极限计算电路 推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版 链接:https://pan.baidu.com/s/1OiiLZm81uMhLlNSJOA7EnA?pwd=5srd 提取码:5srd 链接:https://pan.baidu.com/s/1oa8CxtH-m1l1mYqYbl1tlQ?pwd=2q1c 提取码:2q1c 「微积分模拟计算机」https://www.aliyundrive.com/s/veVzoMxgHtn 「中学数学表」等文件 https://www.aliyundrive.com/s/KRViFNbZVHJ 「理化用高等算学上册」等文件 https://www.aliyundrive.com/s/VCfydWbxazE 微积分模拟计算机下载地址：https://share.weiyun.com/0XsanDSb https://115.com/s/swn0n5r36zv?password=a2a3# 访问码：a2a3
第二节 极限的概念 极限概念与寻求某些数量的准确性有关。它研究函数在自变量变化过程中的变化趋势。让我们举一个例子。 例1 求由曲线y=x ,x=1.x轴周围的图形(图形称为曲边三角形，图1-11所示)的面积。
解区间[0，1]等分为n个小区间[0，1/n],[1/n,2/n],…,[(n-1)/n,1], 称为子区间，依次为n个内接小矩形如图(1-11)，称为子区间，依次为n个内接小矩形如图(1-11)，其面积分别为: 1 1 1 1 2 2 1 3 2 1 n-1 2 ×0, ×( ), ×( ) , ×( ),…, ×( ), n n n n n n n n n 如果n个小矩形的面积之和S 作为曲边三角形面积S的近似值，有 S≈S = n
1 1 1 1 2 2 1 3 2 1 n-1 2 ×0, ×( ), ×( ) , ×( ),…, ×( ), n n n n n n n n n
1 2 2 2 = [1 2 … (n-1) ] 3 n
1 n(n-1)(2n-1) = * 3 n 6
1 1 1 = (1- )(2- ) 6 n n 图1-11不难发现，n愈大，S 愈接近S。 n 显然，当n无限增加时，S 无限接近或趋势S。 n 另一方面，分析S 可以看出，当n无限变大时，S 无限倾向于1/3， n n 因此，可以断言曲边三角形的面积S为1/3. 事实上，这里讨论的是当自变量n无限变大时， 函数S 变化趋势， n 通过研究函数变化趋势来解决问题的方法称为极限方法。 一般来说，极限概念是指函数在自变量变化过程中的变化趋势， 下面，我们将讨论函数在自变量不同变化过程中的变化趋势，
一 x→x 时函数f(x)的极限 0 让我们先讨论一下，x无限接近x 时，函数y=f(x)无限接近常数A。 0 例如，当x无限接近1时， 函数 2 2x -2 2(x-1)(x 1) f(x)= = x-1 x-1 无限接近4， 下面讨论如何准确描述这种现象。 显然,x接近于1以及f(x)它们的接近程度可以分别接近4│x-1│、│f(x)-4│所谓当x无限接近1时，f(x)无限接近数四， 可以理解为:无论想象中的正数有多小ε，总能找到这样一个正数δ，只要0<│x-1│<δ,就有│f(x)-4│<ε。本质上反映了这一点f(x)无限接近4。 注：从上面的例子中可以看出x≠也就是说，不考虑x=1，所以要有0<│x-1│。 一般来说，当x无限接近时，x 时，函数f(x)无限接近常数A，如下： 0
定义，对于任意给定的正数ε，当0<│x-x │<δ时，恒有 0 │f(x)-A│<ε 称常数A为函数f(x)当x趋向于x 时的极限， 0 或者说函数f(x)在x 处的极限为A，记为 0 lim f(x)=A或?f(x)→A(当x→x 时) x→x 0 0 从几何图形上看，0<│x-x │<δ表示点x与x 的距离小于δ但不与x 重合， 0 0 即点x落在(x -δ,x )∪(x ,x δ )内， 0 0 0 0 人们常称点集(x -δ,x δ)为x 的δ邻域， 0 0 0 记为N(x ,δ),称(x -δ,x )∪(x ,x δ)为x的去心δ-邻域， 0 0 0 0 │f(x)-A│<ε表示f(x)落在区间(A-ε,A ε)内， 即点A的ε邻域N(A,ε)内，因此， lim f(x)=A x→x 0 几何意义如下： 对于任意给定的不论多么小的正数ε, 作为两条直线y=A-ε和y=A ε, 总存在一个x 的去心δ-邻域N(^x ,δ), 0 0 在这个邻域y=f(x)图形落在两条直线之间(图1-12)。
我们愿意提醒读者函数f(x)在x 极限是研究当x→x 时f(x)变化趋势， 0 0 这种变化趋势和f(x)在x 是否有定义无关， 0 这正是上述定义所要求的0<│x-x │<δ事实上，即使是函数的原因f(x)在x 到处都没有定义， 0 0 它在x 处也可以有极限，如上述的例子 0 2x -2 lim =4 x→1 x-1 (图1-13(a)); 另一方面，函数f(x)在x 虽然有定义，但并不意味着它在这一点上有极限(图1-13)（b)); 0 函数f(x)在x 有定义和极限A，也未必有A=f(x )(图1-13（c）） 0 0 上述定义通常被称为ε-δ语言描述的极限定义。
当分母不是0时，极限求法 推导过程见1946年版《大学教材微积分学》，周梦翻译，龙门联合书局出版 2 x -4 lim =4 x→2 x-2
lim (x 2)=4 x→2 当分母为0时，极限求法如下所示 例2: 证明 2 2x -2 lim =4 x→1 x-1 这不是证明，现在用定义证明，这里 2 2x -2 f(x)= =4 , A=4,x =1, x-1 0 因为,
2 2 2x -2 2(x -2x 1) │f(x)-A│= -4 = =2│x-1│,(x≠1) x-1 x-1 所以任意给定ε>0，要使│f(x)-A│<ε，就应取│x-x │=│x-1│<ε/2, 0 因此应取δ=ε/2,当：0<│x-x │=│x-1│<δ=ε/2, 时，就恒有 0 │f(x)-A│=2│x-1│<2*ε/2=ε, 由此可知
2 2x -2 lim =4 x→1 x-1 综上所述：当x-1<δ时，f(x)-4<ε, 所以f(x)在x→1的时，极限是4
例3，证明lim sinx=0 x→0 任意给定的证书ε>0，找出δ，当│x-0│<δ时，要使│sinx-0│=│sinx│<ε 因为│sinx│≤│x│，所以只要0<│x│<ε, 故可取δ=ε，当0<│x-0│<δ时，必有 │sinx-0│<ε,
因此， lim sinx=0, 如何在极限定义中倾向于xx 没有限制， x→0 0 也就是说，x可以随意倾向于x ， 0 有时我们只考虑x从x 的左侧或从x 右端趋于x ， 0 0 0 这就产生了左极限和右极限的概念。 如果x小于定义x 而趋向于x (记为x→x )时f(x)去向于数A， 0 0 0 则称A为x→x 时f(x)左极限，或简称f(x)在x 左极限为A，记为 0 0 lim f(x)=A或f(x -0)=A x→x 0 0 若x大于x 趋向于x (记为x→x )时f(x)趋向于数A， 0 0 0 则称A为当x→x 时f(x)右极限，或简称f(x)在x 右极限为A，记为 0 0 lim f(x)=A或f(x 0)=A x→x 0 0 单侧极限统称为左极限和右极限。显然，函数f(x)当x→x 时限存在的充分必要条件是： 0 f(x)在x 左右极限存在并相等，即 0
lim f(x)= lim f(x) x→x- x→x 0 0 这个值就是f(x)当x→x 的极限。 0 例4.
