计算机视觉-图像的傅里叶变换

法国数学家吉恩·巴普提斯特·约瑟夫·傅里叶被世界铭记的最大贡献是：他指出，任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和，每个正弦项和/或余弦项乘以不同的系数（现在称为傅里叶级数）。不管函数有多复杂，只要是周期性的，满足一些适度的数学条件，都可以用这种和谐来表示。也就是说，复杂的函数可以表示为简单的正弦和余弦之和。即使是非周期函数(单曲线下的面积有限)也可以使用正弦和/或许·以加权函数的积分表示余弦。在这种情况下，公式是傅里叶公式。

例如，从制作饮料的过程来看，从时域的角度来看： 这是什么意思？也就是说，一种饮料的生产需要在18:00将一个单位的冰糖、三个单位的红豆、两个单位的绿豆、四个单位的西红柿和一个单位的纯水放在一起。然后18:01只需要一个单位的纯水。后面也一样。 频域是如何描述这件事的？ 具体来说，他发现了一个规则，就是在这个生产过程中，每分钟加冰糖，每两分钟加红豆，每三分钟加绿豆一次…。 我们这样描述时域角度。 我们从频域的角度这样描述这件事，用直方图来表示： 如果要考虑更准确的时间精度，就要介绍相位的概念。它是一种与时差有关的表达。 在这里，我们解释说，时域和频域的表达是相反的。对于时域，我们的时间是横坐标，振幅是纵坐标。对于频域，我们以频率为横坐标，振幅为纵坐标。但可以看出，频域的表达更简单，但更抽象，更难理解。 傅里叶说：任何连续的周期信号都可以由一组合适的正弦曲线组成。 请注意，这是一组而不是一组。例如，这样的图像： f(x)=3np.sin(0.8x) 7np.sin(1/3x) 2np.sin(0.2x) 它看起来不规则，但它也可以由一组正弦函数组成。 他们是可逆的。出乎意料的是，乱七八糟的东西是有规律的。但它们是这样组合的吗？这是不可能的，所以这是一组余弦函数同时开始的吗？叠加时应反映开始时间。换句话说，组合函数的开始时间不同。它对应0、2和3。看公式。 这里多说一嘴就是说傅里叶变换从时域角度来看，这个世界是动态的！从频域角度来看这个世界是静止的。 从数学角度来看，傅里叶转换将任何周期函数分解为无限正弦函数的和。 从物理角度来看，傅里叶转换实现了从空间域到频率域的信号转换。

python傅里叶的变换是可以实现的，这里就来说说三剑客的numpy对应的函数是：numpy.fft.fft2返回复数数组(complex ndarray)。numpy.fft.fftshift该函数表示将零频率分量转移到频谱中心。 还应设置频谱范围20*np.log(np.abs(fshift))，图像是255。

import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) result = 20*np.log(np.abs(fshift)) plt.subplot(121) plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original')
plt.axis('off')
plt.subplot(122)
plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title('result')
plt.axis('off')
plt.show()

结果是： 原图和频谱图像。

• 傅里叶得到低频、高频信息，针对低频、高频处理能够实现不同的 目的。
• 傅里叶过程是可逆的，图像经过傅里叶变换、逆傅里叶变换后，能 够恢复到原始图像
• 在频域对图像进行处理，在频域的处理会反映在逆变换图像上

对于傅里叶的逆操作这里没有什么可说的，就是把频域图像转回原图像。 函数是：numpy.fft.ifft2，那么还有一个操作就是把中间移动回去对啊。numpy.fft.ifftshift。iimg = np.abs(逆傅里叶变换结果)而第二个图就表示低频部分，边缘就表示为高频部分。

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('image\\boat.bmp',0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original'),plt.axis('off')
plt.subplot(122),plt.imshow(iimg, cmap = 'gray')
plt.title('iimg'),plt.axis('off')
plt.show()

首先我们要进行傅里叶变换吧，才可以进行逆操作。结果是： 完全一致！！！

首先我们来看看到底什么是高频，什么是低频在图像中如何理解。 低频对应图像内变化缓慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的图像中，低频对应着广袤的颜色趋于一致的草原。 高频对应图像内变化越来越快的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。例如，在一幅大草原的图像中，其中狮子的边缘等信息。 对于滤波我们之前也了解过了，就是说过滤掉不需要的部分呗。 通过低频的滤波器称为低通滤波器。 通过高频的滤波器称为高通滤波器 修改傅里叶变换以达到特殊目的，然后计算IDFT返回到图像域。比如我们可以利用傅里叶变换进行，图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩、图像加密等。 衰减高频而通过低频，低通滤波器，将模糊一幅图像。 衰减低频而通过高频，高通滤波器，将增强尖锐的细节，但是会导致图像 的对比度降低 那么我们只需要再滤波中来一个掩膜操作，具体看下面： 对于这个掩膜我们这样做：

rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

具体代码是：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('image\\boat.bmp',0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original'),plt.axis('off')
plt.subplot(122),plt.imshow(iimg, cmap = 'gray')
plt.title('iimg'),plt.axis('off')
plt.show()

得到后的图象是这样的： 可以出来把边缘描绘的非常完整，但是图像的对比度降低了。

对于OpenCV中的傅里叶变换函数是：返回结果=cv2.dft(原始图像，转换标识) 返回结果是双通道的，第一个是实数部分，第二个通道是虚数部分。 输入图像要首先转换成np.float32 格式， np.float32(img) flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT，输出一个复数阵列 移动频谱部分和numpy一致，是这样的，numpy.fft.fftshift，然后进行返回值=cv2.magnitude(参数1，参数2)这里参数1就是实数部分，参数2就是虚数部分，并且进行𝑑𝑠𝑡 𝐼 = 根号𝑥(𝐼)2 + 𝑦(𝐼)2操作。

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0)
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftShift = np.fft.fftshift(dft)
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:,:,0],dftShift[:,:,1]))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original'),plt.axis('off')
plt.subplot(122),plt.imshow(result, cmap = 'gray')
plt.title('result'), plt.axis('off')
plt.show()

得到的图像和numpy一致。

对于傅里叶变换的逆操作，使用OpenCV的函数就是返回结果=cv2.idft(原始数据)，然后计算幅度函数仍然是返回值=cv2.magnitude(参数1，参数2)，numpy.fft.ifftshift

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0)
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftShift = np.fft.fftshift(dft)
ishift = np.fft.ifftshift(dftShift)
iImg = cv2.idft(ishift)
iImg= cv2.magnitude(iImg[:,:,0],iImg[:,:,1])
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original'), plt.axis('off')
plt.subplot(122),plt.imshow(iImg, cmap = 'gray')
plt.title('inverse'), plt.axis('off')
plt.show()

我们这里的想法就是： 自己构建一个低通滤波器，把中间位置设置成255，其余部分为0.那么我们做一个与操作，就可以把高频过滤了。

rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

低通滤波器构建代码。 然后我们完整代码就是：

import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('image\\lena.bmp',0)
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dftShift = np.fft.fftshift(dft)
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2) , int(cols/2)
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
fShift = dftShift*mask
ishift = np.fft.ifftshift(fShift)
iImg = cv2.idft(ishift)
iImg= cv2.magnitude(iImg[:,:,0],iImg[:,:,1])
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('original'), plt.axis('off')
plt.subplot(122),plt.imshow(iImg, cmap = 'gray')
plt.title('inverse'), plt.axis('off')
plt.show()

结果是：