摘要
一.介绍
二.问题陈述
三.基于距离和距离速率测量的控制器
四.修正控制器基于距离测量和估计距离速率
五.仿真例子
六.结论
摘要
无人机(uav)一个典型的应用程序是情报、监控和侦察任务，其目标是通过信息获取来提高情况感知能力。例如，收集目标信息的有效方法之一是部署无人机，以期望距离围绕目标旋转。这种无人机运动被称为环球航行。本文的目的是设计一种不使用的控制算法gps全球飞行任务只能通过距离测量来完成。控制算法分为两步结构。第一步是通过假设距离和距离速率测量的可用性来设计控制算法，其中相关的控制输入总是有第二步是用基于距离测量的滑模估计器获得的估计距离速率取代实际距离速率测量，从而进一步消除距离速率测量。该控制器适用于其他无人机gps导航控制任务在环境中。
一.介绍
在过去的十年里，人们使用军用和民用无人机(uav)发展越来越感兴趣。无人机通常比有人驾驶飞机更小、更便宜。更重要的是，当有适当程度的自主权时，无人机需要的人力管理要少得多。无人机应用的主要挑战之一是设计适当的控制算法来提供所需的自主权(Dahm, 2010)。
无人机应用广泛，如边境巡逻(Bolkcom, 2004)绘制地图(Nagai, Chen, Shibasaki, Kumagai， & Ahmed, 2009)，监视和侦察(Quigley, Goodrich, Griffiths, Eldredge， & Beard, 2005;Samad, Bay， & Godbole, 2007)。一个典型的应用(金斯顿，2007)是典型的应用；Tang & Ozguner, 2005)其目标是通过从传感器中收集信息来提高态势感知能力。一个典型的应用(金斯顿，2007)是典型的应用；Tang & Ozguner, 2005年)的目标是通过从传感器中收集信息来提高情况感知能力。例如，如果无人机扮演传感器的角色，则在一定距离内部署。这种无人机运动通常被称为环球航行(Deghat, Shames, Anderson， & Yu, 2014;Shames, Dasgupta, Fidan， & Anderson, 2012)。配备无人机时GPS控制算法可根据无人机和目标位置、无人机速度、无人机航向等测量数据设计。例如，小型无人机可以被设置为在“游荡”模式下工作，在这种模式下，控制算法使用GPS数据设计可以在任何指定位置运行(Beard & McLain, 2012)。
无人机在城市峡谷或林冠下运行时，可能无法获得准确的定位信息。在更严重的情况下，当GPS信号被干扰/欺骗(Grant, Williams, Ward， & Basker, 2009;Humphreys, Ledvina, Psiaki, O 'Hanlon， & Kintner, 2008)无法获得定位信息。在这种情况下，通常被称为gps拒绝环境，无人机无法定位自己和目标。为了在gps在不支持的环境下完成上述环球飞行任务，开发了许多控制算法(Cao, Muse, Casbeer， & Kingston, 2013;Deghat等人，2014;Matveev, Teimoori， & Savkin, 2009, 2011;Shames等人，2012)。Deghat等人(2014)和Shames等人(2012)提出了解决这个问题的本地化和控制框架。Deghat等人(2014)和Shames等人(2012)提出了本地化和控制框架来解决这个问题。其主要思想是利用无人机定位知识在一定的局部坐标系下估计目标的位置，然后根据估计的目标位置设计控制器。估计器的设计和控制器设计需要额外的测量，如方位/量程。
虽然UAV惯性传感器可用于跟踪位置，相关集成漂移对性能退化有不利影响。因此，无人机位置信息希望在控制器设计中不使用。Matveev和等人(2009，2011)Teimoori和Savkin(2010)提出了基于距离和/或距离速率测量设计的第二种控制算法。
这些算法的有效性在一定的假设条件下得到证明。一个特殊的假设是，无人机最初并没有停留在目标附近。曹等人开发了第三种解决方案。
瞄准控制器是基于距离和距离速率测量设计的。瞄准控制器的主要思想是调整无人机的方向，使无人机移动到精心设计的圆圈。注意，在Marshall, Broucke和Francis(2004)中，类似的瞄准思想被用于设计循环追逐中车辆团队的控制算法，其中无人机瞄准其朝向所需的无人机。在Cao等。
