变量数，等式约束数和不等式约束数配方(MPC3和MPC4)的OCP相数Nph，用于离散化的节点数Nno，路径约束的数量Npt，以及是事件限制的数量 Nev。因此，MPC4是计算上最昂贵的策略。
表5.MPC配方中OCP
5
使用所有五种MPC配方进行两组模拟。第一组使用50个LHD场景，而第二组使用表3和表4中列出的七个场景 ，这是标称场景和六个最坏情况场景。
图14显示了使用考虑最坏情况的四种MPC公式的LHD情景的结果。表6总结了具有不同类型安全问题和故障情景总数的方案的数量。虽然单个模拟可能存在多个安全问题，但这仅仅算作一个失败案例。因此，故障情景的总数不是表6中所有类型的安全问题数量的总和。
图14.使用不同控制器的50 LHD场景的闭环仿真结果。(a)MPC1的轨迹轮廓。(b)MPC1的垂直载荷曲线。(c)MPC2的轨迹轮廓。(d)MPC2的垂直载荷曲线。(e)MPC3的轨迹轮廓。(f)MPC3的垂直载荷曲线。(g)MPC4的轨迹轮廓。(h)MPC4的垂直载荷曲线。
表6. LHD情景中观察到的安全问题和故障情景的数量。
结论是，与MPC0相比，MPC1略微提高了参数不确定性的鲁棒性。然而，MPC2显着恶化了鲁棒性。虽然没有一个场景有车轮提升并且违反最小垂直载荷阈值的次数减少，但是违反最小距离目标阈值的次数急剧增加，因此导致不能完成任务，不满足最终航向角要求。MPC3和MPC4都显着提高了鲁棒性，因为所有结果都是动态安全的并且满足任务要求。值得强调的是，虽然鲁棒性得到了改善，但无法保证所有可能的情况都使用MPC3或MPC4，因为在策略中只考虑了最可能的最坏情况。
预计提高参数不确定性的鲁棒性会牺牲任务完成性能。为了评估这种权衡，使用四个度量来评估障碍物避免算法的任务完成性能：目标时间，平均速度，加速性能和转向性能。除了优选较大度量值的平均速度之外，其他三个度量值需要较小的值。仅当场景不包含具有所有考虑的控制器的故障场景时，度量的比较才有意义。因此，仅考虑使用MPC0没有安全问题的38个场景，因为除了MPC2之外，其他三个控制器也不会导致这38个场景的安全问题。表7 总结了除MPC2之外的每个MPC配方的平均度量值。
表7 使用MPC0成功的38个LHD场景的任务完成性能评估指标
将使用MPC1的结果与使用MPC0的结果进行比较，前三个性能指标略差，最后一个略好一些。对于MPC3和MPC4，前三个性能指标与MPC0和MPC1相比都略差。因此，可以得出结论，在鲁棒性和任务完成性能之间存在折衷。通过考虑最坏情况场景来提高稳健性会降低任务完成性能。更具体地说，由于策略的保守性，MPC3和MPC4的平均速度比MPC0慢约11％。由于速度较慢和/或路线较长，使用MPC3和MPC4的目标时间比使用MPC0的时间长约11％。此外，MPC3和MPC4使用的加速力比MPC0多50％。这三个控制器所需的转向力几乎相同。总之，MPC3和MPC4都显着地改善了避障算法对参数不确定性的鲁棒性，然而，如上所述，以任务完成性能降低为代价。
使用MPC2产生的结果在所有考虑的配方中在每个方面都是最差的。原因是使用最可能最小的垂直载荷场景生成的轨迹非常“灵活”，如图9和图 11所示。因此，用MPC2产生的转向命令不足以使几乎所有场景都使AGV远离障碍物。在通过硬减速进行急转弯之前，AGV非常接近障碍物，这导致大的控制力，显着的迂回和任务不完整。
图 15显示了使用MPC0的标称场景和六种最坏情况的闭环仿真结果。除了标称场景的模拟外，其他六个模拟导致安全问题。情景2,4和6导致车轮抬起。方案1和5的结果违反了最小垂直负载阈值。方案1和方案3导致违反最小距离到目标阈值并且无法完成任务。因此，MPC0是具有标称参数值的原始公式，对最坏情况不具有鲁棒性。
图15.使用MPC0的标称场景和最坏情况的闭环仿真结果。(a)具有MPC0的轨迹轮廓; (b)MPC0的垂直载荷曲线。
图 16显示了其他四种MPC策略的结果。表8总结了具有不同类型的安全问题和故障情景总数的方案的数量。结果表明，虽然观察到不同程度的成功，但这四个控制器比MPC0更有效。只有在使用MPC4时，这是五个中最复杂的配方，在最坏情况下，模拟结果中没有安全问题或任务完成问题。对于MPC1，方案2导致车轮提升，方案4和5的结果违反了最小垂直负载阈值。对于MPC2，只有方案2和4的结果没有安全问题或任务完成问题。对于MPC3，方案1和6导致违反最小垂直负载阈值。因此，当考虑最坏情况时，MPC4是在所有考虑的五种方案中所有考虑的情景中对参数不确定性具有鲁棒性的公式。