x+1,-∞<x<0
试求函数f(x)={ x ,0≤x≤1, 1, x>1 在x=0和x=1处的极限。 解（1）因为 lim f(x)= lim (x+1)=1 x→0- x→0+ 2 lim f(x)=lim x =0 x→0- x→0+ (以上两个极限均可用极限定义加以验证）, 即f(x)在x=0处的左、右极限不相等， 所以它在x=1处的极限存在且为1（以上极限可用极限定义加以验证）。 自变量x除了x→x 的变化过程之外，还有其绝对值无限增大（记为x→∞）的变化过程。 0 下面我们将讨论这种情形。
二 x→∞时函数f(x)的极限 我们先来看一个例子，当│x│无限增大时，显然函数f(x)=1/x无限接近于0. 一般地，当│x│无限增大时f(x)趋于A可描述如下：定义，若对于任意给定的正数ε，总存在一个正数N，当│x│>N,恒有│f(x)-A│<ε, 则称常数A为函数f(x)当x趋向于无穷大时的极限，记为 lim f(x)=A 或f(x)→A(当x→∞时) x→∞ 定义的几何意义是：不论直线y=A-ε和y=A+ε所夹的条形域那么窄， 只要x离原点充分远（即│x│>N）, 函数f(x)的图形都在该条形域内（图1-14）。
1
例5，证明lim =0 x→∞ 2x
证，这里f(x)=1/2x, A=0,由 │f(x)-0│=│1/2x-0│=1/2│x│ 可知，要使│f(x)-A│=1/2│x│<ε, 只要│x│>1/2ε, 即可，因此对于任意给定的ε>0，可取, N=1/2ε, 当│x│>N=1/2ε时，恒有 │1/2x-0│=1/2│x│<ε, 故 1 lim =0 x→∞ 2x 类似地，我们可以证明 1 lim =0 x→∞ x 与x→x 的情形相类似，x→∞也存在两种特殊情况：x无限地增大或无限地减少， 0 即表示点x沿着Ox轴无限地向右移动，或无限地向左移动，这时分别记为 lim f(x)=A 和 lim f(x)=A x→+∞ x→-∞ 例如,
1
lim =0 x→+∞ x 和 1 lim =0 x→-∞ x-1 下面我们介绍一个定理： 定理，若x→x （或x→∞）时函数f(x)的极限存在， 0 则存在δ>0(或R>0)，使得f(x)在x 的邻域N(^x ,δ)内(或N(0，R)之外)有界。 0 0 证，我们仅就x→x 的情况予以证明。设 0 lim f(x)=A x→x 0 则对于取定的ε=1/2，总存在一个δ>0，使得当0<│x-x │<δ时恒有， 0 │f(x)-A│<ε=1/2成立，即-1/2<f(x)-A<1/2, 于是有A-1/2<f(x)<A+1/2, 我们取│A-1/2│与│A+1/2│中较大的为M，即M=max{│A-1/2│,│A+1/2│，于是-M<f(x)<M, 即, │f(x)│<M, 因此函数在邻域N(^x,δ)内有界。它表明，极限存在的函数必定在其定义域的某个局部范围内有界，但这并不意味着它在整个定义域内有界，这是应当注意的。
第三节 极限运算
本节将通过介绍极限的运算法则，两个重要极限，无穷小量和函数极限的有关性质，初步地给出一些求极限的方法，本节中凡不标明自变量变化过程的极限号lim, 均表示变化过程适用于x→x ,x→∞等各种情形。 一 无穷小量及其运算 若函数a=a(x)在x的某种趋向下以零为极限，则称函数a=a(x)为x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小量。 例如，函数a(x)=x-x , 当x→x 时，a(x)→0, 0 0 所以a(x)=x-x 是当x→x 时的无穷小量。 0 0 -x 又如a(x)=1/2x，它是当x→∞时的无穷小量。而a(x)=a (a>1)是当x→+∞时的无穷小量。 应当注意，绝对值很小的常数以及负无穷大量都不是无穷小量， 但是零是无穷小量，因为它的极限为零。 定理1，若函数y=f(x)在x→x (或x→∞)时的极限为A， 则：f(x)=A+a(x)或简记为y=A+a, 0 其中a=a(x)为x→x (或x→∞)时的无穷小。 0 反之，若上式成立，则y=f(x)在x→x (或x→∞)时的极限为A。 0 证，我们以x→x 为例。则由极限的定义有：对于任意给定的ε>0，总有δ>0， 0 当0<│x-x │<δ时，│f(x)-A │<ε恒成立，这意味着 0 0 lim (f(x)-A)=0, x→x 0 若记a(x)=f(x)-A, 则由无穷小量的定义可知a(x)是当x→x 时的无穷小量，因此有 0 f(x)=A+a(x) 反之，若f(x)=A+a(x)且a(x)为x→x 时的无穷小量，则对于任意给定的ε>0，总有δ>0， 0 当0<│x-x │<δ时恒有│a(x)│<ε，即有│f(x)-A│<ε,这恰恰意味着 0 lim f(x) =0, x→x 0 对于x→∞的情形，可类似的证明。 定理2，有限个无穷小量（当x→x 或x→∞时）的代数和，仍然是无穷小量。证明从略。 0 定理3，有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。证，以x→x 为例， 0 设a=a(x)为x→x 时的无穷小量，且f(x)在x=x 的某一邻域N(x ,δ )内有界， 0 0 0 1 则对于f(x)必存在一个常数c>0，使得当x∈N(x ,δ )时有│f(x)│<c， 0 1 对于任意给定的正数ε，取ε =ε/c，必存在一个δ >0， 0 2 当0<│x-x │<δ 时，必有 │a(x) │<ε/c 0 2 因此，对于任意给定的正数ε，只要取 δ=min│δ ,δ │, 1 2 当0<│x-x │<δ时，必有│a(x)f(x) │=│a(x)││f(x) │<ε*c/c=ε 这表明当x→x 时， a(x)f(x)是无穷小量（当x→∞时，可类似地证明）。 0 推论1，有限个无穷小量（自变量同一趋向下）之积为无穷小量。 推论2，常数与无穷小量之积为无穷小量。 定理4，若 lim f(x)=∞，则，
1
lim =0 f(x) 反之，设 f(x)≠0，若lim f(x)=0，则，
1
lim =∞ f(x)
证明从略。 例1证明 cosx lim =0 x→∞ x 证，因为 cosx 1 = cosx x x 其中cosx为有界函数，1/x为当x→∞时的无穷小量，所以由定理3可知
cosx
lim =0 x→∞ x
二 极限的运算法则 定理5，若函数y=f(x)与z=g(x)在x→x (或x→∞)时都存在极限。 0 则它们的和、差、积、商(分母的极限不为零)在x→x(或x→∞)时也存在极限，且 (1)lim [f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)； (2)lim [f(x)*g(x)]=lim f(x)lim g(x)； f(x) lim f(x) (3)lim = (lim g(x)≠0); g(x) lim g(x) 证，这里仅就x→x 的情形予以证明，且设 0 lim f(x)=A, lim g(x)=B x→x x→x 0 0 (1)由定理1有(1) f(x)=A+α(x)和g(x)=B+β(x), 其中α(x)和β(x)均为x→x 时的无穷小量，于是 0 lim [f(x)±g(x)]=(A±B)= lim f(x)± lim g(x) x→x x→x x→x 0 0 0 (2)因为 f(x)g(x)=[A+α(x)][B+β(x)] =AB+[Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)] 而由定理3的推论1和推论2可知Aβ(x),Bα(x),α(x)β(x)均为x→x 时的无穷小量， 0 所以由定理1可知, lim [f(x)g(x)]=AB=lim f(x) lim g(x) x→x x→x x→x 0 0 0 商的极限运算法则的证明从略。 推论1，常数可以提到极限号前，即lim cf(x)=clim f(x) 推论2，若lim f(x)=A, 且m为自然数，则 m m m lim [f(x)] =[lim f(x)] =A 特殊的，有 m m m lim x =(lim x) =x x→x x→x 0 0 定理6，设函数y=f[φ(x)]由函数y=f(u)，u=φ(x)复合而成，若 lim φ(x)=u , x→x 0 0 且x 的一个邻域内（除x 外）φ(x)≠u , 0 0 0 又有lim f(u)=A , 则 x→x 0 lim f[φ(x)]= lim f(u)=A x→x u→u 0 0 证明从略. 定理6使我们可以采用作变量替换的方法计算函数的极限。 例1，求 2 lim (x +8x-7) x→1 解，运用定理5及其推论可得： 2 2 lim (x +8x-7)=lim x +lim 8x - lim 7 x→1 x→1 x→1 由于, lim x=1,lim x=7, x→1 x→1 因此, 2 2 lim (x +8x-7)=1 +81-7=2 x→1 一般地，有