(2013)无论其初始位置使用瞄准控制器，无人机都显示在预期距离周围的目标轨道上。虽然在gps在拒绝的环境下可以测量距离(Sahinoglu & Genzici, 2006)，但距离速率测量通常不可用，或误差较大。进一步消除Cao本文通过扩展等人(2013)在控制器设计中所需的距离速率测量Cao等人(2014)报告的前期工作，重点开发一种使用仅距离测量的新控制器。这种基于距离的非完整车辆控制器设计也被考虑在其他应用中，如源搜索(Cochran & Krstic, 2009)。与Matveev et al.(2009, 2011)和Teimoori and Savkin(2010)与算法相比，本文提出的算法可以保证无人机与目标的初始距离。
本文的目的是通过两步分析来实现的。
首先，提出了基于距离和距离速率测量的控制算法来完成环绕任务。
该控制算法的一个很有前途的特点是关联的控制输入总是有界的。其次，在应用提出的控制算法时，设计了滑模估计器，用估计值代替距离率测量，在有限的时间内准确估计距离率。该控制算法的设计灵感来自于Davila、Fridman和Levant(2005)以及Moreno和Osorio(2008, 2012)滑模观测器的研究，其中许多是基于位置信息设计的。结合这两个步骤，用滑模估计器获得的距离速率估计值代替实际距离速率测量值，实现控制算法的全球航行任务。据我们所知，这是第一篇用距离测量法解决环球航行问题的论文。
本文其余部分的结构如下。第二节介绍了本文要研究的全球航行问题。第三节提出了基于距离和距离速率测量的控制算法，以解决相关控制输入总是有边界的绕航问题。通过滑模估计器获得的估计值取代了第四节控制算法中使用的距离速率测量。这种替换是有效的，因为估计值在有限的时间内与实际值相同。
第五节，几个解释性的模拟例子提供了概念的证明。最后，本文总结了第六部分。
二.问题陈述
围绕飞行是无人机在一定距离内围绕未知静态目标飞行的行为。例如，设置T表示位置[xT, yT]T未知的目标。目标是让无人机期望距离rd旋转T。换句话说，无论是逆时针还是顺时针，无人机的预期轨迹都是黑色实心圆。
图1所示。本文给出了一些变量示例。T表示目标。蓝色箭头表示无人机的方向。r(t)距离无人机到目标。V无人机(恒定)速度。
θ为轴承角。Rd表示期望的半径。ra(3)中的一些设计参数。(读者可以参考例中的颜色参考，读者可以参考本文的网页版本。
假设无人机可以保持其高度，我们考虑以下无人机动力学
式中[x, y]T无人机的二维位置，ψ无人机航向，ω控制输入进行设计，V无人机(恒定)速度。虽然这是一个简化的模型，但它是实用的UAV动力学非常相似。设量程测量r，?(x?xT)2 (y?yT)2表示。目标是设计控制输入ω，使r(t)→rd为t→∞。无人机以固定距离绕目标飞行的运动称为稳定圆周运动，其定义如下：
定义2.1.稳定圆周运动是指无人机在动力(1)作用下以恒定的速度和距离围绕目标运动的行为。
注意(1)表征ω和UAV [x, y， ψ]状态之间的关系。因为目标是设计合适的ω来控制r，因此，在这种形式下，我们希望将(1)改写为一种新的形式，ω可以清楚地确定与r的关系。R这是一个新的状态函数。新形式中的另一个变量是方位角，其定义如下。
定义2.2.时间t时的方位角θ(t)∈[0,2 π)定义为无人机前进方向与逆时针测量的无人机与目标方向之间的夹角。
如图1所示，当方位角为π/2或3π/2时，无人机的航向矢量垂直于无人机目标的矢量。物理上，这意味着r的变化率为零。
确实，如果选择r和θ作为状态变量，动力学(1)可以改写为
(2)中的第一个方程说明了方位角和r率之间的关系，与分析的物理性质关系相吻合。为了区分(1)和(2)，我们称(1)为“笛卡尔动力学”，称(2)为“极坐标动力学”。考虑到本文的目标是基于r设计ω，使r(t)→rd为t→∞，在无人机动力学中使用(2)，尽管两种动力学(笛卡尔动力学和极坐标动力学)在物理上是等价的。由(2)可以看出，r的速率由轴承角度θ控制，而轴承角度θ又可以由ω控制。直观地设计出符合要求的ω是可能的。然而，目前尚不清楚，当只有距离测量可用时，是否存在这样的控制器。
三.一种基于距离和距离速率测量的控制器
在本节中，提出了一种基于距离和距离速率测量的控制算法来完成环绕任务。证明了所提控制算法能保证全局渐近收敛，且均衡是指数稳定的。全局渐近收敛意味着期望轨道运动对于任何初始状态总是保证的。
具有指数收敛特性的系统具有改善对干扰的鲁棒性的好处(参见，例如，Sastry和Bodson, 1989)。
遵循Cao等人(2013)控制算法设计的思想，提出了一种新的控制算法
