▲ 以电感为中心RLC串联电路
▌01 基本理论
电感器是电路中常见的重要组成部分，常用于信号滤波、电能转换、信号耦合和磁场检测。它利用电磁感应原理对流过的电流的变化产生感应电势，两端的电压与电流的变化率成正比，这是电感的重要参数：通常记录电感量L。
▌简单的电感串并联
在电阻和电容以上，电感也可以通过串联和并联形成新的电感。串联和并联电感的计算值与电阻串联的计算公式基本相同。多个电感串联的电感等于每个电感的电感加值；多个电感并联的电感等于每个并联电感的倒数之和。
▲ 电感串联
L e q = L 1 L 2 L 3 ? L n L_{eq} = L_1 L_2 L_3 \cdots L_n Leq=L1 L2 L3 ? Ln
▲ 电感并联
1 L e q = 1 L 1 + 1 L 2 + 1 L 3 + ⋯ + 1 L n {1 \over {L_{eq} }} = {1 \over {L_1 }} + {1 \over {L_2 }} + {1 \over {L_3 }} + \cdots + {1 \over {L_n }} Leq1=L11+L21+L31+⋯+Ln1
与电阻不同的是，电感之间有可能会出现相互的电磁耦合的关系，特别是对于空心电感，磁场会存在电感周围很大的空间内。如果两个电感之间的距离很近，方向又一致，就很容易电磁耦合，度量两个线圈之间电磁耦合程度通常使用互感（Mutual Inductance）来度量，它表征了一个线圈中的电流变化在另外一个线圈中所产生感应电动势的大小。
对于有互感的M两个线圈L1,L2，可以列些出它们之间的等效电路：
▲ 两个有互感的线圈等效电路
根据产生感应电动势的极性，可以定义出两个互感线圈之间的“”，根据极性与参考电压方向是否相同，可以分为同相互感和反相互感。
对于之间有互感的电感的串联、并联之后电感的计算就变得复杂了。在网络文章 中，给出了互感线圈的的串、并联计算基本方法。
▌有互感电感的串联
两个线圈 L 1 , L 2 L_1 ,L_2 L1,L2之间存在着互感 M M M，当它们同相串联的时候，对应的电感量为：
L E = L 1 + L 2 + 2 M L_E = L_1 + L_2 + 2M LE=L1+L2+2M
▲ 两个电感同相串联
可以可跟KVL定理，列些出串联支路电压方程，可以证明该公式：
如果是反相串联的时候，按照相同的方式，可以证明对应的等效电感量为： L E = L 1 + L 2 − 2 M L_E = L_1 + L_2 - 2M LE=L1+L2−2M
▲ 两个电感线圈异向串联
根据这个公式，可以来测量两个线圈之间的互感量M。也就是通过分别测量L1,L2，然后在分别测量他们同相和反相串联后的电感，便可以计算出它们之间的互感M。
▌有互感电感并联
当两个有互感M的线圈L1,L2并联时，对应的等效电感分别为：
(1) 同相并联
L E = L 1 ⋅ L 2 − M 2 L 1 + L 2 − 2 M L_E = { {L_1 \cdot L_2 - M^2 } \over {L_1 + L_2 - 2M}} LE=L1+L2−2ML1⋅L2−M2
▲ 带有互感的线圈并联
左：同相并联；右：反向并联
(2) 反相并联
L E = L 1 ⋅ L 2 − M 2 L 1 + L 2 + 2 M L_E = { {L_1 \cdot L_2 - M^2 } \over {L_1 + L_2 + 2M}} LE=L1+L2+2ML1⋅L2−M2
公式的证明过程稍微复杂，可以参见前面
从上面公式可以看到，当互感量M等于0时，它们就退化成最初的简单电感的串并联计算公式了。
▌互感线圈等效变换
存在互感电路往往会使得电路分析变得复杂。将两个互感的线圈使用T型电路进行等效变换可以简化电路分析。下面给出了通过互感耦合在一起的电路等效变换。
▲ 同相互感等效变换
等效转换后的电路消除了互感，之后的电路分析可以使用基尔霍夫电压、电流定理（KCL&KVL）进行分析。
▌02 实验验证
使用在 中的大线圈与小线圈进行测试。
1.两个小线圈
两个小线圈分别使用SmartTweezer分别测量得到的电感：
- L1 = 9.522μH； L2= 9.563
▲ 两个小线圈与LCR SmartTweezers
（1）分开测量
- 串联电感：Ls=19.22μH
- 并联电感：Lp=4.88μH
▲ 分开进行测量
分析上面两个线圈的分开进行测量，所得到的结果与前面给出的没有偶和状态下的电感串并联的计算公式基本一致。
（2）紧耦合测量
▲ 紧耦合的情况测量
■ 并联
- 反相并联：Lp = 1.214μH；
- 同相并联：Lp=8.452μH
■ 串联
- 同相串联：Ls=35.07μH
- 反向串联：LS= 4.375μH
利用两个线圈串联之后的结果，来计算当两个线圈紧耦合（基本上是重叠在一起）的情况下，它们之间的互感量M。
根据同相串联Ls=35.07uH，可以计算出它们之间的互感为： M = L s − L 1 − L 2 2 = 35.07 − ( 9.522 + 9.563 ) 2 = 7.993 μ H M = { {L_s - L_1 - L_2 } \over 2} = { {35.07 - \left( {9.522 + 9.563} \right)} \over 2} = 7.993\mu H M=2Ls−L1−L2=235.07−(9.522+9.563)=7.993μH
根据它们之间反向串联测量电感：Ls=4.375，可以计算出它们之间的互感为： M = L 1 + L 2 − L s 2 = 9.522 + 9.563 − 4.375 2 = 7.355 μ H M = { {L_1 + L_2 - L_s } \over 2} = { {9.522 + 9.563 - 4.375} \over 2} = 7.355\mu H M=2L1+L2−Ls=29.522+9.563−4.375=7.355μH
或者根据同相和反向串联的结果可以计算互感量的平均值： M = L s 1 − L s 2 4 = 35.07 − 4.375 4 = 7.673 μ H M = { {L_{s1} - L_{s2} } \over 4} = { {35.07 - 4.375} \over 4} = 7.673\mu H M=4Ls1−Ls2=435.07−4.375=7.673μH
由此可以得到当两个线圈紧耦合时，耦合系数为： k = M L 1 ⋅ L 2 = 7.673 9.522 × 9.563 = 0.804 k = {M \over {\sqrt {L_1 \cdot L_2 } }} = { {7.673} \over {\sqrt {9.522 \times 9.563} }} = 0.804 k=L1⋅L2 M=9.522×9.563 7.673= 标签： 820uh绕线电感电容721常见电感耦合10hm电感6500uh线圈电感0603绕线电感39uh