n n-1
lim (a x +a x +…+a x+a ) x→1 n n-1 1 0 n n-1 =a x +a x +…+a x +a n 0 n-1 0 1 0 0 即多项式函数在x 处的极限等于该函数在x 处的函数值。 0 0 例2，求 2 4x -3x+1 lim x→-1 2 2x -6x+4 解，由例1知道当x→-1时所给函数的分子和分母的极限都存在，且分母极限 2 2 lim (2x -6x+4)=2*(-1) -6(-1)+4=12≠0 x→-1 所以由定理5商的极限运算法则及关于多项式函数极限的结论，可得 2 2 2 lim 4x -3x+1 4(-1) -3(-1)+1 4x -3x+1 x→-1 lim = = =8/12=2/3 x→-1 2 2 2x -6x+4 lim 2x -6x+4 12 x→-1 例3，求 2 x -3 lim x→1 2 x -5x+4 解，所给函数的特点是分子的极限不为零，分母的极限为零。因此不能直接运用商的极限运算法则，对于这类题目应先计算其倒数的极限，再运用无穷小量与无穷大量的关系得到的结果，具体计算如下：由于 2 2 lim (x -5x+4) 0 x -5x+4 x→1 lim = = =0 x→1 2 2 x -3 lim (x -3) -2 x→1 即x→1时，
2
x -5x+4
为无穷小量，
2
x -3
因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知： 当x→1时，
2
x -5x+4
为无穷大量，
2
x -3
2
x -3
lim =∞ x→1 2 x -5x+4 有时，所给函数在自变量的某个趋向中分子，分母的极限都为零，人们常称为这类极限为“0/0”极限，这时不能直接应用商的极限运算法则。 例4，求 2 x -3x+2 lim x→2 2 x -x-2 解，所给函数的分子分母极限均为0，但它们都有趋向于0的公因子(x-2)， 当x→2时，x≠2,x-2≠0, 可约去这个不为零的公因子，故 2 lim (x-1) x -3x+2 (x-1)(x-2) x-1 x→2 2-1 1 lim = lim = lim = = = x→2 2 x→2 (x+1)(x-2) x→2 x+1 lim (x+1) 2+1 3 x -x-2 x→2
这种求极限的方法的要点是，先将分子，分母因式分解，然后消去分子、分母公共的无穷小量因子。有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分母分子都趋于无穷大，这类极限称为“∞/∞”型的极限，对于它们也不能直接应用商的运算法则。
例5，求 若a ≠0,b ≠0,m,n为正整数，试证
a
n
n n-1 ,m=n
a x +a x +...+a x+a b
n n-1 1 0 m
lim ={ 0,m>n x→2 m m-1 b x +b x +…+b x+b ∞，m<n, m m-1 1 0
证，当x→∞时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大，若将原式变形为 n n-1 a x +a x +…+a x+a n n-1 1 0 lim x→2 m m-1 b x +b x +…+b x+b m m-1 1 0
n n-1 n
x a +a *1/x +...+a *1/ x +a *1/x
= lim[ * n n-1 n-1 1 0 x→∞ m m-1 m x b +b *1/x +…+b *1/ x +b *1/x m m-1 m-1 1 0 则可知，当m=n时， n x =1 m x 方括号中除a ,b 外，当x→∞时各项的极限都为零，因此可得a /b . n m n m
当m>n时，方括号中第一个分式的极限为零，第二个分式的极限为a /b ， n m 于是原式的极限为零。当m<n时，方括号中第一个分式的极限为无穷大， 第二个分式的极限为a /b , 于是原式的极限为无穷大。 n m 此例的结果可以作为公式使用，但要注意只适用于x→∞或x→+∞， 例6，计算
2
x 1
lim ( - ) x→2 2 x -4 x-2 解，由于括号内两项的极限都是无穷大， 因此人们常称为“∞-∞”型极限， 不能直接应用定理5. 一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法。 2 2 x 1 x -x-2 (x-2)(x+1) x+1 lim ( - )= lim ( )= lim = lim =3/4 x→2 2 x→2 2 x→2 (x-2)(x+2) x→2 x+2 x -4 x-2 x -4 例7，计算 lim sin3x x→0 解，令u=3x, 则函数y=sin3x可视为由y=sinu,u=3x构成的复合函数。因为 x→0时，u=3x→0,且u→0时sinu→0(见第二节例2)，所以由定理6可得
lim sin3x=0 x→0 例8，计算 1/x lim 2 x→∞ 解，令u=1/x, 因为
1
lim =0 x→∞ x 且 u lim 2 =1 u→0 所以 1/x lim 2 =1 x→∞ 例9，计算 -1/x lim 2 x→0+ 解，因为
1
lim =+∞ x→0+ x 所以, 1/x lim 2 =+∞ x→0+ 由于 -1/x 1 2 = 1/x 2 因此由无穷大量与无穷小量的关系可知， -1/x lim 2 =0 x→0+
第七部分 推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版 三 两个重要极限1.第一个重要极限 sinx lim =1 x→0 x 我们先来叙述一个定理，然后再证明,
sinx
lim =1 x→0 x 定理7，若对于x∈N(^x ,δ)或│x│>M(M>0)时，有 0 g(x)≤f(x)≤h(x) 且lim g(x)=lim h(x)=A, 则lim f(x)=A, 定理7称为函数极限的夹逼定理，其证明从略。 现证明
sinx
lim =1 x→0 x 证，取一个半径为R的圆，x表示以弧度计的圆心角AOB，设0<x<π/2 (图1-16) 因为扇形AOB的面积大于△AOB的面积而小于△AOC的面积(AC为该圆在A点的切线),所以有
2 2 2
R R R sinx< x< tgx 2 2 2
2
R
各式同除以正值 ,得 2
x 1
1< <
sinx cosx
即
x
cosx< <1
sinx
下面我们来证明 lim cosx=1 x→0 因为 2 x x x x 0≤1-cosx=2sin =2sin sin ≤21* =x 2 2 2 2 且 lim x=0 x→0 所以由定理7推得 lim (1-cosx)=0 x→0 可知 lim cosx=1 x→0 又因为 lim 1=1 x→0 所以再次运用定理7即可得
sinx
lim =1 x→0 x 上面的证明是在0<x<π/2的假设下进行的，对于x取负值的情形也是对的，证明从略 这个极限十分重要，常称之为重要极限，运用它可以推证或计算许多其它的极限。 例10，计算
tgx
lim x→0 x 解
tgx sinx 1
lim = lim * =1 x→0 x x→0 x cosx
这个结果可以作为公式使用。 例11，计算
1-cosx