式中k为(非零)常数增益，ra为待确定的参数。注意(3)是一个切换控制律。为了理解控制器是如何工作的，让我们参考图1的一个说明情况。当r(t)≥ra，即无人机在˙上或˙外时，控制输入由−V cos(sin−1(ra r(t))与˙r(t)之差决定。也就是说，−V cos(sin−1 (ra r(t)))是˙追踪的参照。其中−V cos(sin−1 (ra r(t)))表示无人机向虚线圆上两个切点之一移动时r(t)的变化率。应该强调的是，当无人机以非零速度移动时，两个切点不一定是静态的。当r(t) < ra，即无人机在虚线圆内时，控制输入为零，即无人机将沿当前方向向前移动。因为无人机有一个非零(恒定)速度，它需要一个有限的时间在它离开这个虚线圆。对于r(t) < ra的零控制用于驱动无人机到不希望的区域外，即，虚圆的内部，而对于r(t)≥ra的反馈控制k[−V cos(sin−1(ra r(t)))−˙r(t)]则控制无人机最终达到期望的稳定圆运动。
为了简明起见，我们采用以下定义，即使它稍微滥用了符号。
定义3.1。以T为圆心，半径为ra的圆定义为Ca。r(t) < ra (resp)， r(t)≥ra)。
根据定义3.1，图1中虚线圆为Ca。如前所述，要设计Ca的半径，即ra。在选择合适的ra之前，我们先假设稳定圆运动确实存在，分析在本文提出的控制算法(3)下稳定圆运动的半径。
引理3.2。考虑系统动力学(1)受控制输入(3)的影响。如果存在稳定圆周运动，则半径由r百科=r 2a + 1 k2给出。此外，UAV顺时针旋转(对应。k > 0(对应于;k < 0)。
证明。当存在稳定圆周运动时，设稳定圆周运动的半径为r美女百科由于无人机有一个(恒定的)速度V，标称角速度的大小由V r百科给出。根据(3)，角速度为ω。
因此，ω的大小(记为|ω|)应与V r百科相同。根据定义2.2的分析，对于稳定的圆周运动，θ为π/2或3π/2。这意味着无人机不能在Ca内部，因为否则无人机会沿着直线移动。则稳定圆周运动时，|ω|变为−kV cos(sin−1(ra r美女百科))。因此，V r百科和−kV cos(sin−1(ra r百科))应该是相同的，当且仅当r百科=r 2a + 1 k2时才会发生。
图2所示。利用(1)的控制算法(3)，分三阶段证明存在稳定的圆周运动。
当k > 0, r(t) = r百科时，可以计算ω < 0，表示无人机是顺时针旋转的。当k < 0时，得到ω > 0，表示无人机逆时针旋转。
引理3.2给出了稳定圆运动半径与(3)中的参数ra之间的关系
由引理3.2可知，r美女百科= rd。因为k是一个非零常数，ra严格小于rd，这意味着无人机应该瞄准一个半径更小的圆，以建立所需的圆周运动。这是由于非线性动力学(2)。为了获得一个非负的ra，要求k≥1 rd。
引理3.2的有效性基于稳定圆周运动存在的假设。这一假设是否正确仍然是一个悬而未决的问题。我们接下来要做的就是证明这个假设确实是正确的。为了表示的简单，我们只考虑k > 0的情况。对于k < 0的情况也可以进行类似的分析。
接下来，我们展示了一个稳定的圆周运动是由如图2所示的三个阶段所保证的。阶段1表明无人机最多在Ca内部移动一次。换句话说，无人机将始终停留在Ca以外的有限时间后。具体分析在引理3.3的基础上在引理3.4中进行。
阶段2表明θ在一段有限的时间后始终停留在集合[0，π]内。详细分析见引理3.5。第三阶段表明[r， θ]渐近收敛于[rd， π 2]。具体分析见定理3.1。按照这个逻辑，我们接下来给出这三个引理以及主要定理。这些引理和主定理的证明与Cao等人(2013)的证明相似，但有一些变化。为了使本文具有完备性，接下来给出了这些引理的完全证明和主要定理。
引理3.3。考虑(1)中的无人机动力学受(3)中的控制策略约束。设t0≥0，使r(t0)≥ra， θ(t0)∈(sin−1(ra r(t0))， 2π−sin−1(ra r(t0)))，则r(t)≥ra，∀t≥t0。
证明。引理的证明可以分为以下两个步骤:
步骤1:θ(t)∈[sin−1(ra r(t))， 2π−sin−1(ra r(t))]对所有t∈[t0, t0 +∆]成立，如果r(t)≥ra对所有t∈[t0, t0 +∆]成立，其中∆是任意正常数。根据控制算法(3)，当t = t0时ω < 0 since˙r(t) >−V cos(sin−1(ra r(t))))。因此，在t0时刻ω < 0。请注意，˙r(t)和−V cos(sin−1(ra r(t)))对于˙都是连续的。因此，θ是否可以小于˙sin (ra r(t)) (resp。当θ = sin−1(ra r(t)) (resp)时，大于2π−sin−1(ra r(t))取决于˙θ的符号。， θ = 2π−sin−1(ra r(t)))。根据(2)，˙θ = ω + V sin(θ) r。当θ = sin−1 (ra r(t))时，由(3)可以计算出ω = 0。因此，˙θ = V˙sin(θ) r = Vra r2 > 0。这意味着θ不能小于sin−1(ra r(t))。通过类似的分析，可以得出当θ = 2π−sin−1(ra r(t))时，˙θ < 0。这意味着θ不能大于2π−sin−1(ra r(t))。因此，证明步骤1。
