本文为GAMES101现代计算机图形学入门 学习笔记系列。

我们的系列笔记将分为两部分：

1. 课堂笔记
2. 作业

2020年2月严令琪教授的原课程 GAMES101 现代计算机图形学入门。

课程主页：https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html (幻灯片和课程视频都在这里)

共有22节课。共有8次作业。

对人群：计算机图形学入门新手

教材： Steve Marschner and Peter Shirley的"Fundamentals of Computer Graphics" 第三版或更新版。目前没有官方中文版。 民间翻译：https://www.stubbornhuang.com/1812/

笔记目录

2022-6-5

本节内容

• 视图变换(续) – 视口变换
• 光栅化 – 光栅三角形

如何确定视锥？

首先确定距离，即近平面和远平面的z坐标，n和f

然后确定形状。有两种确定方法：

• 给定近平面宽度和高度
• 给定视锥角 field of view(fov) (上下角度和左右角度也是两个参数)

一般来说，我们混合使用它，即：

• 给定宽高比 aspect ratio(width/height)
• 给定上下的可视角度 fovY

根据这两个参数，加上平面距离。我们可以找到任何平面的宽度和高度。

例如：已知距离|n|，以及fovY，以及aspect ratio

于是平面t（top, 也就是说，最大y坐标可以通过以下关系找到 tan ( f o v Y / 2 ) = t ∣ n ∣ \tan (fovY/2) =\frac{t}{|n|} tan(fovY/2)=∣n∣t

平面的r（right，也就是说，最大的x坐标可以通过以下关系找到 a s p e c t = r t aspect = \frac{r}{t} aspect=tr​

由此可见，视锥角度+宽高比+距离可以求出视锥上的任意平面

上节课说到，将3D物体显示到2D屏幕上需要两步：

1. 将透视投影的视锥转换为正交投影的标准立方体（MVB变换）
2. 将正交投影的标准立方体投影到屏幕上（视口变换）

这次我们讲第二步。

首先，我们的标准立方体是[-1, 1]^3的这样一个立方体。

为什么需要这样一个立方体？

因为屏幕的尺寸和分辨率（比如有的是27寸，有的是24寸，有的是4K，有的是2K）各不相同。所以这其实是相当于我们先把所有信息都归一化，然后再缩放到具体的屏幕上去。

现在我们已经有了这个立方体了，现在要做的就是把这个立方体的信息解压缩，也就是缩放到你所用的屏幕上去。

为此我们需要先定义屏幕的像素是什么？

像素pixel是picture element的缩写，可以认为它就是只能表示一种颜色的一个小方块。

它的颜色用R G B三个数来表示，分别代表红绿蓝。将三原色混合就得到了任意颜色。

整个屏幕就是铺满了若干这样的小色块。

由此，我们需要对这些像素进行编号。

我们规定：

• 坐标原点位于左下角
• 像素编号都是整数，x坐标编号从0到width-1，y坐标编号从0到height-1，因此一共有width*height个像素
• 像素的位置设定为色块的中心，也就是说像素位置=(x+0.5, y+0.5)。 这里x和y都是整数编号

接下来我们就可以做变换了。

将标准立方体的坐标变换到屏幕上，这样的变换被称为视口变换（viewport transformation) (为什么叫视口？我猜是把屏幕想象成一个窗口，因为是向外看的窗口，所以叫视口）

立方体还有个z坐标，目前我们暂时忽略z坐标。

也就是 [ − 1 , 1 ] 2 = > [ 0 , w i d t h − 1 ] [ 0 , h e i g h t − 1 ] [-1, 1]^2 =>[0, width-1] [0, height-1] [−1,1]2=>[0,width−1][0,height−1]

为此，我们先缩放，再平移即可。

缩放：原本的尺寸是2x2，现在的尺寸是width x height 所以x方向缩放 width/2, y方向缩放height/2

平移：原本位于原点，现在位于 (width/2, height/2) 所以只需要x方向上平移width/2， y方向平移height/2

为什么用三角形？

• 基础且简单，可以组成任意多边形
• 保证共面
• 很容易定义内外（向量叉积）
• 容易插值，可以根据顶点做渐变（重心插值）

我们关心的问题在于：已知三个顶点定义的一个三角形，我们想把它涂成红色，那么我们该如何对像素进行操作？

最简单的方法就是：采样

什么是采样？就是将一个函数离散化

如下就是一种采样

我们要做的采样如下： 我们要把所有像素中心位置在三角形内的像素涂红

我们定义如下分段函数：

也就是，在三角形内部，就定义为1，不在，就定义为0

我们只需要对屏幕所有像素进行循环

如何判断一个点是否在三角形内部呢？

之前其实已经讲过了：用叉乘。

只需要点在三条边的同一侧即可。

用向量P0P1与P0Q叉乘，会都得到一个向量，看该向量的z坐标是正是负（正的代表Q在P0P1的左侧） 同理，判断Q在P1P2，以及P2P0的左侧还是右侧。如果Q在三条边的同一侧（无所谓是左侧还是右侧），那么Q一定在三角形内部。否则就不在。 假如恰好落在边界上，我们无需处理。

没必要检查整个屏幕，只需要检查bounding box（包围盒）就行了。

更进一步的，假如对于倾斜的，很狭长的三角形，可以直接去求它边的最小最大坐标。