图16 使用不同控制器的标称场景和最坏情况场景的闭环仿真结果。颜色约定与图15相同。(a)MPC1的轨迹剖面; (b)MPC1的垂直载荷剖面; (c)MPC2的轨迹剖面; (d)MPC2的垂直载荷剖面; (e)MPC3的轨迹剖面; (f)MPC3的垂直载荷剖面; (g)MPC4的轨迹剖面; (h)MPC4的垂直载荷曲线。
表8 标称方案和最坏情况下观察到的安全问题和故障情景的数量
最后，这组结果不用于研究鲁棒性和任务完成性能之间的权衡，因为原始控制器(MPC0)在所有最坏情况下都失败了。此外，如果要比较MPC1，MPC3和MPC4的任务完成性能，则只能使用场景0和场景3，因为这三个控制器不会仅在这七个考虑场景中的这两个场景中导致安全问题。但是，这两种情况的数量太少，无法产生具有统计意义的结果。
总之，使用分层随机场景和最坏情况场景的模拟结果表明，只有第二个双重最坏情况公式(MPC4)才能使算法对所有测试的不确定性实现都具有鲁棒性。从模拟的性能评估度量与分层随机场景的比较，还得出结论，鲁棒性的提高降低了性能，但可以说，降低到可接受的水平。
预计结论对于其他障碍领域是通用的，因为最可能的最坏情况场景是独立于障碍物配置而获得的。本文讨论的两组模拟也已经在我们之前的工作中讨论过另一个甚至更具挑战性的障碍领域[11]，本文省略了结果，但它们得出与上述相同的结论。
6
作者以前的工作重点是在未知和非结构化环境中的大型高速自主地面车辆中避障，并开发了基于非线性MPC的避障算法。该算法的目的是利用车辆的动态极限将其尽可能快地导航到给定的目标位置而不损害安全性。为此，该算法依赖于车辆和轮胎参数的知识。
本文首先研究了参数不确定性对避障算法性能的影响。该研究表明需要提高算法的鲁棒性，并且由于应用现有技术的困难，提出了新的公式。与依赖于对数百个场景的评估的现有基于场景的方法不同，新的公式通过仅考虑两种最可能的最坏情况场景来提高鲁棒性。此外，与分析鲁棒或随机MPC算法不同，所提出的方法适用于非线性系统和非高斯不确定性分布。因此，实现了计算上有效的公式以改善非线性MPC算法的鲁棒性。最后，讨论了获得的额外稳健性和任务完成性能之间的权衡。可以得出结论，所提出的双最坏情况公式可以以某种可接受的任务完成性能降低为代价来提高算法的鲁棒性。
因此，总之，本文的贡献描述如下。首先评估基于非线性MPC的避障算法对参数不确定性的鲁棒性。其次，确定了两种类型的不安全情景，这些情景被定义为最硬的轨迹和最小的垂直载荷情景。第三，开发了一种算法来获得每种类型的不安全情景的最可能和最不可能的最坏情况。第四，开发了一种考虑最坏情况的新的双重最坏情况公式，以解释避障算法中的参数不确定性。最后，分析了鲁棒性和任务完成性能之间的权衡。
本文介绍的方法是被动的。可以在补充中使用主动方法，其通过在线非线性自适应估计器来减少不确定性，以基于模型预测与从车辆收集的实际数据之间的差异来获得参数值的更准确的估计。为此，可以利用现有的自适应观测器方案，例如扩展卡尔曼滤波器[ 31 ]。未来的研究可能包括将这种能力添加到闭环系统中，以减少由于大的不确定性范围引起的保守性导致的任务完成性能下降。
最后，除了参数不确定性之外，还有其他不确定性来源。例如，一个不确定性来源是车辆位置知识的误差，以及障碍物的当前和未来位置。另一个不确定因素是由风和其他因素引起的外部干扰。这些来源也可能引起问题，需要加以考虑[ 20 ]。研究其他不确定性来源的影响是未来研究的主题。
[1] Khatib O. Real-time obstacle avoidancefor manipulators and mobile robots. Int J Rob Res.1986;5:90–98.
[2] Ogren P, Leonard NE. A convergentdynamic window approach to obstacle avoidance. IEEE Trans Robot.2005;21:188–195.
[3] Shimoda S, Kuroda Y, Iagnemma K.High-speed navigation of unmanned ground vehicles on uneven terrain usingpotential fields. Robotica. 2007;25:409–424.
