合振动的初相位确定方法
梁沙莎
( 延安大学西安创新学院 建筑工程系 陕西 长安区 710100) 引言
振动是自然界中最常见的运动形式之一，也是现代物理和科技领域的重要课题。随着生产技术的发展，动力结构向大型化、复杂化、轻量化、快速发展的趋势，工程振动问题更加突出。振动不仅是当今基础科学的重要分支，也是工程科学发展的道路。它在地震、建筑力学、机械、航空、航空航天等工业技术部门中发挥着越来越重要的作用。因此，掌握同方向、同频率简谐振动合成中初相位的确定方法，为研究现代科技振动和动态问题奠定良好的基础非常重要。 1.简谐振动的基本概念
当物体移动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）根据余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，则该运动称为简谐振动，称为谐振动[1]。简谐振动是最简单、最基本的振动，所有复杂的振动都可以看作是由几个简谐振动合成的结果。振动合成问题实际上是一个运动合成问题，合振动的解决方案是矢量求和。同方向、同频率的合成是简谐振动合成最简单的形式。代数法或几何法可用于解决这种合成。在各种相关数据中，只有这种合成的结果，但没有讨论和选择合成振动初相位两个步骤中最好的一个。
根据相关计算，这种合成运动是一种简单的谐振动。如果两种分振动的表达是：
?
比较值，用什么方法进一步
?
值。下面就此问题进行深究。
A cos(wt ?) x 1=11
x 2=A 2cos(wt ?2)
合振动的表达式为：
x =A cos(wt ?)
合振振幅为：
2212
A =
A A 2A 1A 2cos(?1-?2) ①
说明:合振幅与两个分振幅合振幅的初相位: 1
A 1，A 1. ?2都有关
A sin ?1 A 2sin ?2
tg ?=
② A 1cos ?1? 1A cos ?A 1sin 2A sin ?222
sin ?=或
A A 2cos ?2 ③ A 1cos ?1
cos ?=或 ④
A
注：合振动的初相和分振动的振幅A 1，A 1. ?两者都有关系。由此可见，这是振动的振幅A 确定和谐振动的振幅和
初相的不同之处是：这里的振幅和初相位不是由初始条件确定的，完全由两个分振动的振幅和初相位决定。
三、简谐振动合成初相位的确定方法
在各种科技资料中，只给出了初相位的计算公式，但这是一种三角函数表达式。
A 1，A 2，?1, ?2.同期，
也应该有两个
值，这是数字计算所给出的结果，毋庸质疑。问题是：怎样从这两个
?
值中确
设置这个合振动的初始阶段？如何选择？一般的技术数据没有提供。对于这类问题，第一次接触并不容易解决。我们学习土木工程专业的学生有必要研究振动。由于中国是一个多地震区，在各种建筑的设计中必须考虑防震因素，
因此，必须深刻理解、牢固掌握和灵活运用地震振动知识，确定合振的初始阶段
?对于?
。
通过不同的方式计算和选择值的确定。
(一)当
?1≠?2时
?
值
方法I ：通过计算、比较和确定
由②、③、④任何两种模式都可以分别计算出两个部分，即选定的
?
值，两组
?
值的重叠
?值。
方法II ：结合旋转矢量图，通过计算确定。
从旋转矢量法可以看出，振幅矢量法A 1, A , A 都以角速度w 沿逆时针方向旋转，因此，在旋转过程中，平行四边形的形状不会改变，可用t=0时讨论
值，需要的
取值。
?
由图可知，A 与x 轴的夹角是，1
(二)当
从旋转矢量图可以看出，合振幅A 与
A 1和A 2共线，由①式知：
A =A 1-A 2
?1-?2=±π时
算 ，只需用A 与A 1或A 2的指向关系可以用1或2来表示，从而确定:
当A 1>A 2时，A 与A 同一个方向，=?1，
当A 1
1
在这种情况下，不需要使用②、③、④式进行计
从旋转矢量图可以看出，振幅矢量A 与
A 1和A 两个指向相同，有 ?=?1=?2
在这种情况下，不需要使用②、③、④只用公式计算A 与A 1和A 2的指向关系就可确定?。
四、例证
A =42 32 2x 4x 3-(-π]5π6x 23cos(10t ) 6
6=求合振动的表达式。
5π
x 1=4cos(10t
π
)
π5π?14≠?I cos 3cos(-) πcos 4=) 616sin ?
解：用
3(-) =
可解得： 222
取重叠部分，有
313=4x 3(-) =
221211
=4x
5π[4sin 3sin(-)]也可以计算： tg ?=
5
[4cos 3sin(-)]π7?=π66可解得：或
66π
?=
同样，由cos ?与tg ?有重叠部分
6π?=
同样，由sin ?与tg ?有重叠部分
6
合振动的表达式：
π
x =A cos(ωt ?)
π
=1cos(10t )
6
方法II ：
5
?-?=-(-π) =π12由于
66 ，计算可用情况(二)。
由于A 1>A 说明：旋转矢量A 与A 1同指向，则
π
?=?1=
6
通过以上对简谐振动合成的分析，探讨了同方向、同频率简谐振动合成中初相位
π
五、结论(很重要，可以参考摘要扩展)
提出了一种简单的初相位确定方法。
?1≠?2时，两组值的重叠部分是所选值，所需值。(即取介于1和2之间的值。
(二)当1-2=±π时，用A 与A 就可用?11或A 2的指向关系，或?2表示?，从而确定了?：
当A 1>A 2时，A 与A 同一个方向，=?1，
当A 1
?。 (三)当?=?2时，用A 与A 1和A 可以确定2的指向关系
(一)当
通过具体的例子，证明这种方法是正确和可行的，并得出正确的结论。对于我国这样一个地震多发国家的建筑设计师，也为科技人员提供了理论基础。 参考文献
程守洙(高等教育出版社)1998年版《普通物理学》 朱峰主编(清华大学出版社)2004版《大学物理》
2002年(5)同济大学应用数学系主编(高等教育出版社)