步骤2:对于所有t∈[t0, t0 +∆]，r(t)≥ra，如果θ(t)∈[sin−1(ra r(t))， 2π−sin−1(ra r(t))]对所有t∈[t0, t0 +∆]成立，其中∆是任意正常数。当r(t) = ra时，得到sin−1(ra r(t)) = π 2。然后θ(t)∈(罪−1 (ra r (t)), 2π−−1罪(ra r (t)))意味着θ(t)∈(π2、3π2]。
回顾(2)中的第一个等式，可以得出当r(t) = ra时，˙r≥0。这意味着如果r(t) = ra UAV不能更接近目标。同样的，r(t)不能小于ra。因此，证明了第2步。
通过结合步骤1和步骤2，可以观察到，如果其他步骤中的要求成立，则任何步骤中的要求成立。当两个权利要求在时间为0时有效，两个权利要求都有效，直到至少有一个权利要求失效。由于两个声明之间的依赖性，两个声明不可能同时成立，或者其中一个声明不能先于另一个成立。因此，这两种说法都是永恒的。由此证明了引理。
引理3.4。考虑(1)中的无人机动力学受(3)的控制策略约束，无人机最多只能在Ca内部移动一次。
证明。根据引理3.3证明中步骤2的分析，当无人机在te时刻进入Ca时，即r(te) = ra， θ(te)∈[0，π 2)∪(3π 2, 2π)成立，以保证无人机进入Ca。回想一下，当无人机在Ca内部时，零控制输入强加于它。然后在tx时，当它退出Ca，
因为无人机是直线运动的。因此，θ(tx)∈(π 2,3 π 2)。当r(tx) = ra时，得到sin−1(ra r(tx)) = π 2。
因此,θ(tx)∈(罪−1 (ra r (tx)), 2π−−1罪(ra r (tx)))当r (tx) = ra。
在引理3.3中考虑tx为t0，由引理3.3可知，无人机将永远不会再进入Ca内部。因此无人机最多只能在Ca内部移动一次。
引理3.5。考虑(1)中的无人机动力学服从(3)中的控制策略。对于任意θ(0)，存在t≥0的百科，使得对于任意t≥t的百科，θ(t)∈[0，π]。
证明。根据引理3.4，无人机最多只能在Ca内部移动一次。当无人机在Ca内部不移动时，令t1 = 0。当无人机在Ca内移动一次，设t1为无人机从Ca内移动到Ca外的时间，可以看出t1是有限的。证明了引理的成立:(1)对于任意θ(0)，存在t百科≥t1，使得θ(t百科)∈[0，π];(2)一旦θ(t⋆)∈(0,π)对于一些t⋆≥t1,θ(t)∈(0,π)t≥t⋆。
通过考虑以下三种情况来证明第一种说法:
(我)θ(t1)∈(π2π−−1罪(ra r (t1))):从(2),一个可以获得˙θ(t) < 0,即θ(t)会减少,当θ(t)∈(π2π−−1罪(ra r (t)))因为ω< 0和V罪(θ(t) r (t) < 0。当ω为(近似)0时，V sin(θ (t)) r(t)为(近似)−Vra r2(t)。因为ω和V sin(θ (t)) r(t)对˙都是连续的，˙θ(t)总是有某个负常数的上界。类似地，当V - sin(θ (t)) r(t)(近似)为零时，ω有某个负常数的上界，这意味着˙θ(t)也总是有某个负常数的上界。因此，当θ(t)∈(π， 2π−sin−1(ra r(t1)))时，˙θ(t)总是以某个负常数为上界。
因此，θ(t)在有限时间内≤π。注意θ(t1)∈(π， 2π−sin−1(ra r(t1)))∈(sin−1(ra r(t1))， 2π−sin−1(ra r(t1)))，由引理3.3可知θ(t)不能小于sin−1(ra r(t))，这意味着θ(t)≥sin−1(ra r(t))。
(ii) θ(t1) = 2π−sin−1(ra r(t1)):此时无人机朝向切点，使方位角度为2π−sin−1(ra r(t1))。通过计算，ω = 0，表示无人机最初会沿直线向切点移动。
因为无人机有一个恒定的非零速度，在r(t) = ra发生之前，它需要一段有限的时间。r(t) = ra不能在任意一段时间内保持，因为否则会发生矛盾，因为注意到(i) ω = 0基于(3)在那段时间内，表明无人机不能旋转和(ii)无人机必须旋转，使r(t) = ra在那段时间内保持。当t≥t1时，如证明第一段所述，UAV不能在Ca内部移动。这意味着一旦r(t) = ra发生，r(t)就会增加到大于ra。当r(tf)增大到大于ra时，承载角θ(tf)必须在区间(π 2,3 π 2)内。当θ(tf)∈(π， 3π 2)，由情形(i)可知，经过有限的时间后，θ(t)将在集合[0，π]中。当θ(tf)∈(π 2， π)时，它已经在集[0，π]中。