lim x→0 2 x x x 解 2sinx sinx 1-cosx 2 1 2 2 lim = lim = lim [ ] x→0 2 x→0 2 x→0 2 x x x 2 x sinx 1 2 2 1 = lim [ ] = 1=1/2 2 x/2→0 x 2 2 这个结果可以作为公式使用。 例12，计算 sin5x lim x→0 3x 解: 令5x=u,当x→0时，u→0，因此有 sin5x sinu 5 sinu 5 lim = lim = lim = 1=3/5 x→0 3x x→0 3u/5 3 x→0 u 3 例13，计算 sin3x-sinx lim x→0 3x 解: sin3x-sinx 2cos2xsinx sinx lim = lim =2lim cos2x lim =211=2 x→0 3x x→0 x x→0 x→0 x 下面我们介绍不等式求极限定理。 定理8， 设函数u(x),v(x)在x 的某一个邻域内（或│x│>M,M>0时）满足u(x)≤v(x)或u(x)<v(x)(x 0 可以除外), 若x→x (或x→∞)时它们的极限都存在，则 0 lim u(x)≤lim v(x) 证明从略, 特殊地，若在x 的某一邻域内（或│x│>M,M>0时）， 0 f(x)≤0(或≥0)，则lim f(x)≤0(或≥0) 应当注意，定理8标明，在自变量变化的同一趋向中，不相等的函数的极限值可能相等， 2 2 2 2 例如当x≠0时，a +x >a -x , 但是,
2 2 2 2
lim (a +x )= lim (a -x )=a x→0 x→0 我们不加证明地指出，本节中有关函数的极限定理对于数列而言全部成立。
2.第二个重要极限： 1 x lim (1+ ) =e x→∞ x n 我们先证明数列{u }={(1+1/n) }的极限存在, 证，因为由 n
1 n n 1 n(n-1) 1 2 n(n-1)...(n-n+1) 1 n
u =(1+ ) =1+ * + ( ) +…+ ( ) n n 1! n 2! n n! n
1 1 1 1 2 1 1 2 n-1
=2+ (1- )+ (1- )(1- )+…+ (1- )(1- )…(1- ) 2! n 3! n n n! n n n
1 1 1 1 2 1 1
u =2+ (1- )+ (1- )(1- )+…+ (1- ) n+1 2! n+1 3! n+1 n+1 n! n+1
n-1 1 1 2 n
… (1- )+ (1- )(1- )… (1- ) n+1 (n+1)! n+1 n+1 n+1
因此可知，u 的前n项不小于u 的相应项， n+1 n
而且u 比u 的展开式还多一个正项 n+1 n
1 1 2 n
(1- )(1- )… (1- )
(n+1)! n+1 n+1 n+1
所以 u >u n+1 n
因此{u }是单调递增数列。此外，由u 的展开式可得 n
1 n 1 1 1
u =(1+ ) <2+ + +…+ n n 2! 3! n!
1
1- n
1 1 1 2
<1+1+ + +…+ =1+ 2 2 n+1 1 2 2 1- 2
1
=3- ≤3 n-1 2
所以{u }是有界数列。 综上所述，│u │是单调有界数列，因此极限存在。 n n 我们还可以证明，函数 1 x f(x)= (1+ ) x 当x→∞时，或者 1/x f(x)= (1+ x ) 当x→∞时，都有极限，且 1 x 1/x 1 lim (1+ ) = lim (1+x) = lim (1+ ) x→∞ x x→0 x→0 n 人们记这个极限为数e,于是有 1 x 1/x lim (1+ ) = lim (1+x) =e x→∞ x x→0 1 n 数e是一个无理数，它的近似值可由(1+ ) 展开式中取前若干项计算， n 它的前八位数是e=2.7182818…, x 以e为底的指数函数y=e 的反函数y=log x 叫做自然对数， e 在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx, 人们常运用这个重要极限计算一些极限，运用时的关键，是将所给函数向 1 x 1/x (1+ ) 或 (1+x) =e x 这两种标准形式转化。 例14，计算 1 x/2 lim (1+ ) x→∞ x 解方法1，因为
1 x/2 1 x 1/2
(1+ ) =[(1+ ) ] x x 且 1 x lim (1+ ) =e x→∞ x 所以由复合函数极限的计算法，有 1 x/2 1 x 1/2 1 x 1/2 1/2 lim (1+ ) =lim[(1+ ) ] =[ lim (1+ ) ] =e x→∞ x x x 方法2，设 1/2 1 x f(u)=u ,u=(1+ ) x 于是有，
1 x/2 1 x 1/2 1/2 1/2
lim (1+ ) =lim[(1+ ) ] = lim u =e x→∞ x x 方法2的依据仍然是复合函数极限的计算方法，只是引进了中间变量而已。 例14a，计算 1 x/3 lim (1+ ) x→∞ x 解, 方法1，因为
1 x/3 1 x 1/3
(1+ ) =[(1+ ) ] x x 且, 1 x lim (1+ ) =e x→∞ x 所以由复合函数极限的计算法，有 1 x/3 1 x 1/3 1 x 1/3 1/3 lim (1+ ) =lim[(1+ ) ] =[lim(1+ ) ] =e x→∞ x x x 方法2，设 1/3 1 x f(u)=u ,u=(1+ ) x 于是有，
1 x/3 1 x 1/3 1 x 1/3 1/3 1/3
lim (1+ ) =lim[(1+ ) ] =[lim(1+ ) ] =limu =e x→∞ x x x 方法2的依据仍然是复合函数极限的计算方法，只是引进了中间变量而已。 用数学归纳法可得
1 x/n 1/n
lim (1+ ) =e x→∞ x 其中，n为实数，e为自然对数。 用数学归纳法可得 1 a a lim (M+ ) =M x→∞ x 其中，n为实数，e为自然对数。 用数学归纳法可得 n/x n lim (1+ x ) =e x→∞ 其中，n为实数，e为自然对数。 用数学归纳法可得 1/a 1/a lim (M+x ) =M x→∞ 其中，n为实数，e为自然对数。 用数学归纳法可得 a a lim (M+x ) =M x→∞ 其中，n为实数，e为自然对数。 例15，计算 2/x lim (1-x ) x→∞ 解: 方法1，令u=-x, 因为x→0时u→0,所以 2/x 2/u 1 2 lim (1-x ) = lim (1-u) = lim =1/e x→∞ u→∞ u→∞ 1/u 2 [(1-u) ] 方法2，掌握熟练后可不设新变量。 2/x -1/x -2 -1/x -2 2 lim (1-x ) =lim│(1+(-x)] │ = │lim (1+(-x)] │ =1/e x→∞ -x→∞ -x→∞ 例15a，计算 3/x lim (1-x ) x→∞ 解: 方法1，令u=-x, 因为x→0时u→0,所以 3/x 3/u 1 3 lim (1-x ) = lim (1-u) = lim =1/e x→∞ u→∞ u→∞ 1/u 3 [(1-u) ] 方法2，掌握熟练后可不设新变量。 3/x -1/x -3 -1/x -3 3 lim (1-x ) =lim│(1+(-x)] │ = │lim (1+(-x)] │ =1/e x→∞ -x→∞ -x→∞ 所以，由数学归纳法可得 3/x 1 lim (1-x ) = x→∞ n e 例16，计算
ln(1+x) 1/x 1/x lim = lim ln(1+x) =ln{lim (1+x) ] =1 x→0 x x→0 x→0 例16a，计算
lg(1+x) 1/x 1/x lim = lim lg(1+x) =lg{lim (1+x) ] =lge x→0 x x→0 x→0 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册 398.对数的计算 ln n log n= a lna 因为, ln n log n= 10 ln10 所以, log n=0.4329*ln 10 因为, ln n log n= a lna 所以, lg(1+x) ln e 1 1 lim = = = =0.4343 x→0 x ln 10 ln10 2.3025 因为, ln n log n= a lna
log 6=0.9208 , ln6=1.7917, ln7=1.9459 7