[4] Park JM, Kim DW, Yoon YS, et al.Obstacle avoidance of autonomous vehicles based on model predictive control.Proc Inst Mech Eng Part D J Automob Eng. 2009;223:1499–516.
[5] Gao Y, Lin T,Borrelli F, et al. Predictive control of autonomousground vehicles with obstacle avoidance on slippery roads. Proceedings of theASME 2010 Dynamic Systems and Control Conference (DSCC) Vol. 1; 2010 Sept12-15; American Society of Mechanical Engineers, Cambridge, MA; 2010. p.265–272.
[6] Tahirovic A,MagnaniG.General frameworkfor mobile robot navigation using passivity-based MPC. IEEE Trans AutomatControl. 2011;56:184–190.
[7] Gray A, Gao Y, Lin T, et al. Predictivecontrol for agile semi-autonomous ground vehicles using motion primitives.Proceedings of the 2012 American Control Conference (ACC 2012); 2012 Jun 27-29;Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc., Montréal, Canada; 2012.p.4239–4244.
[8] Frasch JV,Gray A, Zanon M, et al. An auto-generated nonlinear MPCalgorithm for real-time obstacle avoidance of ground vehicles. Proceedings the2013 European Control Conference (ECC 2013); 2013 Jul 17-19; IEEE ComputerSociety, Zurich, Switzerland; 2013. p. 4136–4141.
[9] Beal CE, Gerdes JC.Model predictivecontrol for vehicle stabilization at the limits of handling. IEEE Trans ControlSyst Technol. 2013;21:1258–1269.
[10] Liu J, Jayakumar P, Stein JL, ET AL. Anonlinear model predictive control formulation for
obstacle avoidance in high-speed autonomousground vehicles in unstructured environments.
Vehicle Syst Dyn. 2018;56:853–882.
[11] Liu J, Jayakumar P, Stein JL, et al.Combined speed and steering control in high speed
autonomous ground vehicles for obstacleavoidance usingmodel predictive control. IEEE Trans Veh Technol.2017;66:8746–8763.
[12] Liu J, Jayakumar P, Stein JL, et al. Astudy on model fidelity for model predictive controlbased obstacle avoidance inhigh-speed autonomous ground vehicles. Vehicle Syst Dyn.2016;54:1629–1650.