(iii) θ(t1) = (2π−sin−1(ra r(t1))， 2π):如果θ(t) = (2π−sin−1(ra r(t))， 2π)始终成立，则由于无人机具有非零正向速度，在r(t)≤ra之前需要一个有限的时间。由于无人机在证明第一段中讨论的t≥t1时从未在Ca内部移动，情况(i)或情况(ii)将在一段有限的时间后发生。通过对情形(i)和(ii)的分析，θ(t)在有限时间后将在集合[0，π]中。
为了证明第二个命题，必须研究˙时的θ(t) = 0或θ(t) = π时的˙θ(t)。因为当t≥t1时无人机在Ca外，当θ(t) = 0时，可以计算ω = k[−V cos (sin−1(ra r(t))) + V] > 0，其中(2)中的第一个方程用于推导等式。这说明θ(t)在θ(t) = 0时就会增大。同样，当θ(t) = π时，可以得到ω = k[−V cos(sin−1(ra r(t))−V] < 0，这表明当θ(t) = π发生时，θ(t)会减小。因此，第二种说法也成立。
可以看出，引理3.4的证明依赖于引理3.3，引理3.5的证明依赖于引理3.4。
有了这三个引理，我们将在本节中给出主要结果。
定理3.1。考虑(1)中的无人机动力学服从(3)中的控制策略，如果k > 1 rd和ra的选择满足(4)，则r(t)→rd， θ(t)→π 2为t→∞。
证明。根据引理3.4和3.5，存在一个时间瞬间t百科，r(t)≥ra， θ(t)∈[0，π]。那么控制输入可以简化为
对于t≥t的百科，考虑一个李雅普诺夫函数候选
其中ϕ=r研发(rd−1 z z + k因为sin−1 (ra) k−因为sin−1 (ra rd) dz。
因为
和k cos sin−1(ra z)−k cos sin−1(ra rd)也满足这样的属性，然后从其中n≥0的积分属性出发，这意味着V≥0为1−sin(θ)≥0。当ra的选择满足(4)时，通过计算可以得到1 rd = k cossin−1(ra rd)。然后其中n可以简化为r rd(−1 z + k cos sin−1(ra z))dz。
对V求导得到这个
其中(5)用于推导第二个等式。当θ∈(π2π)˙V≤0因为cos(θ)≤0 k cos(θ)−−罪(θ)+ 1 r≥0。
当θ∈[0，π 2)，˙V≤0，因为cos(θ) > 0和−k cos(θ)−sin(θ) r + 1r≤−cos(θ) r−sin(θ) r + 1r≤0。因此，当t≥t时，˙V≤0。
注意:当r≥ra且θ∈[0，π]时，˙V均匀连续，由Slotine和Li(1991)中的引理4.3可知，当t→∞时，˙V→0。当k >1rd，˙V = 0时，表示θ = π 2。由(2)可知，当θ(t) = π 2时，r(t)是常数。因此，稳定的圆周运动确实存在。由引理3.2可知，如果选择ra满足(4)，则r(t) = rd。因此，θ(t)→π 2, r(t)→rd为t→∞。
在定理3.1中，无人机显示以给定恒定向前速度的期望距离围绕未知目标运行。
该定理表明，当无人机具有动态有界速度时，也可以得到类似的结果。由于以下定理的证明与定理3.1相似，我们只关注它们的不同之处。
定理3.2。考虑(1)中的UAV动力学，其中V是动态的，但在集合[V, V]中，V和V是两个正常数，满足0 < V≤V。令ω由(3)给出。若k > 1 rd和ra满足(4)，则r(t)→rd， θ(t)→π 2为t→∞。
证明。定理的证明遵循图2中的逻辑。接下来的重点是表明引理3.2、3.3、3.4、3.5和定理3.1仍然有效，即使无人机具有动态但有界速度。
对于引理3.2和3.3，它们的证明中的所有语句对于正的动态V仍然有效。因此，两个引理在定理的条件下仍然成立。引理3.4描述了由于控制算法(3)的特殊结构而产生的一个属性。
该控制算法的特殊结构保证了无人机在Ca外时指向Ca上的两个切点之一，在Ca外时沿直线运动。由于正的动态V不会改变控制算法的结构，因此在定理条件下，引理3.4中描述的性质仍然成立。对于引理3.5，其证明中的第一个表述(1)，只要V下界为a，则始终有效。证明引理3.5证明中的三种情况(i) - (iii)。证明中的第二个命题(2)如果V是正的总是有效的。因此，引理3.5在定理的条件下成立。最后，对于一个正的动态V，可以使用定理3.1证明中相同的Lyapunov函数，其导数仍然满足(7)中的性质。因此，定理3.1在定理的条件下仍然成立。
对于任何给定的常数V，我们可以发现与(3)相关的控制输入总是以2kV为界，这是因为−cos(sin−1 (rd r(t)))因(2)而以1为界，而|˙r|≤V。我们将在下一节中说明，由于控制输入的有界性，可以消除距离速率测量的要求。
