设 a p {a^p } ap ≡ \equiv ≡ a a a ( m o d {( mod } (mod p ) p ) p) 所以我们只需要证明 ( a 1 ) p { {(a 1)}^p } (a 1)p ≡ \equiv ≡ a + 1 a+1 a+1 ( m o d {( mod } (mod p ) p ) p)，就能够证得假设成立。 根据二项式定理： ( a + b ) n = ∑ r = 0 n C n r a n − r b n (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n}C_n^r a^{n-r} b^n (a+b)n=∑r=0n​Cnr​an−rbn 展开式子：

≡ C p 0 a p 1 p + C p 1 a p − 1 1 p + . . . + C p p a 0 1 p \equiv C_p^0 a^p 1^p + C_p^1 a^{p-1} 1^p + ... + C_p^p a^0 1^p ≡Cp0​ap1p+Cp1​ap−11p+...+Cpp​a01p 化简一下： ≡ a p + C p 1 a p − 1 + . . . + 1 \equiv a^p + C_p^1 a^{p-1} + ... + 1 ≡ap+Cp1​ap−1+...+1 ≡ a p + p ! a p − 1 1 ! ( p − 1 ) ! + . . . + 1 \equiv a^p + \frac {p! a^{p-1}}{1!(p-1)!} + ... + 1 ≡ap+1!(p−1)!p!ap−1​+...+1 ∵ \because ∵ p p p为质数。 ∴ \therefore ∴ 分子中的 p p p 不会被分母约分而约掉。 ∴ \therefore ∴ 整个分数可以被 p p p 整除，取模后得到 0 0 0，那么中间的所有分数就会都消掉啦。 那么式子就可以进一步化简成： ≡ a p + 1 \equiv a^p + 1 ≡ap+1 ≡ a + 1 \equiv a+1 ≡a+1 ∴ \therefore ∴ ( a + 1 ) p { {(a+1)}^p } (a+1)p ≡ \equiv ≡ a + 1 a+1 a+1 ( m o d {( mod } (mod p ) p ) p) 得证 证毕

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