7.2 建模方法的基本交流
- 本节将介绍PWM通信小信号模型的推导步骤及其含义。
- 步骤：
- 电感电容波形的低频平均方程采用小纹波近似的动态版本；
- 平均线性处理方程；
- 构建交流等效电路。
- 以如下图所示的buck-boost以变换器为例，以同样的方式分析确定电感和电容的电压电流。
- 当开关位于位置1时，可获得a所示电路；当开关位于位置2时，可获得b所示电路。
- 电感电压和电容电压为1： v L ( t ) = L d i ( t ) d t = v g ( t ) v_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}=v_g(t) vL(t)=Ldtdi(t)=vg(t) i C ( t ) = C d v ( t ) d t = ? v ( t ) R i_C(t)=C\frac{dv(t)}{dt}=-\frac{v(t)}{R} iC(t)=Cdtdv(t)=−Rv(t)
- 2位置，电感电压和电容电压为： v L ( t ) = L d i ( t ) d t = v ( t ) v_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}=v(t) vL(t)=Ldtdi(t)=v(t) i C ( t ) = C d v ( t ) d t = − i ( t ) − v ( t ) R i_C(t)=C\frac{dv(t)}{dt}=-i(t)-\frac{v(t)}{R} iC(t)=Cdtdv(t)=−i(t)−Rv(t)
7.2.1 电感和电容波形的平均
- 首先推导出电感波形的平均分量随时间变换的方程，瞬态时电感电流和电压之间关系如下，记为等式7.9： L d i ( t ) d t = v L ( t ) L\frac{di(t)}{dt}=v_L(t) Ldtdi(t)=vL(t)
- 电感电压与电流的平均值是否存在类似的关系呢？这部分我们来推导下： d < i L ( t ) > T s d t = d d t [ 1 T s ∫ t − T s / 2 t + T s / 2 i ( τ ) d τ ] \frac{d<i_L(t)>_{T_s}}{dt}=\frac{d}{dt}[\frac{1}{T_s}\int_{t-T_s/2}^{t+T_s/2}i(\tau)d\tau] dtd<iL(t)>Ts=dtd[Ts1∫t−Ts/2t+Ts/2i(τ)dτ]
- 在上面等式的右边，由于电感电流连续，且电感电压 v L ( t ) v_L(t) vL(t)在一个开关周期的积分区间内具有有限个不连续点。因此，可以互换微分积分顺序。上述式子变为： d < i L ( t ) > T s d t = 1 T s ∫ t − T s / 2 t + T s / 2 d i ( τ ) d τ d τ \frac{d<i_L(t)>_{T_s}}{dt}=\frac{1}{T_s}\int _{t-T_s/2}^{t+T_s/2}\frac{di(\tau)}{d\tau}d\tau dtd<iL(t)>Ts=Ts1∫t−Ts/2t+Ts/2dτdi(τ)dτ
- 已知 d i ( t ) / d t = v L / L di(t)/dt=v_L/L di(t)/dt=vL/L，代入上式中，得 d < i L ( t ) > T s d t = 1 T s ∫ t − T s / 2 t + T s / 2 v L ( τ ) L d τ \frac{d<i_L(t)>_{T_s}}{dt}=\frac{1}{T_s}\int _{t-T_s/2}^{t+T_s/2}\frac{v_L(\tau)}{L}d\tau dtd<iL(t)>Ts=Ts1∫t−Ts/2t+Ts/2LvL(τ)dτ 变换下，可得等式7.10 L d < i L ( t ) > T s d t = < v L ( t ) > T s L\frac{d<i_L(t)>_{T_s}}{dt}=<v_L(t)>_{T_s} Ldtd<iL(t)>Ts=<vL(t)>Ts
- 由上可知，电感电流和电压的平均分量也遵循等式7.9的定义，同理，通过类似的分析可以得到电容电压和电流的平均分量关系，即 C d < v L ( t ) > T s > d t = < i C ( t ) > T s C\frac{d<v_L(t)>_{T_s}>}{dt}=<i_C(t)>_{T_s} Cdtd<vL(t)>Ts>=<iC(t)>Ts