新发现：信道矩阵H的右奇异矩阵可以被表征为发送端导向向量的线性组合

我们考虑一个extended-Saleh-Valenzuela信道模型，uniform linear array (ULA)，在理想假设条件下， H \boldsymbol H H由UE没有近场损伤 L L L簇(clusters)/确定路径散射，表示： H = N r N t L ? ∑ l = 1 L α l u l v l H (1) \boldsymbol H = \sqrt{ \frac{N_r N_t}{L} } \cdot \sum_{l=1}^L \alpha_l \boldsymbol u_l \boldsymbol v_l^H \tag{1} H=LNrNt ​⋅l=1∑L​αl​ul​vlH​(1)

其中 α l \alpha_l αl​是信道第 l l l条径的复增益， u l ∈ C N r × 1 \boldsymbol u_l \in \mathbb C^{N_r \times 1} ul​∈CNr​×1是第 l l l条径在接收端的导向向量(receiver array steering vector)， v l ∈ C N t × 1 \boldsymbol v_l \in \mathbb C^{N_t \times 1} vl​∈CNt​×1是第 l l l条径在发送端的导向向量(transmit array steering vector)， N t , N r N_t, N_r Nt​,Nr​分别为发送天线数和接收天线数。

我们定义 u l = [ 1 , e j k d R cos ⁡ ( ϕ R , l ) , ⋯   , e j ( N r − 1 ) k d R cos ⁡ ( ϕ R , l ) ] T ∈ C N r × 1 (2) \boldsymbol u_l = [1, e^{jkd_R \cos( \phi_{R,l})}, \cdots, e^{j(N_r - 1)kd_R \cos( \phi_{R,l})}]^T \in \mathbb C^{N_r \times 1} \tag{2} ul​=[1,ejkdR​cos(ϕR,l​),⋯,ej(Nr​−1)kdR​cos(ϕR,l​)]T∈CNr​×1(2)

v l = [ 1 , e j k d T cos ⁡ ( ϕ T , l ) , ⋯   , e j ( N t − 1 ) k d T cos ⁡ ( ϕ T , l ) ] T ∈ C N t × 1 (3) \boldsymbol v_l = [1, e^{jkd_T \cos( \phi_{T,l})}, \cdots, e^{j(N_t - 1)kd_T \cos( \phi_{T,l})}]^T \in \mathbb C^{N_t \times 1} \tag{3} vl​=[1,ejkdT​cos(ϕT,l​),⋯,ej(Nt​−1)kdT​cos(ϕT,l​)]T∈CNt​×1(3)

其中， k = 2 π λ k=\frac{2\pi}{\lambda} k=λ2π​是波数(wave number)， d T , d R d_T, d_R dT​,dR​分别表示发送和接收端阵列天线间的距离， ϕ R , l \phi_{R,l} ϕR,l​理解为第 l l l条径的到达角(AOA: Angle of Arrival)， ϕ T , l \phi_{T,l} ϕT,l​理解为第 l l l条径的出发角(AOD: Angle of Departure)。

定理：若 H ∈ C N r × N t \boldsymbol H \in \mathbb C^{N_r \times N_t} H∈CNr​×Nt​为式(1)中的信道矩阵，那么 H H H ∈ C N t × N t \boldsymbol {H}^H \boldsymbol H \in \mathbb C^{N_t \times N_t} HHH∈CNt​×Nt​的特征向量(eigenvector)可以被表征为 { v 1 , v 2 , ⋯   , v L } \{ \boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \cdots, \boldsymbol v_L \} { v1​,v2​,⋯,vL​}（发送端的array steering vector）的线性组合。

证明：事实上， H H H ∈ C N t × N t \boldsymbol {H}^H \boldsymbol H \in \mathbb C^{N_t \times N_t} HHH∈CNt​×Nt​的特征向量/矩阵等价于矩阵 H \boldsymbol H H的右奇异向量/矩阵 L N t N r H H H = ∑ i ∑ j α i ∗ α j ⋅ ( u i H u j ) ⋅ v i v j H = V ˉ A V ˉ H (4) \frac{L}{N_t N_r} \boldsymbol {H}^H \boldsymbol H = \sum_{i} \sum_{j} \alpha_i^{*} \alpha_j \cdot (\boldsymbol u^H_i \boldsymbol u_j) \cdot \boldsymbol v_i \boldsymbol v_j^H = \bar {\boldsymbol V} \boldsymbol A \bar {\boldsymbol V}^H \tag{4} Nt​Nr​L​HHH=i∑​j∑​αi∗​αj​⋅(uiH​uj​)⋅vi​vjH​=VˉAVˉ 标签： cnr25d121k电阻