【MATLAB数字信号处理】离散时间信号的频域分析（一）

序列 x [ n ] x[n] x[n]傅里叶在离散时间的变化（DTFT） X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)定义为：

X ( e j w ) = ∑ n = ? ∞ ∞ x [ n ] e ? j w n X(e^{jw})=\sum_{n=-∞}^{∞}x[n]e^{-jwn} X(ejw)=n=?∞∑∞x[n]e?jwn

通常 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)是实变量 w w w的一个复函数并可写为：

​ X ( e j w ) = X r e ( e j w ) + j X i m ( e j w ) X(e^{jw})=X_{re}(e^{jw})+jX_{im}(e^{jw}) X(ejw)=Xre​(ejw)+jXim​(ejw)

​ 其中 X r e ( e j w ) X_{re}(e^{jw}) Xre​(ejw)和 X i m ( e j w ) X_{im}(e^{jw}) Xim​(ejw)分别是 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)的实部和虚部，它们都是 w w w的实函数。 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)也可表示为：

​ X ( e j w ) = ∣ X ( e j w ) ∣ e j θ ( w ) X(e^{jw})=|X(e^{jw})|e^{jθ(w)} X(ejw)=∣X(ejw)∣ejθ(w)

​ 其中， θ ( w ) = a r g X ( e j w ) θ(w)=arg{X(e^{jw})} θ(w)=argX(ejw)

​ ∣ X ( e j w ) ∣ |X(e^{jw})| ∣X(ejw)∣称为幅度函数， θ ( w ) θ(w) θ(w)称为相位函数，这两个函数都是 w w w的实函数。在很多应用中，傅里叶变换称为傅里叶谱，而 ∣ X ( e j w ) ∣ |X(e^{jw})| ∣X(ejw)∣和 θ ( w ) θ(w) θ(w)分别称为幅度谱和相位谱。

​ X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)的离散时间傅里叶逆变换 x [ n ] x[n] x[n]为： x [ n ] = 1 2 π ∫ − π π X ( e j w ) e j w n d w x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw x[n]=2π1​∫−ππ​X(ejw)ejwndw。

​ 若 x [ n ] x[n] x[n]绝对可和，即 ∑ n = − ∞ ∞ ∣ x [ n ] ∣ < ∞ \sum_{n=-∞}^{∞}|x[n]|<∞ ∑n=−∞∞​∣x[n]∣<∞，则序列 x [ n ] x[n] x[n]的傅里叶变换 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)存在。

nx = 100;
x1 = [1:nx];
y1 = sin(x1*0.3); 
figure(1);plot(y1);title('时域原始信号');
noise = rand(1,nx) - 0.5;
y2 = y1 + noise;
figure(2);plot(y2);title('合成信号');
XXX = fft(y2);
figure(3);plot(abs(XXX)); title('信号的幅度谱'); 
figure(4);plot(angle(XXX));title('信号的相位谱');
ir = 10; 
for i = ir:1:nx - ir
    XXX(i) = 0;
end
f1 = ifft(XXX);
figure(6);plot(x1,f1,'r')
hold on
plot(y1,'b')
legend('傅立叶反变换后的时域信号','时域原始信号')