介绍连续体结构拓扑优化方法
材料的有效利用一直是人类追求的目标，也是许多研究领域不变的话题，并随着结构优化理论和方法的产生而发展。早期的结构优化主要针对尺寸优化，设计域的形状是固定的。后来，随着结构优化问题的提出，形状优化方法[1]出现在历史时刻。在航空和汽车制造业中，尺寸和形状优化技术经常用于设计结构和零件，形状优化方法也经常用于电磁、电化学和声学零件的设计。目前，有许多成功的算法可以处理这些非线性和有限的维度[2、3]。 形状优化方法是基于边界变基础，在结构设计中仍占有重要地位。设计变量直接控制结构内外边界的形状。然而，其主要缺点是最终设计结果的拓扑与初始给定的拓扑相同。即便如此，有限元网格也需要在优化过程中多次重新划分。如果拓扑想在设计过程中改变结构，设计问题将更加复杂[1]。 为了更有效地利用材料，弥补形状优化固定拓扑的局限性，提出了拓扑优化问题。对于一个新的设计问题，它需要在优化过程中产生，拓扑和形状没有先验信息，优化算法必须息。优化算法必须在所谓的参考域中确定材料的最佳分布，这种分布可以最小化给定的目标函数，满足强烈的约束。因此，拓扑优化问题可以看作是一个材料分布问题其复杂性，拓扑优化是结构优化中更具挑战性的研究课题。 连续体结构拓扑优化的重要发展起源于1981年Cheng和Olhoff[4,5]在研究最大刚度变厚板的最佳设计时，他们发现最佳解含有多种尺寸的钢筋，具有非光滑的特点，这意味着最佳设计必须引入复合材料来扩大最佳设计空间。这导致了包括1984年在内的一系列研究进展Lurie等[6]用G-拓扑优化过程中的非光滑现象；Kohn和Strang等待[7]引入松弛的概念来处理拓扑优化中的病理变化问题，并论证松弛与均匀化的关系；Murat和Tartar[8]引入特征函数处理拓扑优化问题，并指出松弛处理的必要性；Rozvany等[9]研究了在设计加强筋板中引入松弛的含义。这些研究直接导致了1988年Bendsoe和Kikuchi[10]提出了连续体结构拓扑优化的均匀化方法，标志着连续体拓扑优化进入蓬勃发展阶段。 自均匀化方法提出以来，近30年来，提出了多种连续体结构拓扑优化方法，如具有惩罚指数的固体同性微结构模型(SIMP: Solid Isotropic Microstructures with Penalization)结构进化法(ESO)[13，14](Bubble Method)[15]以及水平集方法(Level Set Method)[16、17]等各种方法。这些方法已广泛应用于工程技术领域。 均匀化方法的数学理论是在预测20世纪70年代复合材料等效均匀化材料的宏观特性时提出的。它已应用于许多工程领域，如多孔介质的流体流动和复合材料中的电磁场[18]。在均匀化方法中，拓扑优化问题转化为复合材料微结构参数的尺寸设计问题，并采用一定的优化标准或数学规划方法寻找多孔介质的最佳配置。微结构的引入解决了原拓扑优化中材料分配中只能在离散聚合{0和1}上取值的问题，使其能够在范围[01]上取值。该设计空间的扩展确保了拓扑优化的最佳解决方案。Bends?e和Kikuchi[10]1988年，均匀化方法首次成功应用于连续体结构的拓扑优化设计，建立了以最小结构柔度和结构体积为约束的拓扑优化设计模型。均匀化方法得到了广泛的应用。Suzuki和Kikuchi[19]，Guedes和Kikuchi[20]，Hassani和Hinton[21]，Fernandes等待[22]不断完善和发展这种方法Diaz和KiKuchi[23]和Ma结构拓扑优化等[24]进一步推广到特征频率问题，Nishiwaki等待[25]在柔性机构的拓扑优化设计中应用均匀化理论。然而，这种方法也有其缺点。在优化过程中，需要确定微结构和微结构的方向，有时过于繁琐。同时，优化结果往往包含多孔介质材料，难以制造。同时，由于设计变量大，敏度计算复杂，优化解决效率低。 
为了提高均匀化方法的优化效率，许多学者致力于改进均匀化方法，其中最具代表性的是固体同性材料处罚方法(SIMP)，密度处罚法[11，12]。由于该方法易于实现，计算效率高，已成为最重要的拓扑优化方法，著名的拓扑优化软件Hyperworks.Optistruct使用这种方法。该方法的基本思想是假设单元的密度与材料的物理属性（如允许应力和弹性模量）之间的对应关系，并以连续变量的密度函数的形式显式地表达这种对应关系。变密度法是基于各向同性材料，不引入微结构它以每个单元的相对密度为设计变量，每个单元都有唯一的设计变量。这种做法一度受到质疑，因为没有相应的物理材料来满足材料的特性其密度的功率函数。Bendsoe和Sigmund[26]证明了它的物理意义。为了保证解决方案的存在，密度惩罚通常与边界结构长度约束、密度总变分约束或滤波技术[27]相结合。密度均匀化方法的区别在于，密度惩罚方法接受中间密度值作为优化工具，而均匀化方法接受中间密度值作为有效的设计特征，可以通过微结构实现[28]。目前，密度惩罚方法已广泛应用于拓扑优化设计中的多约束、多物理场和多材料问题。
