系统模型
我们考虑一个下行的多小区多用户MIMO-OFDM假设系统共有 N N N个子带(subband)， S S S个小区(cell)，每个社区分为三部分（sectors）。在每个sector内，基站（BS）同时服务 K K K用户。此外，我们考虑BS模型是双极化的UPA(UPA: Uniform Planar Array)，在每个极化方向上，水平和垂直维度分别有 N 1 , N 2 N_1, N_2 N1,N2个antenna ports，因此BS端一共有 N p = 2 N 1 N 2 N_p=2N_1N_2 Np=2N1N2个antenna ports。每个用户终端装备 N r N_r Nr根接收天线。这里我们，位于第 s s s小区的第 k k k个用户，在第 n n n个子带的接收信号为： y s , k [ n ] = H s , k [ n ] W s [ n ] x s [ n ] + ∑ j ≠ s H j , k [ n ] W j [ n ] x j [ n ] + n s , k [ n ] (1) \boldsymbol y_{s,k} [n] = \boldsymbol H_{s,k}[n] \boldsymbol W_s [n] \boldsymbol x_s[n] + \sum_{j \neq s} \boldsymbol H_{j,k} [n] \boldsymbol W_j [n] \boldsymbol x_j[n] + \boldsymbol n_{s,k}[n] \tag{1} ys,k[n]=Hs,k[n]Ws[n]xs[n]+j=s∑Hj,k[n]Wj[n]xj[n]+ns,k[n](1)
第 n n n个子带上， H s , k [ n ] ∈ C N r × N p \boldsymbol H_{s,k}[n] \in \mathbb C^{N_r \times N_p} Hs,k[n]∈CNr×Np表征BS（第s个小区）与用户 k k k之间的信道矩阵。 W s [ n ] ∈ [ w s , 1 [ n ] , w s , 2 [ n ] , ⋯ , w s , K [ n ] ] ∈ C N p × K \boldsymbol W_s[n] \in[ \boldsymbol w_{s,1}[n], \boldsymbol w_{s,2}[n], \cdots, \boldsymbol w_{s,K}[n]] \in \mathbb C^{N_p \times K} Ws[n]∈[ws,1[n],ws,2[n],⋯,ws,K[n]]∈CNp×K是 K K K个用户的预编码矩阵（precoder matrix）， x s [ n ] = [ x s , 1 [ n ] , x s , 2 [ n ] , ⋯ , x s , K [ n ] ] T ∈ C K × 1 \boldsymbol x_s[n] =[\boldsymbol x_{s,1}[n], \boldsymbol x_{s,2}[n], \cdots, \boldsymbol x_{s,K}[n]]^T \in \mathbb C^{K \times 1} xs[n]=[xs,1[n],xs,2[n],⋯,xs,K[n]]T∈CK×1是BS发送的信号向量。
在该模型下，我们假设UE端能估计出信道矩阵 H s , k [ n ] \boldsymbol H_{s,k}[n] Hs,k[n]，并且基于估计出的信道矩阵 H s , k \boldsymbol H_{s,k} Hs,k（这里省略子带），得到预编码矩阵，并将该预编码矩阵反馈到BS端。
假设UE端采用的量化反馈方式为R15 Type II Codebook，该反馈方式包括
- wideband beam group
- beam combination coefficients (BCCs) of subband.
注意到，beam线性组合的方式，本质上来讲就是在空域（spatial domain）上进行压缩，因为信道的空间信息可以被表征为几个beam和相应的线性组合系数。
构建预编码矩阵：空域压缩（Spatial Domain Compression）
我们采用DFT基向量来表征beamforming vector，但是若信道中存在大量的散射体，那么BS就需要更多的beam来捕捉直视径和多条反射径，如下图所示，BS一共利用了 L L L个beam来捕捉用户 k k k的多径信道
具体来看，空域上的信道信息包含包含了宽带选择的几个beam，以及子带的BCCs。又因为信道的传播路径在两个极化方向上几乎没有差别，所以在两个天线极化方向上，我们使用相同的beam。
定义wideband beam group matrix W ˉ 1 ∈ C N p × 2 L \bar \boldsymbol W_1 \in \mathbb C^{N_p \times 2L} Wˉ1∈CNp×2L W ˉ 1 = [ b 1 ⋯ b L 0 0 b 1 ⋯ b L ] (2) \bar \boldsymbol W_1 = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol{b}_1\cdots \boldsymbol{b}_L& \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}& \boldsymbol{b}_1\cdots \boldsymbol{b}_L\\ \end{matrix} \right] \tag{2} Wˉ1=[b1⋯bL00b1⋯bL](2)
其中 b l ∈ C N 1 N 2 × 1 , l ∈ { 1 , ⋯ , L } \boldsymbol b_l \in \mathbb C^{N_1 N_2 \times 1}, \ \ l \in\{1,\cdots, L\} bl∈CN1N2×1, l∈{ 1,⋯,L}是一个DFT基向量，对应于第 l l l个beam，R15 TypeII CSI-Codebook规定这 L L L个beam是相互的。因此 W ˉ 1 \bar \boldsymbol W_1 Wˉ1解决了wideband beam group的问题，还有BCCs需要考虑。
对于单流（rank=1）的第 n n n个子带，我们用向量 w n ∈ C 2 L × 1 \boldsymbol w_n \in \mathbb C^{2L \times 1} wn∈C2L×1来表征BCCs，一般是将信道矩阵的奇异向量映射到wideband beam group matrix W ˉ 1 \bar \boldsymbol W_1 Wˉ1得到，即 w n = W ˉ 1 H e n (3) \boldsymbol w_n = \bar \boldsymbol W^H_1 \boldsymbol e_n \tag{3} wn=Wˉ1Hen(3)
其中 e n ∈ C N p × 1 \boldsymbol e_n \in \mathbb C^{N_p \times 1} en∈CNp×1是信道在第 n n n个子带的奇异向量。
注意到，在实际应用中TypeII CSI-Codebook的幅度调整可以分为WB+SB和WB-only两种方式，这里我们主要关注前者，即WB+SB，因此，实际应用中的wideband matrix W 1 \boldsymbol W_1 W1为 W 1 = [ b 1 ⋯ b L 0 0 b 1 ⋯ b L ] [ a 1 W B 0 ⋯ 0 0 a 2 W B ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 a 2 L W B ] (4) \boldsymbol{W}_1=\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{b}_1\cdots \boldsymbol{b}_L& \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}& \boldsymbol{b}_1\cdots \boldsymbol{b}_L\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a_{1}^{WB}& 0& \cdots& 0\\ 0& a_{2}^{WB}& \ddots& \vdots\\ \vdots& \ddots& \ddots& 0\\ 0& \cdots& 0& a_{2L}^{WB}\\ \end{matrix} \right] \tag{4} W1=[b1⋯