??各向异性扩散的开创性工作是一种结构感知平滑技术，可以保留图像结构[33]。各向异性扩散倾向于过度锐化结构，计算复杂度高[34、35]。因此，最近提出了改进结构保持平滑的滤波器方案、双边滤波器[36]、引导滤波器[37]和域变换滤波器[38]。双边滤波器推广到联合双边滤波器[39]，然后三个滤波器有两个输入，即输入图像和引导图像。两个输入联合滤波器获得一个输出。它们是保持联合图像过滤器的三种流行结构。它们可以保留输入图像的大尺度显示结构，并将引导图像的小尺度细节转移到输出图像[37-40]。

??过滤和更新窗口周围的图像素的中心像素值。给出输入图像 I 引导图像 G，一个像素 p 双边滤波器的输出是，

J p = 1 k p ∑ q ∈ Ω p I q ( e x p ( ? ( ∣ ∣ p ? q ∣ ∣ 2 2 2 σ s 2 ∣ ∣ G p ? G q ∣ ∣ 2 2 2 σ r 2 ) ) ) (1) J_p=\frac{1}{k_p}\sum_{q∈Ω_p}I_q(exp(-(\frac{||p-q||^2_2}{2σ^2_s} \frac{||G_p-G_q||^2_2}{2σ^2_r})))\tag{1} Jp=kp​1​q∈Ωp​∑​Iq​(exp(−(2σs2​∣∣p−q∣∣22​​+2σr2​∣∣Gp​−Gq​∣∣22​​)))(1)

  其中 Ω p Ω_p Ωp​ 是以像素 p p p 为中心的滑动窗口， σ s σ_s σs​ 是空间域缩放参数， σ r σ_r σr​ 是范围域缩放参数， k p k_p kp​ 是规范化术语：

k p = ∑ q ∈ Ω p ( e x p ( − ( ∣ ∣ p − q ∣ ∣ 2 2 2 σ s 2 + ∣ ∣ G p − G q ∣ ∣ 2 2 2 σ r 2 ) ) ) (2) k_p=\sum_{q∈Ω_p}(exp(-(\frac{||p-q||^2_2}{2σ^2_s}+\frac{||G_p-G_q||^2_2}{2σ^2_r})))\tag{2} kp​=q∈Ωp​∑​(exp(−(2σs2​∣∣p−q∣∣22​​+2σr2​∣∣Gp​−Gq​∣∣22​​)))(2)

  双边滤波器的机制比引导滤波器更容易理解，即支持一个强度 G q ∈ Ω p G_q ∈ Ω_p Gq​∈Ωp​ 与 Ω p Ω_p Ωp​ 中心的强度 G G G 相似，并且两个像素位于边缘的同一侧。在这种情况下， e x p ( − ∣ ∣ G p − G q ∣ ∣ 2 2 2 σ r 2 ) exp(-\frac{||G_p-G_q||^2_2}{2σ^2_r}) exp(−2σr2​∣∣Gp​−Gq​∣∣22​​) 趋于 1， I q I_q Iq​ 的权重由 e x p ( − ∣ ∣ p − q ∣ ∣ 2 2 2 σ s 2 ) exp(-\frac{||p-q||^2_2}{2σ^2_s}) exp(−2σs2​∣∣p−q∣∣22​​) 决定，因此它类似于传统的高斯平滑滤波器。另一方面，如果强度 G q G_q Gq​ 与 G p G_p Gp​ 相差很大，并且两个像素位于边缘的不同侧，则 e x p ( − ∣ ∣ G p − G q ∣ ∣ 2 2 2 σ r 2 ) exp(-\frac{||G_p-G_q||^2_2}{2σ^2_r}) exp(−2σr2​∣∣Gp​−Gq​∣∣22​​) 趋于 0，它使 I q I_q Iq​ 的权重趋于0。因此， I q I_q Iq​ 和 I p I_p Ip​ 之间的关系非常弱，以至于 I q I_q Iq​ 的强度值几乎对滤波结果 J p J_p Jp​ 没有贡献。局部邻域 Ω p Ω_p Ωp​ 中的相似强度被平滑，而边缘不同侧的强度几乎没有相互影响。因此，联合滤波器是结构感知平滑滤波器。

   Gastal 和 Oliveira 证明了域变换滤波器可以获得与联合双边滤波器相同的结果 [38]。域变换滤波器比同等质量的最快双边滤波算法更快[38]。

  公式（1）的权重项可以定义为距离度量：