ESO方法由Xie和Steven[13]在1993年提出，是近年来兴起的一种基于进化策略的优化方法。该方法采用有限元法对设计空间进行离散化处理，离散网格所对应的单元作为设计变量，并采用“零”和“非零”对其进行编码，在位移、应力、频率、临界压力和刚度的约束下，通过设计合适的准则评估单元对目标函数变化的贡献值，并以此为依据对材料单元进行增删，从而逐渐逼近最佳的结构布局形式。相较于SIMP方法，ESO该方法可获得清晰的0-1材料分布。ESO方法又称硬杀法（Hard Kill），即直接删除应变能密度最低的单元。随后，该方法进一步改进为双向进化结构优化方法（BESO: Bi-directional EvolutionaryStructural Optimization）[29，30]根据设定的规则删除和复活单元，实现结构拓扑的变化。尽管最初的ESO该方法主要依赖于直觉，但随着研究的深入，为了提高算法和优化结果的稳定性，逐渐引入了类似变密度法的共轭梯度分析和过滤技术。ESO该方法符合工程直观性，应用简单方便，已成功解决不同类型拓扑优化问题[32-34]。 均匀化法SIMP方法和进化结构法属于基于材料分布的拓扑优化方法，而泡沫法则属于基于几何边界的拓扑优化方法。基于几何边界的拓扑优化方法分为隐藏边界描述方法和显式边界描述方法两类，泡沫法属于典型的显式边界描述方法，水平集方法属于典型的隐藏边界描述方法，与显式边界描述方法相比，隐藏边界描述具有许多优点，如：无需重新划分网格，可以同时描述结构拓扑和形状变化。 水平集的方法是Osher和Sethian[35]1988年在研究曲线（或曲面）以曲率相关的速度进化时提出的是描述曲线（或曲面）进化过程的一种方法。其主要思想是引入水平集函数，将移动界面的零等值表面嵌入到高维水平集函数中。在进化过程中，进化曲线（或曲面）总是对应于零等值线（或表面），只要确定零等值线（或表面）就可以确定移动界面的位置。 由于水平集方法在模型描述方面有很多优点，2000年Sethian和Wiegmann[36]首先将水平集方法引入结构拓扑优化领域，设计等应力结构，开发高边界分辨率刚性结构拓扑优化方法。Wang等[16、37、38]扩展了水平集拓扑形状优化方法，结合了水平集方法和形状导数，通过结构边界的法向速度建立了Hamilton-Jacobi偏微分方程与形状导数的关系，采用逆风策略解决水平集方程，实现结构边界的演变，直至获得最佳解。Allaire等[17、39]提出了一种类似的水平拓扑形状优化方法，其边界速度场是从严格的形状敏度分析中推导出来的，边界进化是通过Hamilton-Jacobi实现方程，然后将该方法应用于拓扑优化和柔性机构拓扑优化。 为了提高水平收集方法的优化收敛速度和效率，减少逆风差分格式CFL条件的限制而增加的计算消耗，几种改进的水平集方法被提了出来，例如：Belytschko等[40]提出了规则隐藏函数的水平集拓扑形状优化方法，通过优化策略直接更新窄带水平集函数的结点值，实现边界演变。Haber等[41]结合序列二次规划法和多级网格细化法，提出了结构特征频率形状优化的改进水平集方法。Amstutz和Andra[42]提出拓扑导数概念水平集拓扑优化方法。Xia等[43]提出了半拉格朗日的水平集方法，可以摆脱步长限制，提高优化效率，但稳定性较差。Chen等[44]将R函数和B结合样条曲线函数，提出了具有参数控制和拓扑变化的形状优化方法。Wang S Y等[45]将径向基函数引入水平集方法，用参数径向基函数代替原离散水平集函数描述方法，用原水平集优化方法引入水平集方法Hamilton-Jacobi偏微分方程转换为常微分方程，摆脱了CFL步长限制的条件，有效提高了解的效率。Luo Z等[46]在径向基函数方法的基础上使用紧支径向基函数(CS-RBF)以插值函数扩展系数为设计变量，采用最优化标准方法更新设计变量，有效解决了标准水平集方法存在的一些问题。Wei和Wang[47]根据分段水平集的方法，提出了新的分段水平集拓扑优化方法，但用于处理多材料问题的优化更能体现其优势。 
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