??经常看到这样的电阻网络问题， 虽然没有实际应用，但还是挺有意思的。 下面是12个10k欧姆的电阻焊接成电阻立方体网络。 问题是求 之间的电阻。
▲ 图1 电阻立方体网络
??当所有电阻都相同时， 如果在 两端施加电压， 那么 这四点都应该是中间电位之间， 所以连接在 以及 之间的电阻可以省略。 电路可以简化为下面右边的形式。
▲ 图2 电阻网等效电路
??不难分析， 最终 单个电阻之间的电阻应为四分之三。 若单个电阻为10kΩ，那么 之间的电阻应该是7.5kΩ。
??事实上，这个电阻网络有八个顶点， 两者之间都有阻抗。 如果询问那两点的阻抗最大， 估计大部分人都会承认应该是立方体的对角线，比如 ， 电阻之间最大。 那么 电阻之间有多大？
?? 在他的博客 讨论这个问题。他假设施加立方体对角线 激励电压， 对格点之间的对称性和等效电阻进行分析， 最后，他得到立方体对角线的电阻等于单个电阻的六分之五。
▲ 图3 电阻网立方体等效电路
??有趣的是，他还使用实际电阻进行测试， 并测量网络中所有节点之间的电阻。
▲ 图4 实际电阻网络
??经过测量， 可以看到整个网络各节点之间的电阻总共分为三类：
- 对角线： 电阻大约为 ;
- 同面对角线：电阻大约为 ;
- 相邻： 电阻大约 ；
▲ 图5 电阻网络各点之间的实测电阻
??估计上述电阻网络等效电阻计算仍可用心计算， 在 在询问无限范围内的二维电阻网络中，两个对角线之间的电阻问题。
▲ 图6 二维电阻网络在无限范围内
??在求解的方法中仍然使用 的公式， 这真的让我破防。 在上述无限二维电阻网络中，对角线节点之间的电阻实际上是 2 / π ?? Ω 2/\pi \,\,\Omega 2/πΩ ！
▲ 图7 奇怪的电路图
- Cubical Resistor Network
- Infinite 2D square grid of 1 Ω 1\Omega 1Ω resistors
- 图1 电阻立方体网络
- 图2 电阻网等效电路
- 图3 电阻网立方体等效电路
- 图4 实际电阻网络
- 图5 电阻网络各点之间的实测电阻
- 图6 二维电阻网络在无限范围内
- 图7 奇怪的电路图