ln6 1.7917
log 6= = =0.9207 7 ln7 1.9459 因为, ln6=1.7917, ln5=1.6094, ln6 1.7917 log 6= = =1.11327 5 ln5 1.6094
由数学归纳法可得 lgn ln n= lge ln6=1.791759, lg2.718=0.434294, lg6=0.778151,
lg6 0.778151
ln 6= = =1.791 lg2.718 0.434294 由数学归纳法可得 lgn log n= a lga
log 6=1.791759, lg5=0.69897, lg6=0.778151, 5
lg6 0.778151
log 6= = =1.11328 5 lg5 0.69897
因为,
lgn
log n= a lga 所以,
lg(1+x) lg e
lim = =lge=0.4342 x→0 x lg 10
例16b，计算 解， log (1+x) 1/x 1/x lim a = lim log (1+x) =log [lim (1+x) ] =log e x→0 x a a x→0 a
因为 ln n log n= a lna 所以, log (1+x) lne 1 lim a = = x→0 x lna lna
例17，计算 x e -1 lim x→0 x 解，令 x u=e -1, 则, x=ln(1+u), 当x→0时，u→0,所以 x e -1 u lim = lim =1 x→0 x u→0 ln(1+u) 例16、17可以作为公式使用。 例17a，计算 x a -1 lim x→0 x 解，令 x u=a -1, 则, x=log (1+u),当x→0时，u→0,所以 a
x
a -1 u
lim = lim =lna x→0 x u→0 log (1+u) a 例16、17可以作为公式使用。 例16b，计算 解， log (1+x) 1/x 1/x lim a = lim log (1+x) =log [lim (1+x) ] =log e x→0 x a a x→0 a
因为 lg n log n= a lga 所以, log (1+x) lge lim a = x→0 x lga
例17，计算 x e -1 lim x→0 x 解，令 x u=e -1, 则, x=ln(1+u), 当x→0时，u→0,所以 x e -1 u lim = lim =1 x→0 x u→0 ln(1+u) 例16、17可以作为公式使用。 例17a，计算 x a -1 lim x→0 x 解，令 x u=a -1, 则, x=log (1+u),当x→0时，u→0,所以 a
x
a -1 u lga
lim = lim = x→0 x u→0 log (1+u) lge a 例16、17可以作为公式使用。
例18，计算 2-x x lim ( ) x→0 3-x 解，因为 2-x 3-x+(-1) 1 = =1+ 3-x 3-x x-3 所以令u=x-3, 当x→∞时，u→∞,因此
2-x x 1 u+5 1 u 1 5
lim ( ) = lim (1+ ) =lim [(1+ ) (1+ ) ]=e*1=e x→0 3-x u→0 u u→0 u u
例18a，计算 6-x x lim ( ) x→0 2-x 解，因为 6-x 2-x+4 4 = =1+ 2-x 2-x 2-x 所以令u=2-x, 当x→∞时，u→∞,因此
6-x x 1 2-u 1 -u 1 2
lim ( ) = lim (1+ ) =lim [(1+ ) (1+ ) ]=1/e x→0 2-x u→0 u u→0 u u 用数学归纳法可得 a-x x lim ( ) =e, 当a<b时 x→0 b-x
a-x x
lim ( ) =1/e, 当a>b时 x→0 b-x
a-x x
lim ( ) =1, 当a=b时 x→0 b-x
a-x x
lim ( ) =e, 当a>b时 x→0 x-b
a-x x
lim ( ) =1/e, 当a<b时 x→0 x-b
a-x x
lim ( ) =-1, 当a=b时 x→0 x-b
x-a x
lim ( ) =e, 当a>b时 x→0 b-x
x-a x
lim ( ) =1/e, 当a<b时 x→0 b-x
x-a x
lim ( ) =-1, 当a=b时 x→0 b-x
x-a x
lim ( ) =e, 当a<b时 x→0 x-b
x-a x
lim ( ) =1/e, 当a>b时 x→0 x-b
x-a x
lim ( ) =1, 当a=b时 x→0 x-b 例19，计算 1/x 2/2x 2 lim (1+2x) = lim (1+2x) =e x→0 x→0
同理可证： 1/x a/ax a lim (1+ax) = lim (1+ax) =e x→0 x→0 第七部分 函数的极限 推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著 5.函数至极限 变数x能取得a,b间之一切数值者，叫做连续变数或简称变数，定义设ε为一任意选定其值甚小之正数，如能求得另一正数δ=δ(ε),当0<│x-a│<δ时，使恒有，0<│f(x)-b│<ε， 那么我们便说x越近于a时，函数f(x)趋近于极限b, 以记号表之如下： lim f(x)=b, x→a 注意1，不等式0<│x-a│是表示x不能等于a的意思，虽则，x=a时，│f(x)-b│<ε能成立之例甚多，然按极限的意思来说，函数f(x)在x=a时的情形如何，可以置之不问，注意2，ε和δ的函数关系，可置之不论，然无论ε如何选定，必有δ存在，ε越小，δ亦越小，函数的极限就是当x趋近于a时，f(x)趋近于b, b就是f(x)在x=a处的极限， 同时，0<│x-a│<δ，0<│f(x)-b│<ε，函数δ=δ(ε)不影响极限，选取一个合适的函数δ=δ(ε)，可以很容易的求出极限值。 例1， lim (1+2x)=3 x→a 设ε为任意选定其值甚小之正数，当x之值合于不等式，0<│x-1│<δ， 设y=1+2x, 省略上式中的常数项，得y≈z=2x, 所以，可设δ=ε/2， 那么，0<│x-1│<ε/2，时，我们就有， │2x-2│<ε， │(1+2x)-3│<ε 以定义，故知x→1时，1+2x越近于极限3，在此例x=1时，1+2x=3, 例2，解法1 2 1-x lim =2 x→0 1-x 当x不等于1时，我们知道， 2 1-x =1+x 1-x 故，x→1时，1+x趋近于2， 解法2 因为, 0<│x-1│<δ, 因为,y=1+x,z=x, 所以可设δ=ε，得 0<│x-1│<ε, │(1+x)-2│<ε 所以，x→1时，1+x趋近于2， 例3， 1 lim sin 存在否， x→0 x 设ε为任意选定其值甚小之正数，我们很容易求得一正整数n,使 1 1 0< < <ε 2(n+1)π 2nπ 今令x在 1 1 ≤x≤ 间隔内变动，1/x就在2nπ与2(n+1)π之间变动， 2(n+1)π 2nπ sin(1/x)就在-1与1之间变动，倘n→∽,，x便越近于0，但sin(1/x)并不越近于一极限， 如图14所示
设A为任意选定其值甚大之正数，如能求得另一正数δ,当0<│x-a│<δ时，使恒有， │f(x)│>A 那么我们便说，x→a时，函数f(x)趋于无穷大，以记号表之如下， lim f(x)=∞ x→a 在几何方面，这意思就是说，直线x=a为曲线y=f(x)的渐近线，
例如， 1 lim sin 2 =∞，图15 x→0 x 证明：设δ为任意比x大的正数，0<│x-0│<δ 1 sin 2 >δ (x-∞) 所以可设δ=ε，得 1 sin 2 >ε (x-∞) 所以当x趋于0时，f(x)趋于∞， 设ε为任意其值选定甚小之正数，如能求得另一正数N, 当x>N时，使恒有 │f(x)-b│<ε 那么我们便说x趋近于无穷大时，函数f(x)趋近于极限b, 以记号表之如下， lim f(x)=b x→∞ 在几何方面，这意思就是说直线y=b为曲线y=f(x)的渐近线 例如： x-1 1 lim = x→0 2x 2
1
因x> 时，就得 2ε
x-1 1
- <ε
2x 2
