从n中取r的排列： P ( n , r ) = n ( n ? 1 ) . . . ( n ? r 1 ) = n ! / ( n ? r ) ! = n ! ( n ? r ) ! P(n, r)=n(n-1)...(n-r 1)=n!/(n-r)! =\frac{n!}{(n-r)!} P(n,r)=n(n?1)...(n?r 1)=n!/(n?r)!=(n?r)!n!

模型： n n n 个不同的球取 r r r 个放入 r r r 个不同的盒中，每盒一球且无一空盒。

从n个中取r个的组合： ( n r ) = C n r = C ( n , r ) = P ( n , r ) / r ! = n ! ( n − r ) ! r ! \begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}=C_n^r=C(n,r)=P(n,r)/r! =\frac{n!}{(n-r)!r!} (nr​)=Cnr​=C(n,r)=P(n,r)/r!=(n−r)!r!n!​

模型： n n n 个不同的球取 r r r 个放入 r r r 个相同的盒中，每盒一球且无一空盒，即排列除以重复度。

从 n n n 个不同元素中取出 r r r 个可重复元素，按次序排成一列： P ‾ ( n , r ) = n r \overline{P}(n,r)=n^r P(n,r)=nr

将 r 1 r_1 r1​ 个 x 1 x_1 x1​， r 2 r_2 r2​ 个 x 2 x_2 x2​，…， r k r_k rk​ 个 x k x_k xk​，按次序排列，称为 ( x 1 , x 2 , . . . , x k ) (x_1, x_2, ...,x_k) (x1​,x2​,...,xk​)的多重排列，其排列的个数位： ( n r 1 , r 2 , . . . , r k ) = n ! r 1 !   r 2 !   . . . r k ! , n = r 1 + r 2 + . . . + r k \begin{pmatrix} n\\r_1,r_2,...,r_k \end{pmatrix} =\frac{n!}{r_1!\ r_2!\ ...r_k!} ,\quad n=r_1+r_2+...+r_k (nr1​,r2​,...,rk​​)=r1​! r2​! ...rk​!n!​,n=r1​+r2​+...+rk​

从 n n n 个不同的元素中取 r r r 个可重复的元素，称为 n n n 个元素中取 r r r 个元素的可重组合，用 C ‾ ( n , r ) \overline{C}(n,r) C(n,r) 表示 C ‾ ( n , r ) = C ( n + r − 1 , r ) \overline{C}(n, r) = C(n+r-1, r) C(n,r)=C(n+r−1,r)

r r r 个无标志相同的球放入 n n n 个有区别的盒子，每个盒子允许多于一个球。

不相邻的组合指从 A = { 1 , 2 , ⋯   , n } A=\{1, 2, \cdots ,n\} A={ 1,2,⋯,n} 取 r r r 个不相邻的数的组合，即不存在相邻的两个数 j j j 和 j + 1 j+1 j+1 的组合。

从 A = { 1.2 , ⋯   , n } A=\{1.2,\cdots ,n\} A={ 1.2,⋯,n} 中取 r r r 个作不相邻的组合，其组合数为 ( n − r + 1 r ) \begin{pmatrix}n-r+1 \\ r \end{pmatrix} (n−r+1r​)

如若一个排列的首尾相连，布列在一个圆周，则称为一个圆周排列。例如，a，b，c构成的圆周排列有两个：

从 n n n 个 取 r r r 个在圆周上进行排列，圆周排列的个数： Q ( n , r ) = P ( n , r ) / r Q(n,r)=P(n,r)/r Q(n,r)=P(n,r)/r