前言
太赫兹 分束器 太赫兹 分束器 太赫兹 分束器 红外和毫米波学报 红外和毫米波学报 红外和毫米波学报 姜宗丹 , 李培丽 , 张元方 姜宗丹、李培丽、张元方 姜宗丹,李培丽,张元方 2020 2020 2020
目录
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- 前言
- 研究目的
- 研究方法
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- 平面波展开法PWM
- 时域有限差分法FDTD
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- FDTD方程求解
- 研究模型
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- 原理
- 结论
- 问题
研究目的
太赫兹能量分束器是太赫兹技术中的关键设备
设计太赫兹分束器的材料：金属光栅、光纤光栅、聚乙烯塑料薄膜、光子晶体
光子晶体更容易控制光的传播，光子晶体体积小
基于光子晶体的分束器效率高，损耗低，集成度高
基于光子晶体的太赫兹波分束器 : 自准直效应、多模干涉原理 的分束器
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研究方法
二维光子晶体的研究计算方法有： 平面波展开法 多重散射法 传输矩阵法 时域有限差分法
该论文利用 平面波展开法PWM 时域有限差分法FDTD
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平面波展开法PWM基于布洛赫定理，在倒格空间（正格空间经过倒易变换）将电磁波展开成平面波叠加的形式，然后通过离散傅里叶空间，本征问题的变换，将maxwell方程转化为一个本征方程，并求解本征解。就得到了光子晶体的传播的光波模式的本征频率以及周期结构的色散关系
布洛赫定理： 确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢k是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量 在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷
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时域有限差分法FDTD
从maxwell旋度方程出发，将E和H在空间和时间上按Yee元胞离散化，然后采用交替抽样的方式，对电场和磁场进行抽样（间隔为半个时间步长）
通过这种在时间和空间上的离散化方式将maxwell旋度方程化为一组差分方程。根据光子晶体结构中电磁问题的初始值和边界条件，可以在时间轴上逐步进行迭代求解，得到稳定情况下的电磁场分布 \;\\\;\\\;
FDTD方程求解
电磁波在二维光子晶体 ( x , y ) (x,y) (x,y)面内传播时，有TE（横电波）和TM（横磁波）两个偏振模式
TE模的maxwell方程标量形式： 电磁分量只有 ( E x , E y , 0 ) , ( 0 , 0 , H z ) (E_x,E_y,0),(0,0,H_z) (Ex,Ey,0),(0,0,Hz)
{ ∂ H z ∂ x = ε ( r ) ∂ E y ∂ t ∂ H z ∂ y = ε ( r ) ∂ E x ∂ t ∂ E y ∂ x − ∂ E x ∂ y = − μ ∂ H z ∂ t \begin{cases} \frac{\partial H_z}{\partial x} = \varepsilon (r) \frac{\partial E_y}{\partial t} \\\\ \frac{\partial H_z}{\partial y} = \varepsilon (r) \frac{\partial E_x}{\partial t} \\\\ \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} = - \mu \frac{\partial H_z}{\partial t} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧∂x∂Hz=ε(r)∂t∂Ey∂y∂Hz=ε(r)∂t∂Ex∂x∂Ey−∂y∂Ex=−μ∂t∂Hz
TM模的maxwell方程标量形式： 电磁分量只有 ( H x , H y , 0 ) , ( 0 , 0 , E z ) (H_x,H_y,0),(0,0,E_z) (Hx,Hy,0),(0,0,Ez)
{ ∂ E z ∂ x = μ ∂ H y ∂ t ∂ E z ∂ y = μ ∂ H x ∂ t ∂ H y ∂ x − ∂ H x ∂ y = ε ( r ) ∂ E z ∂ t \begin{cases} \frac{\partial E_z}{\partial x} = \mu \frac{\partial H_y}{\partial t} \\\\ \frac{\partial E_z}{\partial y} = \mu \frac{\partial H_x}{\partial t} \\\\ \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y} = \varepsilon(r) \frac{\partial E_z}{\partial t} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧∂x∂Ez=μ∂t∂Hy∂y∂Ez=μ∂t∂Hx∂x∂Hy−∂y∂Hx=ε(r)∂t∂Ez
其中 ε = ε 0 ε r \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r ε=ε0εr，折射率 n 0 = ε r n_0=\sqrt{\varepsilon_r} n0=εr ， ε 0 和 μ 0 \varepsilon_0和\mu_0 ε0和μ0分别是真空介电常数和真空磁导率
首先将空间网格化，用中心差分代替上述微分，得到时域有限差分形式：
\; 方程略（可能有错） \;
这种电磁场各分量的空间相对位置能够恰当地描述电磁场的传播特性，逐步推进地求得以后各个时刻的空间电磁场的分布
为了保证迭代计算的收敛性，比如满足稳定条件：
Δ t ≤ 1 C m a x [ 1 ( Δ x ) 2 + 1 ( Δ y ) 2 ] − 1 / 2 \Delta t \le \frac{1}{C_{max}} [ \frac{1}{(\Delta x)^2} + \frac{1}{(\Delta y)^2} ] ^{-1/2} Δt≤Cmax1[(Δx)21+(Δy)21]−1/2
其中 C m a x C_{max} Cmax是求解空间光波的最大相速，一般 Δ t = m i n { Δ x , Δ y } 2 C m a x \Delta t=\dfrac{ min\{ \Delta x,\Delta y \} } {2C_{max}} Δt=2Cmaxmin{
Δx,Δy} Δ x , Δ y , Δ t \Delta x,\Delta y,\Delta t Δx,Δy,