变数x趋近于a的方式，有x之值始终大于a者，前者写如x→a-0,后者写如x→a+0, 1 lim =-∞, x→-0 x 1 lim =+∞, x→+0 x
lim tanx=+∞
x→π/2-0
lim tanx=-∞
x→π/2+0
6.关于极限值的定理，设二函数y=f(x),z=g(x),在同一区间内有， lim y= lim f(x)=b x→a x→a
lim z= lim g(x)=c x→a x→a a,b,c都是极限数，可令y=b+β,z=c+γ, 当x→a时，β,γ两变数各趋近于零， 定理1
lim (y+z)=lim {f(x)+g(x)}=b+c x→a x→a 证：(y+z)-(b-c)=β+γ, 故 │(y+z)-(b+c)│=│β+γ│≤│β│+│γ│ 令ε为任意选定其值甚小之正数，当x之值充分与a接近时，可使 │β│<ε/2, │γ│<ε/2, │(y+z)-(b+c)│<ε/2+ε/2=ε, lim (y+z)=b+c x→a lim (y-z)=b+c x→a lim yz=lim {f(x)g(x)}=bc x→a x→a 证：yz-bc=(b+β)(c+γ)-bc =bγ+cβ+βγ, 故, │yz-bc│≤│bγ│+│cβ│+│βγ│ 当x之值充分与a接近时，可使 │bγ│<ε/3, │cβ│<ε/3, │βγ│<ε/3, 故, │yz-bc│≤ε/3+ε/3+ε/3=ε, 即 lim yz=bc, x→a 定理3 f(x) b lim y/z= lim = (c≠0) x→a x→a g(x) c 证： y b b+β b cβ-bγ
-
= - =
z c c+γ c c(c+γ)
y b cβ-bγ │cβ│-│bγ│
-
= ≤
z c c(c+γ) │c│(│c│-│γ│)
当x之值充分与a接近时，可使 │β│ <ε/2， │c│-│γ│
│cβ│-│bγ│
<ε/2，
│c│(│c│-│γ│)
由此得，
y b
-
<ε/2+ε/2=ε
z c
故, y b lim = x→a z c 定义，设z为y的函数z=g(y), 而y又为x的函数y=f(x), 则z之值随y而定，y之值又随x而定，因此之故，z与x自必发生一种相依相应的关系，所以z也是x的函数，这种函数叫函数的函数，申言之，函数z是函数y的函数， 定理4, 设 z=g(y),y=f(x),若 lim y= lim f(x)=b x→a x→a lim z= lim g(x)=c x→b x→b 并且g(b)=c,那么 lim z= lim g(x)=c x→a x→a 由此得 lim g{f(x)}=g{lim f(x)} x→a x→a 但a,b,c都是有限数， 证：令ε，ε为任意二正数，δ，δ为适当的二正数， 0<│x-a│<δ [1] 时，恒能使 │y--b│<ε [2] 又当 0<│y-b│<δ [3] 时，恒能使 │z-c│<ε [4] 然原设g(b)=c, 因此我们可把(3)式以│y-b│<δ代之，又ε原为任意选定的正数，可令ε=3, 于是(4)便随(1)式而成立，故 lim z=lim g{f(x)}=c x→a x→a 即, lim g{f(x)}=g{lim f(x)} x→a x→a 注意，若c=∞，以上的四定理亦能成立，
7.两个重要极限值 （1） sinx lim x→a x 以O为圆心，1为半径，做一圆弧AB, 做一圆弧AB, 如图17所示
那么当0<x<π/2时，△OAB<扇形OAB<△OAC, 即 sinx<x<tanx, x 1 1< < sinx cosx 若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cosx趋近于1，故 x lim =1 x→0 sinx 于是 sinx lim =1 x→0 x 因此便得下列两个极限值如下： tanx sinx 1 lim =lim *lim =1 x→0 x x→0 x x→0 cosx 又 2 x x 2sin sin 1-cosx 2 x 2 2 = = ( ) x x 2 x 2 故, 1-cosx lim =1 x→0 x (1)a cosx lim x→0 x 那么当0<x<π/2时，查《中学数学用表》可知， cosx<π/2-x<cotx, π/2-x 1 1< < cosx sinx 若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，sinx趋近于0，故 π/2-x lim =0 x→0 cosx 于是, π/2-x π/2 x lim =lim - lim =0 x→0 cosx x→0 cosx x→0 cosx 因为, π/2-x lim =π/2 x→0 cosx 所以, x lim =π/2 x→0 cosx
cosx
lim =2/π x→0 x 因此便得下列两个极限值如下： cotx cosx 1 lim = lim *lim = 2/π x→0 x x→0 x x→0 sinx
x x
lim = lim *lim sinx= π/2 x→0 cotx x→0 cosx x→0 又 2 x x 2cos cos 1-sinx 2 x 2 2 = = ( ) x x 2 x 2 故, 1-sinx 2 lim =( 2/π) x→0 x
（1）b 2 sin x lim x→a x 以O为圆心，1为半径，做一圆弧AB, 做一圆弧AB, 如图17所示
那么当0<x<π/2时，△OAB<扇形OAB<△OAC, 即 sinx<x<tanx, x 1 1< < sinx cosx 若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cosx趋近于1，故
x
lim 2 =1 x→0 sin x
1
lim =1 x→0 sinx
于是 2 sin x lim =1 x→0 x
lim sinx=1 x→0
因此便得下列两个极限值如下： 2 2 tan x sin x 1 lim =lim lim =1 x→0 x x→0 x x→0 2 cos x 又 2 x x 2 2sin sin (1-cosx) 2 x 3 2 4 = =( ) ( ) x x 2 x 2 故, 2 (1-cosx) lim =1 x→0 x (1)c 2 cos x lim x→0 x 那么当0<x<π/2时，查《中学数学用表》可知， cosx<π/2-x<cotx, π/2-x 1 1< < cosx sinx 1 π/2-x 1 < 2 < cosx cos x sinxcosx 若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，sinx趋近于0，故 π/2-x lim 2 =1 x→0 cos x
1
lim =1 x→0 cosx
于是, π/2-x π/2 x lim 2 =lim 2 - lim 2 =1 x→0 cos x x→0 cos x x→0 cos x 因为, π/2 lim 2 =π/2 x→0 cos x 所以, x lim 2 =π/2-1 x→0 cos x
2
cos x 1
lim = x→0 x π/2-1
因此便得下列两个极限值如下： 2 2 cot x cos x 1 lim = lim *lim 2 = π/2-1 x→0 x x→0 x x→0 sin x
又 2 x 2 x 2 (2cos ) cos (1-sinx) 2 x 3 2 4 = =( ) ( ) x x 2 x 2 故, 2 (1-sinx) 2 lim =( π/2-1) x→0 x
(1)d cotx cosx lim = lim x→0 x 2 sin x 那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知， sinx<x<tanx<cotx<cosx x tanx cotx cosx 1< < < < sinx sinx sinx sinx
x tanx cotx
1< < < <cotx sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于0，故 cotx lim =π/2 x→0 sinx 那么当x=π/4时， sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx cosx sinx x tanx cotx = < < = sinx sinx sinx sinx sinx
