文章目录
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- 1 工程意义
- 2 公式推导
- 3 特殊说明
1 工程意义
当连接到的负载不同时，端口电路传输给负载的功率也不同。讨论为什么负载值可以从电路中获得最大功率和最大功率值具有工程意义。
2 公式推导
如图所示， U s U_s Us 电压源电压， R s R_s Rs 电源内阻， R L R_L RL 是负载。
假设电路中流过的电流是 I L I_L IL，则负载 R L R_L RL 所获得的的功率 P L P_L PL 为： P L = I L 2 R L = ( U s R s + R L ) 2 R L = U s 2 R s + R L ⋅ R L R s + R L P_L = I_L^2 R_L=(\frac {U_s}{R_s+R_L})^2 R_L=\frac {U_s^2}{R_s+R_L}\cdot \frac {R_L}{R_s+R_L} PL=IL2RL=(Rs+RLUs)2RL=Rs+RLUs2⋅Rs+RLRL将上式进行拆分，规定 P S P_S PS 为电源发出的功率， η \eta η 为传输效率，则： { P S = U s 2 R s + R L η = R L R s + R L \begin{cases}P_S=\frac {U_s^2}{R_s+R_L} \\ \eta = \frac {R_L}{R_s+R_L}\end{cases} {
PS=Rs+RLUs2η=Rs+RLRL将 R L R_L RL 看为变量，则 P L P_L PL 随着 R L R_L RL 值的变化而变化，函数 P L P_L PL 对变量 R L R_L RL 进行求导，在导数为 0 处可以获得最大功率。 d P L d R L = U s 2 ( R s + R L ) 2 − 2 ⋅ U s 2 R L ⋅ ( R s + R L ) ( R s + R L ) 4 = U s 2 [ ( R s + R L ) 2 − 2 ⋅ R L ⋅ ( R s + R L ) ( R s + R L ) 4 ] = 0 \frac {
{\rm d}P_L}{
{\rm d}R_L} = \frac {U_s^2(R_s+R_L)^2-2\cdot U_s^2R_L\cdot (R_s+R_L)}{(R_s+R_L)^4} =U_s^2[\frac{(R_s+R_L)^2-2\cdot R_L\cdot (R_s+R_L)}{(R_s+R_L)^4}]=0 dRLdPL=(Rs+RL)4Us2(Rs+RL)2−2⋅Us2RL⋅(Rs+RL)=Us2[(Rs+RL)4(Rs+RL)2−2⋅RL⋅(Rs+RL)]=0求解上式，可得到如下表达式： ( R s + R L ) 2 = 2 ⋅ R L ⋅ ( R s + R L ) (R_s+R_L)^2=2\cdot R_L\cdot (R_s+R_L) (Rs+RL)2=2⋅RL⋅(Rs+RL)解得： R L = R s R_L=R_s RL=Rs R L R_L RL 所获得的的最大功率为： P L m a x = U s 2 R s ( 2 R s ) 2 = U s 2 4 R s P_{L \ \rm max}=\frac {U_s^2R_s}{(2R_s)^2}=\frac {U_s^2}{4R_s} PL max=(2Rs)2Us2Rs=4RsUs2 综上，当负载电阻 R L = R s R_L=R_s RL=Rs 时，负载可以获得最大功率，这种情况称为 R L R_L RL 与 R s R_s Rs 匹配。
3 特殊说明
- 最大功率传输定理用于一端口电路给定负载电阻可调的情况。
- 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率，因此当负载获取最大功率时，电路的传输效率并不一定是50%。
- 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。
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