在继续下一节之前，我们证明(2)服从(3)的闭环系统在其平衡时是指数稳定的。如果平衡是指数稳定的，那么相关的闭环系统不仅会收敛，而且实际上会以更快的速度收敛，或者至少和接近平衡的某个已知速度一样快。这种系统的一个好处是其对平衡周围干扰的鲁棒性(参见，例如，Sastry和Bodson, 1989)。
定理3.3。考虑由(2)给出的服从(3)的闭环系统，如果k > 1 rd和ra满足(4)，则[rd， π 2]T是一个局部指数稳定平衡。
证明。对于(2)中受(3)控制策略影响的无人机动力学，其在平衡附近的闭环系统可写成
(8)替换成第一个方程(2)中获得(9)。让f (r (t),θ(t)), [f1 (r (t),θ(t)), f2 (r (t),θ(t))) t,在f1 (r (t),θ(t)),−V cos(θ(t)和f2 (r (t),θ(t)、k(−V因为罪(−1 (ra r (t))) + V cos(θ(t))) + V罪(θ(t) r (t)。(8)和(9)在平衡[rd， π 2]T附近的线性化由
x (t) = (r (t),θ(t)) t (t), [Aij]∈R2×2 A11 =∂f1 (r (t),θ(t)∂r (t) | r (t) = rd,θ(t) =π2 = 0,A12 =∂f1 (r (t),θ(t)∂θ(t) | r (t) = rd,θ(t) = 2π= V, A21 =∂f2 (r (t),θ(t)∂r (t) | r (t) = rd,θ(t) = 2π=−kVr2a r3 d1−r2a r2d−V R2 d,和A22 =∂f2 (r (t),θ(t)∂θ(t) | r (t) = rd,θ(t) = 2π=−千伏。那么A(t)的特征值是−kV±(kV)2−V(kVr2a r3d1−r2a r2d + V r2d)2。显然，A(t)是Hurwitz。设D = {(r， θ)|V(r， θ)≤d0}，其中V定义在(6)中，d0为正常数。当d0足够小，r(t)足够接近rd， θ(t)足够接近π/2。因为对于一个足够小的d0，˙V在(r， θ)∈D时是非正的，所以D是一个紧致且正不变集。此外，f (r(t)， θ(t))在D上是连续可微的，并且f (r(t)， θ(t))的雅可比矩阵是有界的，并且在D上有Lipschitz。根据Khalil(2002)中的定理4.15，平衡[rd， π 2]是指数稳定的。
四.基于距离测量和估计距离速率的修正控制器
在第三节中，提出了一种基于距离和距离速率测量的控制器，以保证理想的圆周运动达到了。直接距离速率测量通常是不可用的或遭受重大的不确定性。本节的目的是消除控制算法(3)中需要的距离速率测量。特别是，使用距离测量通过滑模估计器得到的估计距离速率，用来替代(3)中的距离速率测量。
将控制算法(3)修改为
其中ˆx2是˙的估计值。受Moreno和Osorio(2008)结果的激励，通过如下的滑模估计得到ˆx2
若r < ra，其中sgn(·)为符号函数，te为无人机从Ca外移动到Ca内的时间，2 tx表示无人机从Ca外移动的第一次后续时间，ki, i = 1,2,3为正常数。由于无人机可以多次在Ca内部和外部移动，因此可能会出现多次te和tx。事实上，te的数量和tx的数量应该是完全相同的，因为当无人机在Ca内时，由于零控制输入，无人机不能稳定在Ca内。这里ˆx1可以被认为是r的估计。简单地说，估计器背后的主要思想是(i)ˆx1和ˆx2满足(12)如果无人机在Ca外;(ii)若无人机在Ca内部，则ˆx1、ˆx2不变;(iii)一旦无人机移出Ca，ˆx2被重置为其负极，ˆx1被重置为2加其负极。如下定理4.1的证明所示，当无人机从内部Ca移动到外部Ca时，ˆx1和ˆx2的重置对于建立(ˆx1，ˆx2)到(r，˙)的有限时间收敛至关重要。
在本节中展示主要结果之前，需要使用以下引理。这个引理及其证明是由第三节的结果提出的。A在莫雷诺和奥索里奥(2008)。
引理4.1。考虑微分方程
p p =−k1 | | 1 2胡志明市(p),˙q =−k2sgn (p)−k3p + f (t, p, q) (14) | f (t, p, q) | <与δδ1 q +δ2 | |我> 0,我= 1,2。如果k1 > 0, k2 > max{1 + δ2 1 k1, 1 2δ2 2 + 2δ2}， k3 > 0， (p, q)在有限时间内趋近于(0,0)。
证明。定义ξ， [|p| 1 2 sgn(p)， p, q]T。在Moreno和Osorio(2008)定理4证明中使用的Lyapunov函数的动机，我们在这里考虑一个类似的Lyapunov函数候选给出
