《简明微积分》（第四版）学习笔记

函数极限首先从数列的极限引出。

讨论极限需要知道精度的概念，并以A为参考。无论x在一定范围内取什么值，总有 ∣ x ? A ∣ ≤ δ , δ |x-A|\leδ, δ ∣x?A∣≤δ,δ是给定的正数，我们可以认为x的精度达到了一定的范围，这是准确的A。 例如取A=0.1，若 δ = 0.01 δ=0.01 δ=0.01，总有 ∣ x ? A ∣ ≤ δ |x-A|\leδ ∣x?A∣≤δ，显然x= 0.11是符合的，x=0.108也是符合的，但x=0.112就不符合了。上式就像是在限定误差范围在0~0.1以内。

对数列而言， lim ⁡ n → + ∞ a n \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n n→+∞lim​an​会趋近于一个确定的数，此时可以用上述的精确度判断是否达到极限。函数的极限也是相似的，另外，当X趋近于某个 x 0 x_0 x0​时，也可以表示出相应的极限。 数列/函数的极限可以进行四则运算，由函数叠加可以明白，教材上未先给出严格证明，将在第九章完善。

夹逼定理 若恒有 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) g(x)\le f(x)\le h(x) g(x)≤f(x)≤h(x)，则当 lim ⁡ x → a g ( x ) = lim ⁡ x → a h ( x ) = A \lim\limits_{x \rightarrow a}g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow a}h(x)=A x→alim​g(x)=x→alim​h(x)=A，定有 lim ⁡ x → a f ( x ) = A \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)=A x→alim​f(x)=A 数列也相似。

若 lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x ) = 0 \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}f(x_0+\Delta x)-f(x)=0 Δx→0lim​f(x0​+Δx)−f(x)=0，则说明函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0​附近是连续的，反之则是不连续的（间断）。这点从图像上是直观的。通常我们会考虑函数在一个区间上是否连续。

一些函数的常规性质可以参考高中教科书的定义，比如集合，映射，函数的定义等，这里不再重复。

从计算曲边梯形的面积引入定积分的概念。假设要计算 y = x 2 y=x^2 y=x2与x轴，x=a, x=b(b>a)围成的面积大小，可以采用无限分割（微元）用矩形进行面积近似的方法计算。 得到一个数列求和的形式，写出其求和的通项公式即可。

注意在无限分割时，每个小区间可以是等间距的，也可以不等间距，后者常用用等比数列的方式呈现。当分割的区间数n趋近于无穷时，曲边梯形的面积就可以由小矩形面积的和代替。

对于分割出的每一个小区间，要选取一个函数值作为矩形的高。该函数值的选取相对任意，该区间内的每个自变量对应的函数值都可以作为矩形的高，可以记作 f ( ξ i ) f(\xi_i) f(ξi​)，区间宽度为 x i + 1 − x i x_{i+1}-x_i xi+1​−xi​，则求和公式为 ∑ i = 1 n ( x i + 1 − x i ) ⋅ f ( ξ i ) \sum\limits_{i=1}^n(x_{i+1}-x_i)\cdot f(\xi_i) i=1∑n​(xi+1​−xi​)⋅f(ξi​)。

同时分割的方法很有讲究，分割方法不同计算的难易度也有很大差异，但本质相同。 假设一种分割方法为T，设 λ ( T ) \lambda(T) λ(T)表示所有小区间中宽度最大的一个 的宽度，当λ → 0 \rightarrow 0 →0时，曲边梯形面积近似等于矩形面积之和。

当 Δ x → 0 \Delta x \rightarrow 0 Δx→0时，用 d x dx dx代替，可将上式改写为S = ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx，即求 f ( x ) f(x) f(x)与x轴，x=a和x=b围成的面积。 且规定 ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x ( a < b ) \int_b^af(x)dx= -\int_a^bf(x)dx(a<b) ∫ba​f(x)dx=−∫ab​f(x)dx(a<b) 由定积分的定义可以得到

1. ∫ a a f ( x ) d x = 0 \int_a^af(x)dx=0 ∫aa​f(x)dx=0
2. ∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x \int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx ∫ab​[f(x)±g(x)]dx= ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x \int_a^bf(x)dx \pm \int_a^bg(x)dx ∫ab​f(x)dx±∫ab​g(x)dx
3. ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx= ∫ a c f ( x ) d x \int_a^cf(x)dx ∫ac​f(x)dx+ ∫ c b f ( x ) d x \int_c^bf(x)dx ∫cb​f(x)dx
4. − ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ ≤ ∫ a c f ( x ) d x -|\int_a^bf(x)dx| \le \int_a^cf(x)dx −∣∫ab​f(x)dx∣≤∫ac​f(x)dx+ ∫ c b ∣ f ( x ) ∣ d x \int_c^b|f(x)|dx ∫cb​∣f(x)∣dx
5. x ∈ [ a , b ] 上 ， 若 总 有 g ( x ) ≥ f ( x ) ⇒ 总 有 ∫ a b g ( x ) ≥ ∫ a b f ( x ) x\in[a,b]上，若总有g(x)\geq f(x)\Rightarrow 总有\int_{a}^{b}g(x)\geq \int_{a}^{b}f(x) x∈[a,b]上，若总有g(x)≥f(x)⇒总有∫ab​g(x)≥∫ab​f(x)

在讨论气体做功时我们发现无法避开对 y = 1 x y= \frac{1}{x} y=x1​求定积分这一步骤。我认为在这本书里，作者想通过求解积分来定义出以e为底的对数函数。

可以定义 l n x = ∫ 1 x 1 x d x lnx = \int_1^x \frac{1}{x} dx lnx=∫1x​x1​dx，且当x=e时 l n x = ∫ 1 e 1 x d x = 1 lnx = \int_1^e \frac{1}{x} dx = 1 lnx=∫1e​x1​dx=1 可以证明 ∀ x 1 , x 2 > 0 \forall x_1, x_2>0 ∀