x tanx cotx
tanx =1 < < = sinx sinx sinx 若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 cotx lim =2/π x→0 sinx 那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx, cosx cotx sinx x tanx = < < = sinx sinx sinx sinx sinx
cotx x tanx
cotx = < 1 < = sinx sinx sinx 若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故, cotx lim =1 x→0 sinx
(1)e 2 sinx sin x lim = lim x→0 cotx x→0 cosx
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知， sinx<x<tanx<cotx<cosx sinx x tanx cotx cosx < < < < cotx cotx cotx cotx cotx
sinx x tanx 1
< < < 1 <
cotx cotx cotx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 sinx lim =1 x→0 cotx 那么当x=π/4时， sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx cosx sinx x tanx cotx = < < = cotx cotx cotx cotx cotx
cosx sinx x tanx
= < < =1
cotx cotx cotx cotx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 sinx lim =1 x→0 cotx 那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
= < < =
cotx cotx cotx cotx cotx
cosx sinx x tanx
= 1 < < =
cotx cotx cotx cotx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故, sinx lim =π/2 x→0 cotx
(1)f
tanx 1
lim = lim x→0 sinx x→0 cosx
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知， sinx<x<tanx<cotx<cosx
x tanx cotx cosx
1 < < < < sinx sinx sinx sinx
x tanx cotx
1 < < < <cotx sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 tanx lim =1 x→0 sinx 那么当x=π/4时， sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
sinx sinx sinx sinx sinx
x tanx cotx
tanx=1 < < = sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 tanx lim =π/2 x→0 sinx 那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
< < < =
sinx sinx sinx sinx sinx
cotx x tanx
cotx < <1 < = sinx sinx sinx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故, tanx lim =π/2 x→0 sinx
(1)g
cotx 1
lim = lim x→0 cosx x→0 sinx
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知， sinx<x<tanx<cotx<cosx
sinx x tanx cotx cosx < < < < cosx cosx cosx cosx cosx
sinx x tanx cotx < < < <1 cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 cotx lim =1 x→0 cosx 那么当x=π/4时， sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
cosx cosx cosx cosx cosx
sinx x tanx cotx
1 = < < = cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 cotx lim =1 x→0 cosx 那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
< < < <
cosx cosx cosx cosx cosx
cotx sinx x tanx
1 < < < < cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故, cotx lim =π/2 x→0 cosx (1)h
tanx sinx
lim = lim 2 x→0 cosx x→0 cos x
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知， sinx<x<tanx<cotx<cosx sinx x tanx cotx cosx < < < < cosx cosx cosx cosx cosx
sinx x tanx cotx < < < <1 cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 tanx lim =1 x→0 cosx 那么当x=π/4时， sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
cosx cosx cosx cosx cosx
sinx x tanx cotx
1 = < < = cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 tanx lim =π/2 x→0 cosx 那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx,
cosx cotx sinx x tanx
< < < <
cosx cosx cosx cosx cosx
cotx sinx x tanx
1 < < < < cosx cosx cosx cosx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故, tanx lim =π/2 x→0 cosx (1)i 2 cosx cos x lim = lim x→0 tanx x→0 sinx
那么当0<x<π/4时，查《中学数学用表》可知， sinx<x<tanx<cotx<cosx
sinx x tanx cotx cosx < < < < tanx tanx tanx tanx tanx
sinx x cotx cosx < < 1 < < tanx tanx tanx tanx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 cosx lim =π/2 x→0 tanx 那么当x=π/4时， sinx<x<tanx, cosx<x<cotx, sinx=cosx=0.7071, tanx=cotx=1, cosx=sinx<x<tanx=cotx