[13] Walton CL. The design andimplementation of motion planning problems given parameter uncertainty [PhDdissertation]. Santa Cruz: University of California; 2015.
[14] Bemporad A, Morari M. Robust modelpredictive control: A survey. In: Garulli A, Tesi A, editors. Robustness inidentification and control. Lecture Notes in Control and Information Sciences,vol 245. London: Springer; 1999.
[15] Jalali AA,NadimiV.Asurvey onrobustmodel predictive control from1999–2006. Proceedings of the CIMCA 2006International Conference on Computational Intelligence for Modelling, Controland Automation. Jointly with IAWTIC 2006 International Conference onIntelligent AgentsWeb Technology, Institute of Electrical and ElectronicsEngineering Computer Society; 2008 Dec 10-12; Vienna, Austria; 2007.
[16] Adetola V, Guay M. Robust adaptive MPCfor constrained uncertain nonlinear systems. Int J Adapt Control SignalProcess. 2011;25:155–167.
[17] Carvalho A, Lefevre S, Schildbach G,et al. Automated driving: the role of forecasts and uncertainty–a controlperspective. Eur J Control. 2015;24:14–32.
[18] Ramirez DR, Alamo T, Camacho EF, etal. Min-MaxMPC based on a computationally efficient upper bound of the worstcase cost. J Process Control. 2006;16:511–519.
[19] Carson JM, Acikmese B, Murray RM, etal. A robust model predictive control algorithm augmented with a reactivesafetymode. Automatica. 2013;49:1251–1260.
[20] Gao Y, Gray A, Tseng HE, et al. Atube-based robust nonlinear predictive control approach to semiautonomousground vehicles. Vehicle SystDyn. 2014;52:802–823.
[21] SchildbachG, Fagiano L, Frei C, et al. The scenario approach forstochasticmodel predictive control with bounds on closed-loop constraintviolations. Automatica. 2014;50:3009–3018.
[22] Carvalho A, Gao Y, Gray A, et al.Predictive control of an autonomous ground vehicle using an iterativelinearization approach. Proceedings of the 16th International IEEE Conferenceon Intelligent Transportation Systems (ITSC 2013); 2013 Oct 6-9; The Hague, TheNetherlands; 2013. p. 2335–2340.
[23] Maiworm M, Bathge T, Findeisen R.Scenario-based model predictive control: recursive feasibility and stability.IFAC Proc Vol. 2015;28:50–56.
[24] Xiong F, Xiong Y, Xue B. Trajectoryoptimization under uncertainty based on polynomial chaos expansion. Proceedingsof the AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference 2013; 2013 Aug 19-22;American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc, AIAA, Boston, MA; 2015.
[25] Xiu D, Em Karniadakis G. TheWiener-Askey polynomial chaos for stochastic differential equations. SIAM J SciComput. 2003;24:619–644.
[26] Shim T, Ghike C. Understanding thelimitations of different vehicle models for roll dynamics studies. User ModelUser-Adapt Interact. 2007;45:191–216.
[27] Pacejka H. Tire and vehicle dynamics.Oxford: Elsevier; 2012.
[28] Rucco A, Notarstefano G, Hauser J.Optimal control based dynamics exploration of a rigid car with longitudinalload transfer. IEEE Trans Control Syst Technol. 2014;22:1070–1077.
[29] Viana FAC. Things you wanted to knowabout the Latin hypercube design and were afraid to ask. Proceedings of the10th World Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization; 2013 May5-24; Orlando, Florida; 2013. p. 1–9.
[30] Viana FAC, Venter G, Balabanov V. Analgorithm for fast optimal latin hypercube design of experiments. Int J NumerMethods Eng. 2010;82:135–156.
[31] AstromKJ, Wittenmark B. Adaptivecontrol. 2nd ed. Upper Saddle River: PrenticeHall; 2008.
END
电话：021-69589225
邮箱：11666104@tongji.edu.cn