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旋转运动学

速度合成公式

假设有两个坐标系，如上图所示。根据习惯，我们将坐标系记为系统 b \bm{b} b，静坐标系是惯性系 i \bm{i} i。此时，有一个物体在空间中移动，记住两个坐标系下的坐标是 r i \bm{r}^i ri和 r b \bm{r}^b rb，两者之间的关系如下： r i = r i b i R i b r b \bm{r}^i=\bm{r}_{ib}^i \bm{R}_{ib}\bm{r}^b ri=ribi​+Rib​rb 式中上标表示矢量所在的坐标系， r i b i \bm{r}_{ib}^i ribi​表示 b \bm{b} b系到 i \bm{i} i系的平移变换矢量， R i b \bm{R}_{ib} Rib​表示 b \bm{b} b系到 i \bm{i} i系的旋转变换矩阵。对上式求解时间导数有： d r i d t = d ( r i b i + R i b r b ) d t = d r i b d t + d R i b d t r b + R i b d r b d t = v i b i + R i b [ ω i b b ] × r b + R i b v b \begin{aligned} \frac{d\bm{r}^i}{dt}&=\frac{d(\bm{r}_{ib}^i+\bm{R}_{ib}\bm{r}^b)}{dt}\\ &=\frac{d\bm{r}_{ib}}{dt}+\frac{d\bm{R}_{ib}}{dt}\bm{r}^b+\bm{R}_{ib}\frac{d\bm{r}^b}{dt}\\ &=\bm{v}_{ib}^i+\bm{R}_{ib}[\bm{\omega}_{ib}^b]_\times\bm{r}^b+\bm{R}_{ib}\bm{v}^b\end{aligned} dtdri​​=dtd(ribi​+Rib​rb)​=dtdrib​​+dtdRib​​rb+Rib​dtdrb​=vibi​+Rib​[ωibb​]×​rb+Rib​vb​

这里我们引入矢量叉积的一个重要几何性质： 定理1：矢量叉积的旋转不变性。若矩阵 R \bm{R} R为旋转矩阵，则对于矢量叉积 a × b \bm{a}\times\bm{b} a×b有 ( R a ) × ( R b ) = R ( a × b ) (\bm{Ra})\times(\bm{Rb})=\bm{R}(\bm{a}\times\bm{b}) (Ra)×(Rb)=R(a×b)。 利用这一性质，上式可以重写为： d r i d t = v i b i + R i b [ ω i b b ] × r b + R i b v b = v i b i + [ R i b ω i b b ] × [ R i b r b ] + R i b v b v i = v i b i + ω i b i × r i + R i b v b (1) \begin{aligned} \frac{d\bm{r}^i}{dt}&=\bm{v}_{ib}^i+\bm{R}_{ib}[\bm{\omega}_{ib}^b]_\times\bm{r}^b+\bm{R}_{ib}\bm{v}^b\\ &=\bm{v}_{ib}^i+[\bm{R}_{ib}\bm{\omega}_{ib}^b]_\times[\bm{R}_{ib}\bm{r}^b]+\bm{R}_{ib}\bm{v}^b\\ \bm{v}^i&=\bm{v}_{ib}^i+\bm{\omega}_{ib}^i\times\bm{r}^i+\bm{R}_{ib}\bm{v}^b \end{aligned} \tag{1} dtdri​vi​=vibi​+Rib​[ωibb​]×​rb+Rib​vb=vibi​+[Rib​ωibb​]×​[Rib​rb]+Rib​vb=vibi​+ωibi​×ri+Rib​vb​(1)

式（1）描述了物体的速度在动坐标系和静坐标系之间的转换关系，又称为速度合成公式或科里奥利方程。由于坐标系原点之间的位移矢量与旋转是相互独立，互不相应的，因此在后续讨论中，我们将省略式（1）中的 v i b i \bm{v}_{ib}^i vibi​项，只讨论旋转相关部分。

加速度合成公式

进一步地，我们对式（1）量测继续求时间导数有： d v i d t = d ( ω i b i × r i ) d t + d ( R i b v b ) d t = d ω i b i d t × r i + ω i b i × d r i d t + d R i b d t v b + R i b d v b d t a i = ω ˙ i b i × r i + ω i b i × v i + ω i b i × r i + R i b a b \begin{aligned} \frac{d\bm{v}^i}{dt}&=\frac{d(\bm{\omega}_{ib}^i\times\bm{r}^i)}{dt}+\frac{d(\bm{R}_{ib}\bm{v}^b)}{dt}\\ &=\frac{d\bm{\omega}_{ib}^i}{dt}\times\bm{r}^i+\bm{\omega}_{ib}^i\times\frac{d\bm{r}^i}{dt}+\frac{d\bm{R}_{ib}}{dt}\bm{v}^b+\bm{R}_{ib}\frac{d\bm{v}^b}{dt}\\ \bm{a}^i&=\dot{\bm{\omega}}_{ib}^i\times\bm{r}^i+\bm{\omega}_{ib}^i\times\bm{v}^i+\bm{\omega}_{ib}^i\times\bm{r}^i+\bm{R}_{ib}\bm{a}^b \end{aligned} dtdvi​ai​=dtd(ωibi​×ri)​+dtd(Rib​vb)​=dtdω 标签： 振动速度传感器yz