其中P = 1 24k2 + k2 1 0−k1 0 2k3 0−k1 0 2。李亚普诺夫函数(15)与定理4证明中使用的略微不同。在Moreno和Osorio(2008)由于f (t, p, q)的不同性质。注意V(x)是正定的，除了p = 0几乎处处可微。当p̸= 0时，V的导数为˙V = ξ (T)˙ξ。请注意ξ的导数为[1 2 |p| - 12˙p，˙p，˙q]T。回忆(14)，˙V可改写为
其中Q1 = k1 22k2 + k2 1 0−k1 0 2k3 0−k1 0 1，Q2 = k2k2 + 2k2 1 0 0 0 k4 0 0 0 1。
f (t, p, q)因为| |≤δ1 +δ2问假设下的引理,这可以进一步获得k1f p (t, p, q) | | 1 2胡志明市(p)≤δ1 k1 | p | 1 2 + k1δ2 | | | p | 1 2 =δ1 k1 | |−1 2 p[| | 1 2胡志明市(p)] 2 + 1 2{δ2 2 q2 + k2 1 p[| | 1 2胡志明市(p)] 2} | 2 qf (t, p, q) |≤2δ1 q | | + 2δp 2 q2 = 2δ1 | |−1 2| | 1 2页胡志明市(p)q | | + 2δ2 q2≤δ1 | p |−1 2 {[| p | 1 2胡志明市(p)] 2 + q2} + 2δ2 q2。
˙V≤−|p|−1ξ T Q1ξ−ξ T Q2ξ + |p|−1ξ T Q3ξ + ξ T Q4ξ，其中Q3 =δ1(1 + k1) 0 0 0 0 0 0 0 δ1，Q4 =1 2 k2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2δ2 + 2δ2。当ki, i = 1,2,3满足引理中的条件时，Q1−Q3和Q2−Q4是正定的。然后可以获得,˙V≤−| p |−1 2ξT (Q1−Q3)ξ≤−∥ξ∥−1 2ξT (Q1−Q3)ξ≤−∥ξ∥−1 2λmin (Q1−Q3)∥ξ∥2 =−λmin (Q1−Q3)∥ξ∥,在λmin(·)表示一个对称正定矩阵的最小特征值,p | |≤∥ξ∥被用来获得第二个不平等,ξT (Q1−Q3)ξ≥λmin (Q1−Q3)∥ξ∥2被用来获得第三的不平等。由于V≤λmax(P)∥ξ∥2，其中λmax(·)表示对称正定矩阵的最大特征值，可以得出∥ξ∥≥1√λmax(P) v1 2。˙V≤−λmin(Q1−Q3)√λmax(P) v12。经过一些操作，就可以得到这个
因为V除了p = 0几乎处处可微，(17)除了p = 0几乎处处有效。注意当且仅当p = 0且q = 0时V = 0。因此，V(t)在有限时间内→0，这意味着(p, q)在有限时间内趋近于(0,0)。
4.2的话。Moreno和Osorio(2008)研究了(14)在f (t, p, q)≤δ1 + δ2 |p|的有限时间收敛性。引理4.1进一步分析了f (t, p, q)≤δ1 + δ2 |q|的情况。
有了引理4.1，我们现在已经准备好展示本节的主要结果。
定理4.1。考虑(1)中的无人机动力学服从(11)中的控制策略。若ra =r 2 d−1 k2, k > 1 ra, k1 > 0, k2 > max{1 + V 4(2k+ 1 ra)2 k1, 1 2 k2V 2+2kV}和k3 > 0，则r(t)→rd和θ(t)→π 2as t→∞。
证明。根据定理3.1，当ra =r 2 d−1 k2时，使用(3)可以得到r(t)→rd和θ(t)→π 2作为t→∞。那么，如果(11)和(3)在一段有限的时间后相等，就足以证明这个定理，因为我们可以简单地认为(11)和(3)之后的时间总是等于新的初始时间。
因此，我们接下来的重点是证明(11)和(3)在定理的条件下在有限时间内相等。
定义x1 r x2，˙r。回顾(2)中的极坐标动力学和控制策略(11)，x1和x2的导数为
设p, x1−ˆx1和q, x2−ˆx2。当r≥ra，即x1≥ra，由式(18)、式(12)可知
由于x2 =˙r =−V cos(θ)，可以得到|f (t, p, q)|≤V(2kV + k |q| + V ra)。使δ1 = v2 (2k + 1ra)， δ2 = kV， |f (t, p, q)|≤δ1 + δ2 |q|。在定理的条件下，满足引理4.1中f (t, p, q)的性质。考虑(15)定义的Lyapunov函数V，由引理4.1的分析可知
在定理的条件下几乎处处成立某些正η由k k1 k2和k3决定。
