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How You Really Use Mathematics To Define Paper Size A为什么纸张的长宽比是不合理的？纸张大小背后丰富的历史和有趣的数学！
你是否想过纸张大小是如何定义的？我们最常用的纸张尺寸一般是A4大小。如果你从事或接触过技术学科，你会知道其他纸张的大小，比如A0、A1、A2等。ISO 216:2007定义了大多数国际通用纸张尺寸，而ISO 269和ISO 217等其他覆盖其他尺寸。
但是你知道这些标准来自哪里吗？
在这些标准和定义之前，我们如何描述纸张的大小？
谁为了什么目的选择了这些尺寸？
这是一系列有趣的问题。事实证明，纸张尺寸标准的发明背后有着丰富而神秘的数学历史。
数学本身是微妙而深刻的。在这篇文章中，我将从数学历史开始，讨论纸张尺寸标准背后的数学问题。最后，我解释了美丽的人性是如何巧妙地嵌入到这项技术中的。请坐下来，放松一下，享受愉快的旅程！
历史
乔治·克里斯托夫·利希滕贝格（Georg Christoph Lichtenberg）他是18世纪德国著名的物理学家和讽刺作家。他是哥廷根大学最早介绍仪器实验的杰出物理教授之一。
他还与当时其他伟大的德国名人保持着密切的联系，比如约翰·沃尔夫冈·冯·（Johann Wolfgang von Goethe）和伊曼纽尔·（Immanuel Kant）。传奇数学家卡尔是众所周知的·弗里德里希·（Karl Friedrich Gauss）他还参加了利希滕贝格的讲座。他也以发现树形放电图案而闻名，后来被称为放电模式（Lichtenberg figures）。
在当时正在解决的一系列科学问题中，利希滕贝格对纸张尺寸的标准化特别感兴趣。他想找到一个可以完美缩放纸上内容的标准。完美缩放在这里意味着，在一系列可能的标准化扩展范围内，它既不会也不会让纸上内容看起来像纸上内容。
他把这作为一个英国练习题学生提问。学生提出了一个特定的比例来满足利希滕贝格想要的特征（稍后将详细介绍这个比例）。当利希滕贝格开始尝试将这个比例应用到一张纸上时，他惊讶地发现德国报纸已经使用了这个比例。
1786年写给约翰·贝克曼（Johann Beckmann）在一封信中，利希滕贝格说，他不确定这个比例是由历史原因自然产生的，还是来自精确的数学计算。无论如何，到目前为止，关于纸张尺寸标准背后数学知识的记录在这个故事中首次出现。
关于√2这个比例
√2是数学中一个非常有趣的数字。当钩定理应用于具有单位长度和单位高度的直角三角形时，斜边的长度为√2。
因此，单位正方形的对角线是√2。√2是一个无理数，用十进制表示的话，√2为1.4142135623730950488016887…
利希滕贝格(和他的学生)发现，当一张纸被视为矩形时，它的长边是可以满足放大时既不浪费纸张也不拥挤纸张内容的要求。
稍后，我们将看到这是如何在数学中实现的。但首先，从几何角度理解这个概念可能有帮助。
考虑一个矩形A0纸。它的尺寸是841 mm × 1189 mm。如果沿较长的一侧折叠，折叠后的两部分是一张A一张纸。如果两张A1纸沿各自的长边折叠，将获得四张纸A2纸。每次重复这个过程，分别产生8张纸。A3、16张A4、32张A5、64张A6、128张A7和256张A8纸。
这就是为什么现代打印机可以快速将打印内容缩小到适应不同纸张的大小。例如，如果我们想节省纸张，我们可以将书页的大小（电子版）缩小到A6纸的大小，然后在那里A打印在纸上。所以每一张。A4纸将包含书的4页(每一面)，以增加纸上的信息密度。
√有什么特别的？
事实证明，这个比例背后的数学原理非常清晰。
考虑一张纸，它的长边是a”单位长度，短边为“b单位长度。如果我们沿着长边折叠这张纸，我们会得到两张纸。每张纸的长边是b单位，短边是a/2单位。
现在，将利希滕贝格的练习复制给他的代数学生，要求在一张大纸和两张小纸（折叠后）中保持长边和短边的比例。然后，这成为一个简单的数学问题，可以通过以下方式解决：
当我们用数学方法解决这个问题时，我们可以清楚地看到纸的边长必须是这个比例只能是√2。
历史原因
继利希滕贝格之后，法国于1798年出版了一项纸质税法，证明了目前的法律ISO标准直系源。
博斯特曼（W. Porstmann）在1918年的一篇文章中，纸张尺寸标准还需要包含表面积。他还认为，上述纸张使用的信封应该比纸张本身大10%。受他的影响，德国工业标准化委员会（Deutsches Institute für Normang-DIN）发布了DIN 476，涉及四种尺寸的纸张，但每种纸张的长宽比都是√2.
A0纸的定义是，当尺寸准确到毫米时，A0纸的为1平方米（841 mm x 1189 mm）。而A4推荐商业和行政活动的标准纸张尺寸；他们还建议使用A6纸张用于明信片制造。B系列纸张，B0纸的宽度为1米。C基于信封格式开发的系列纸。
如今，除北美、秘鲁、哥伦比亚等少数国家外，几乎所有国家都采用了这些标准。
进一步的数学意义
比率√2具有一些违反直觉的特性。
纵向和横向
到目前为止，我们已经看到了一个A两张可以放在四张纸里A5纸。但假设我们对横向打印而不是纵向打印感兴趣。为了在一张A两页内容水平放置在4纸上，我们需要原始A4(纵向)内容缩小了多少？直觉告诉我们是50%。
但由于纵横比是√因此，我们只需要将内容缩小70%，而不是50%。这是因为(1/√2) =0.7071…，约等于70%（0.70）。
几何平均
事实证明，包装不同尺寸的纸张时，概念非常有用。C2的尺寸是A2和B2之间的几何平均值。类似地，整个C系列格式是A系列和B系列编号之间的几何平均值。
最后的想法
当我开始研究这个话题时，我周围总是有一把尺子和一把尺子。我发现我对测量任何矩形物体的长度和宽度比感到满意。
我测量的对象包括：我的办公桌、显示器、鼠标垫、平板电脑、薄荷糖盒、矩形板、实体书籍等。最令人满意的矩形形状的纵横比为1.31和1.64之间(√2 = 1.4142..).
首先，我惊讶地发现周围有那么多长方形的物体。开始研究个问题前，我对它们的形状没有那么关注；其次，我很惊讶我的审美品味和长宽比为√2是一致的。
我不确定这样的审美品味是否是特定文化背景中学到的，还是自然界中自发发生的。现在，我所能做的就是欣赏这样一个事实，即√2除了纯粹的数学之外，它和人性也有一定关联。
有时，最深刻的认识来自最简单的观察！我希望你会觉得这篇文章有趣且有用。
作者：Hemanth
翻译：Nothing
审校：zhenni
原文链接：
https://www.cantorsparadise.com/how-you-really-use-mathematics-to-define-paper-size-c2928ba551ec
，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖等前沿的数学及应用领域；也包括等魔术内容；以及结合二者的分享，还有一些思辨性的谈天说地的。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
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