cosx sinx x tanx cotx
= < < =
tanx tanx tanx tanx tanx
cosx sinx x cotx
= < < 1 =
tanx tanx tanx tanx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故 cosx lim =1 x→0 tanx 那么当π/4<x<π/2时，查《中学数学用表》可知，cosx<cotx<sinx<x<tanx, cosx cotx sinx x cotx < < < < tanx tanx tanx tanx tanx
cosx cotx sinx x
< < < <1
tanx tanx tanx tanx
若把x易为-x,这个不等式仍然是正确的, 当x→0时，cotx趋近于∞，故, cosx lim =1 x→0 tanx (2) 1 n lim (1+ ) n→∞ n 令, 1 n a =(1+ ) n n 则, a =2， 1
3 2
a =( ) =2.25 2 2
4 3
a =( ) =2.37037… 3 3
5 4
a =( ) =2.4414… 4 4
1 n
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得 n
1 n(n-1) 1 n(n-1)...(n-p+1) 1
1+n* + +…+ +… . n 12 2 12…p p n n
1 1 1 1 2 p-1
=1+1+ (1- )+… (1- )(1- )…(1- ) +… . 2 n 12…p n n n 项数与各项之值，皆随n增而增，故 a ,a ,a ,…,a ,… 1 2 3 n 为一增数列，又因 1 1 < 12…p p-1 2 故,
1 1 1
a <1+1+ + +…+ <3
2 2 n
2 2
根据4的定理，当n→∞时，a 应向一极限值(≤3)收敛，
n
这个极限值，Euler氏以e字表之，注：Leonhard Euler,1707-1783 1 n lim (1+ ) =e n→∞ n 就上所论，可知2<e≤3,e的近似值(计算法见53)为e=2.718281828459… 今设x为一大于1的连续变数，并设n为不大于x的最大整数，于是n≤x<n+1, 1 1 1 1+ ≥1+ >1+ n x n+1 由此得 1 n+1 1 x 1 n (1+ ) >(1+ ) >(1+ ) （见see 11） n x n+1 故, 1 x (1+ ) 介于 x
1 n 1 1 n+1 1
(1+ ) (1+ ) 与(1+ ) -(1+ )
n x n+1 n+1
二数之间，当n→∞时，此二数各趋近于e，故 1 x lim (1+ ) =e n→∞ x 若x为小于-1的连续变数，可令y=-x，于是 1 x 1 -y y n (1+ ) =(1- ) =( ) x y y-1
1 y-1 1
=(1- ) (1+ )
y-1 y-1
故, 1 x 1 y-1 lim (1+ ) = lim [(1+ ) (1+ )]=e n→∞ x y-1 y-1 若把式中的x代以1/x，便得结果如下： 1 1/x lim (1+ ) =e n→∞ x 以e为底数的对数叫做自然对数，也叫做Napier氏的对数，A的自然对数本书写如logA,其底数e省略不写，
(2)a 1 2 lim (1+ ) n→∞ n 令, 1 2 a =(1+ ) n n 则, a =4， 1
3 2
a =( ) =2.25 2 2
4 2
a =( ) =1.7777… 3 3
5 2
a =( ) =1.5625 4 4 ………………
101 2
a =( ) =1.0201 100 100
1 2
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得 n
1 1
1+2* + . n 2 n 1 2 1 1 lim (1+ ) = lim (1+2* + ) n→∞ n n→∞ n 2 n
1 1
= lim 1+ lim + lim
n→∞ n→∞ n n→∞ 2
n
=1
1 2
lim (1+ ) = 1 n→∞ n 若把式中的2代以1/2，便得结果如下： 1 1/2 lim (1+ ) n→∞ n 令, 1 1/2 a = (1+ ) n n 则, a =1.4142， 1
3 1/2
a =( ) =1.2247 2 2
4 1/2
a =( ) =1.1546… 3 3
5 1/2
a =( ) =1.11803… 4 4 ………………
101 1/2
a =( ) =1.0049… 100 100 由数学归纳法可知：
1 1/2
lim (1+ ) = 1 n→∞ n
(2)b 1 3 lim (1+ ) n→∞ n 令, 1 3 a =(1+ ) n n 则, a =8， 1
3 3
a =( ) =3.375 2 2
4 3
a =( ) =2.37052… 3 3
5 3
a =( ) =1.9531… 4 4 ………………
101 3
a =( ) =1.12211… 100 100
1 3
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得 n
1 1 1 1 1
1+2* + + +2* + . n 2 n 2 3 n n n
3 3 1
=1+ + + n 2 3 n n
1 3 3 3 1
lim (1+ ) = lim (1+ + + ) n→∞ n n→∞ n 2 3 n n
3 3 1
= lim 1+ lim + lim + lim
n→∞ n→∞ n n→∞ 2 n→∞ 3
n n
=1
1 3
lim (1+ ) = 1 n→∞ n 若把式中的3代以1/3，便得结果如下： 1 1/3 lim (1+ ) n→∞ n 令, 1 1/3 a = (1+ ) n n 则, a =1.25922， 1
3 1/3
a =( ) =1.14471 2 2
4 1/3
a =( ) =1.10064… 3 3
5 1/3
a =( ) =1.07721… 4 4 ………………
101 1/3
a =( ) =1.0033… 100 100 由数学归纳法可知：
1 1/3
lim (1+ ) = 1 n→∞ n 同理可证：
1 4
lim (1+ ) = 1 n→∞ n
1 1/4
lim (1+ ) = 1 n→∞ n
1 5
lim (1+ ) = 1 n→∞ n
1 1/5
lim (1+ ) = 1 n→∞ n ……………….
1 100
lim (1+ ) = 1 n→∞ n
1 1/100
lim (1+ ) = 1 n→∞ n (2)c 1 2 lim (2+ ) n→∞ n 令, 1 2 a =(2+ ) n n 则, a =9， 1
5 2
a =( ) =6.25 2 2
7 2
a =( ) =5.4444… 3 3
9 2
a =( ) =5.0625… 4 4 ………………
201 2
a =( ) =4.0401… 100 100
1 2
若把 (2+ ) 以二项式展开，便得 n
1 1
4+4* + n 2 n
1 2 1 1
lim (2+ ) = lim (4+4* + ) n→∞ n n→∞ n 2 n
4 1
= lim 4+ lim + lim
n→∞ n→∞ n n→∞ 2
n
=4
1 2
lim (2+ ) = 4 n→∞ n 若把式中的2代以1/2，便得结果如下： 1 1/2 lim (2+ ) n→∞ n 令, 1 1/2 a = (2+ ) n n 则, a =1.73205…， 1
5 1/2
a =( ) =1.5811… 2 2
7 1/2
a =( ) =1.5275… 3 3
9 1/2
a =( ) =1.5 4 4 ………………
201 1/2
a =( ) =1.4177… 100 100 由数学归纳法可知：
1 1/2
lim (2+ ) = 1 n→∞ n (2)d 1 3 lim (2+ ) n→∞ n 令, 1 3 a =(2+ ) n n 则, a =27， 1
5 3
a =( ) =3.375 2 2
7 3