现在让我们考虑r < ra的情况，即x1 < ra。因为ω = 0, f (t, p, q)变成[V sin(θ)] 2x1，它不一定有界，因为x1可能趋近于0。当δ1和δ2为正时，不一定满足|f (t, p, q)|≤δ1 +δ2 |q|的性质。为了克服这个问题,让我们放下时,无人机在Ca。因为零控制输入时实施无人机在Ca和V > 0,这需要一段有限的时间外的无人机行动,不失一般性,让te时无人机移动内部Ca和tx无人机行动是第一个后续时间外部Ca。显然,tx−te (2 ra V)为界。仅考虑无人机在Ca外的时间，丢弃时间间隔[te, tx)。其中一个结果是te和tx时刻的状态(p, q)可能不同，两个时刻(p, q)的变化可能会导致V从te跳变到tx，如果存在这种跳变，则希望V变小。
那么Lyapunov函数在几乎所有地方仍然满足(19)，或者当时间间隔[te, tx)被删除时，在某些不同的瞬间跳变更小。
当无人机初始在Ca外时，保持初始时间不变。当无人机最初在光盘内时，设初始时间为无人机第一次从光盘外移动的时间。注意(15)中的V可以写成
当p (tx) = 2rd−ˆx1 (te)和q (tx) =−ˆx2 (te),可以计算,p (tx) = x1 (tx)−ˆx1 (tx) = x1 (tx)−[2rd−ˆx1 (te)] = rd−[2rd−ˆx1 (te)] =ˆx1 (te)−rd =−p (te)。回忆(1)˙r =−V cos(θ)，以及引理3.4的证明:θ(tx) = π−θ(te)或θ(tx) = 3π−θ(te)。˙(tx) = -˙(te)。即x2(tx) =−x2(te)。因此,q (tx) = x2 (tx)−ˆx2 (tx) =−x2 (te)−(−ˆx2 (tx)] =−q (te)。由(20)可知，如果p和q都为负数，V保持不变。
因此，当状态(p(te)， q(te))变化时，V保持不变在所提控制算法(11)下的To (p(tx)， q(tx))。该属性由基于ˆx1(te)和ˆx2(te)在(13)中的重置ˆx1(tx)和ˆx2(tx)确保。结合这一性质和前文的分析可知，除去[te, tx)， V是连续的，且几乎处处满足(19)。由引理4.1的分析可知，排除[te, tx)后，V在有限时间内趋近于零。这意味着，除[te, tx)外，ˆx1−r和ˆx2−˙在有限时间内趋近于零。也就是说，存在一个时间瞬间的“t百科”，即r(t百科)≥ra，ˆx1(t)−r(t) = 0，并且在排除[te, tx]的情况下，对于任何t≥t的“t百科”，都存在ˆx2(t)−˙r(t) = 0。即剔除[te, tx]后，对于t≥t的百科，(11)和(3)是相同的。对于t∈[te, tx)，(11)(3)是相同的，因为它们都是零。因此，如果将t百科作为新的初始时间，则对于所有t≥t的百科，(11)和(3)总是相同的。
该定理是通过回顾证明第一段的分析来证明的。
图3所示。(3)下无人机的飞行轨迹。红色三角形表示无人机的起始位置。虚线圆表示Ca。
4.3的话。所提控制算法(11)的一个特点是在其实现中只需要距离测量。考虑到小型无人机受载荷限制的感知能力有限，该控制算法(11)及其背后的概念更适用于拒绝gps环境下的小型无人机作战。
五.仿真例子
在本节中，提供了几个仿真示例来演示第3节和第4节中提出的两种控制算法的有效性。对于(3)和(11)控制算法，参数选择为:rd = 10， [xT, yT] =[0，−10]，k = 0.2, V = 1。无人机的初始状态为[13，−2,5 π/4]。
经计算，ra =r 2 d−1 k2 = 8.6603。对于控制算法(11)，我们进一步设k1 = 2, k2 = 1.2, k3 = 0.1，滑模估计器初始化为[10,0]。这些参数的选择使定理3.1和4.1中的条件得到满足。
图3和图4分别表示了无人机的飞行轨迹，以及使用控制算法(3)得到的无人机与目标之间的距离。这两幅图都表明最终可以达到期望的距离。ra = 8.6603意味着UAV以半径8.6603瞄准以目标位置为中心的圆为了稳定在期望的半径10。
图5和图6为采用控制算法(11)的仿真结果。我可以从图5中观察到无人机的轨迹，使无人机与目标之间最终达到所期望的距离。图6显示了估计的距离率ˆx2和实际的距离率˙r。可以看出，如果不考虑无人机在Ca内的时间间隔，估计的距离率在有限时间内接近于实际距离率。我们也可以从图6中看出，(13)中的重置机制对于保证˙的准确估计是必要的，因为否则，当无人机离开Ca时，估计的˙距离率将与实际率显著不同。
六.结论
本文提出了一种基于距离测量的控制算法，使无人机能够在不使用gps的环境下绕未知目标旋转到所需距离。该控制算法的设计可分为两个步骤。首先，提出了一种基于距离和距离速率测量的控制算法来解决绕航问题。其次，利用滑模距离率估计器得到的估计距离率，代替第一步控制算法所需的实际距离率测量。由于所提出的基于距离测量的控制算法实现时需要的测量次数最少，非常适合无人机在水下作业，当测量数据有限时，无法使用gps的环境。