控制系统的数学模型是用来描述系统内物理量之间关系的数学表达式，用于定量描述系统的性能指标。

可采用分析法和实验法建立数学模型。

时域:微分方程、差分方程、状态方程 复域:传输函数、结构框图、信号流图 频域:频率特征，奈氏图，伯德图

基尔霍夫电压定律： u I ( t ) = R i ( t ) L d i ( t ) d t u O ( t ) u_I(t)=Ri(t) L\frac{di(t)}{dt} u_O(t) uI(t)=Ri(t) Ldtdi(t) uO​(t)由电容特性方程得： u O ( t ) = 1 C ∫ 0 t i ( τ )   d τ u_O(t)=\frac{1}{C}\int_0^t {i(\tau)} \,{\rm d}\tau uO​(t)=C1​∫0t​i(τ)dτ那么： L C d 2 u O ( t ) d t 2 + R C d u O ( t ) d t + u O ( t ) = u I ( t ) LC\frac{d^2u_O(t)}{dt^2}+RC\frac{du_O(t)}{dt}+u_O(t)=u_I(t) LCdt2d2uO​(t)​+RCdtduO​(t)​+uO​(t)=uI​(t) 可以看出，上式表征了输出电压与输入电压的关系，满足二阶定常线性微分方程关系。

由牛顿第二定律： m d 2 x ( t ) d t 2 = F ( t ) − F 1 ( t ) − F 2 ( t ) m\frac{d^2x(t)}{dt^2}=F(t)-F_1(t)-F_2(t) mdt2d2x(t)​=F(t)−F1​(t)−F2​(t)而： F 1 ( t ) = f v = f d x ( t ) d t F_1(t)=fv=f\frac{dx(t)}{dt} F1​(t)=fv=fdtdx(t)​ F 2 ( t ) = k x ( t ) F_2(t)=kx(t) F2​(t)=kx(t) 所以： m d 2 x ( t ) d t 2 + f d x ( t ) d t + k x ( t ) = F ( t ) m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+f\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=F(t) mdt2d2x(t)​+fdtdx(t)​+kx(t)=F(t)可以看出，上式表示了输入力 F ( t ) F(t) F(t)与输出位移 x ( t ) x(t) x(t)的变化关系

线性系统满足齐次性和叠加性。所谓齐次性，就是输入输出满足： r 1 r 2 = c 1 c 2 \frac{r_1}{r_2}=\frac{c_1}{c_2} r2​r1​​=c2​c1​​；所谓叠加性就是如果 r = r 1 + r 2 r=r_1+r_2 r=r1​+r2​则输出为 c = c 1 + c 2 c=c_1+c_2 c=c1​+c2​

从结构来看，线性系统中所有元件均为线性元件，非线性系统中存在非线性的元件。什么是线性元件？通俗来说，就是其特性方程的输入输出关系为线性的（注：线性是次数为1，而不是阶数为1，可以含有导数项，但不论几阶导数，其次数都为1。如1.3中所示电路，其元件属于线性元件）

对于一个线性系统，其特征方程通解与微分方程特征根有关。如果n阶微分方程特征根为 λ 1 ， λ 2 ， … … ， λ n \lambda_1，\lambda_2，……，\lambda_n λ1​，λ2​，……，λn​且无重根，就把 e λ 1 t ， e λ 2 t ， … … e λ 1 t e^{\lambda_1t}，e^{\lambda_2t}，……e^{\lambda_1t} eλ1​t，eλ2​t，……eλ1​t称为该微分方程描述的运动的模态。

每一种模态代表一种运动形式，齐次微分方程的通解是模态的线性组合。

那么，如果特征根存在重根呢？根据高数微分方程知识，系统模态存在形如 t e λ t ， t 2 e λ t te^{\lambda t}，t^2e^{\lambda t} teλt，t2eλt的分量。如果系统有共轭复根，则存在 e δ t s i n ( ω t ) e^{\delta t}sin(\omega t) eδtsin(ωt)和 e δ t c o s ( ω t ) e^{\delta t}cos(\omega t) eδtcos(ωt)

线性定常系统在零初始条件下，系统输出与输入的拉氏变换之比。 零初始条件：输入输出及其各阶导数从0+时刻加入到系统，在t=0及0-时刻以及t<0时均为0

设线性定常系统： a 0 d n d t n c ( t ) + a 1 d n − 1 d t n − 1 c ( t ) + … … + a n c ( t ) = b 0 d m d t m r ( t ) + b 1 d m − 1 d t m − 1 r ( t ) + … … + b m r ( t ) a_0\frac{d^n}{dt^n}c(t)+a_1\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}c(t)+……+a_nc(t)=b_0\frac{d^m}{dt^m}r(t)+b_1\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}r(t)+……+b_mr(t) a0​dtndn​c(t)+a1​dtn−1dn−1​c(t)+……+an​c(t)=b0​dtmdm​r(t)+b1​dtm−1dm−1​r(t)+