???若多次测量一个物理量。 例如物理量 X 等精度测量，得到一系列 x 1 ， x 2 ， … ， x n x_1， x_2， …，x_n x1，x2，…，xn算术平均值可用于测量无误且符合统计规律的数值 X 表示测量的最佳值，即

(1) X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar X=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i\tag1 Xˉ=n1i=1∑n​xi​(1)

    可以证明，当测量次数无限多时，算术平均值将无限接近真值。对于有限次测量，平均值会随着测量次数的不同而有所改变，也会因不同范围的测量数据而稍有差别。

    对于间接测量值 w = f ( x , y , … ) w=f(x,y, …) w=f(x,y,…)，它由直接测量值 ( x , y , … ) (x,y, …) (x,y,…)所确定。当多次测量时，有两种可能的情况。   （1） 对于各直接测量值 ( x i , y i , … ) (x_i,y_i, …) (xi​,yi​,…)相互独立地进行测量，且测量条件变化幅度小。首先分别求出各自的算术平均值 ( x ˉ , y ˉ , . . . ) (\bar x, \bar y,...) (xˉ,yˉ​,...)，然后将其带入函数关系式 w ˉ = f ( x , y , … ) \bar w=f(x,y, …) wˉ=f(x,y,…) 中求得 w 的测量值。

(2) w ˉ = f ( x ˉ , y ˉ , . . . ) \bar w = f (\bar x, \bar y,...) \tag 2 wˉ=f(xˉ,yˉ​,...)(2)

  （2） 同一条件下，对各量测量一遍，得一组 ( x i , y i , … ) (x_i,y_i,…) (xi​,yi​,…)，相应的有 w i = ( x i , y i , … ) w_i=(x_i,y_i, …) wi​=(xi​,yi​,…)，而每次间接测量之间又是相互独立的，用测量算术平均值 w ˉ \bar w wˉ作为测量值。

(3) w ˉ = ∑ i = 1 k w i / k = ∑ i = 1 k f ( x i , y i , . . . ) / k \bar w=\sum_{i=1}^k {w_i/k}=\sum_{i=1}^kf(x_i,y_i,...)/k\tag 3 wˉ=i=1∑k​wi​/k=i=1∑k​f(xi​,yi​,...)/k(3)

    通常，当测量条件没有大幅度变化时，两种计算方法所得到的结果是极其相近的。所以，除了测量条件变化幅度过大时必须采用式(3)外，一般都可以采用较简单的式(2)来计算.

    若实际测得值 X 与该物理量的客观真值 A 之间的差值为 δ A δA δA，称 δ A δA δA为测量值的绝对误差。

    绝对误差表示往往不能反映测量的精确程度，为了弥补绝对误差的不足，我们引进相对误差 E r 。 E_r。 Er​。根据所取的相对参考值的不同,可分为：

• 实际相对误差=[误差／真值]的百分数，即： E r = δ A × 100 % E_r=\frac{δ}{A}×100\% Er​=Aδ​×100%
• 标称相对误差=[误差／测量值]的百分数， 即： E r = δ X × 100 % E_r=\frac{δ}{X}×100\% Er​=Xδ​×100%
• 额定相对误差（或称可用误差） =[误差／满刻度值]的百分数，即： E r = δ X m a x × 100 % E_r=\frac{δ}{X_{max}}×100\% Er​=Xmax​δ​×100%

    误差按性质和来源分为系统误差和偶然误差(随机误差)。

    在同一实验条件下多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号保持恒定；或在条件改变时按某一确定的规律变化的误差。

• 理论误差：由于测量原理所依据的理论具有一定的近似性，从而在测量结果中引入误差。
• 人为误差：由于观察者的生理和心理因素引起测量结果的误差。
• 环境误差：由于环境(如温度、大气、电磁场等)的影响而产生的误差。
• 仪器误差：由于测量所用的工具(仪器、量具等)本身不完善而产生的误差。它包括：仪器的示值误差、仪器的零值误差以及仪器机构误差和测量附件误差等。
• 装置误差：由于测量设备，仪器和电路的安装、布置、调整不当而产生的误差。

• 理论分析法   a. 分析实验理论公式所要求的条件在测量过程中是否得到满足。   b. 分析仪器要求的使用条件是否得到满足。
• 对比测量法   a. 实验方法与测量方法的对比：用不同的实验方法测量同一个被测量，如果测量的结果在偶然误差允许的范围内不重合，则说明其中至少有一种方法存在系统误差。同一种实验方法，有时改变测量方法也可发现系统误差。   b. 仪器的对比：一个量用不同的仪器同时或分别地进行测量可发现仪器的系统误差。   c. 改变实验参数进行对比。   d. 换人测量，发现人员误差。
• 数据分析法   当偶然误差很小时，将测量的偏差 δ N i = N i − N ˉ δN_i=N_i-\bar N δNi​=Ni​−Nˉ按测量的先后次序排列，观测 δ N i δN_i δNi​的变化，如果 δ N i δN_i δNi​呈现规律性变化，如线性增大或减小，稳定的周期性变化，则必有系统误差存在。

    系统误差的特点是它的确定性，因此不能用重复多次测量的方法去消除或减小，没有像偶然误差那样统一的处理方法。常用的消除系统误差的方法有：

• 消除产生系统误差的根源。
• 对测量值做修正，即真值＝测量值±修正值。
• 对其他形式的恒定系统误差采取适当的测量方法去抵消，常用的方法有异号法 、交换法 、替代法 、零示法 。
• 可变系统误差(变值系统误差或对称变化系统误差)的消除。

     在实际相同的条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值和符号的变化，时大时小，时正时负，以随机的方式变化的误差。偶然误差服从正态分布(高斯分布)，增加测量次数可以减小误差，但不能完全消除。

     它是由实验者的失误造成的,如在记录和计算数据时写错数据，或者实验操作不当、仪器损坏等。这是一种人为因素的错误，实验者必须要避免它。我们所说的误差不应包括这类误差。

     剔除测量列中异常数据的标准有几种，有 3 σ x 3\sigma_x 3σx​准则、肖维准则、格拉布斯准则等。下面是 3 σ x 3\sigma_x 3σx​准则：      统计理论表明，测量值的偏差超过 3 σ x 3\sigma_x 3σx​的概率已小于 1％。因此，可以认为偏差超过 3 σ x 3\sigma_x 3σx​的测量值是其他因素或过失造成的，为异常数据，应当剔除。剔除的方法是将多次测量所得的一系列数据，算出各测量值的偏差 Δ x i \Delta x_i Δxi​和标准偏差 σ x \sigma_x σx​，把其中最大的 Δ x j \Delta x_j Δxj​与 3 σ x 3\sigma_x 3σx​比较，若 Δ x j \Delta x_j Δxj​＞ 3 σ x 3\sigma_x 3σx​ ，则认为第 j 个测量值是异常数据，舍去不计。剔除 x j 后，对余下的各测量值重新计算偏差和标准偏差，并继续审查，直到各个偏差均小于 3 σ x 3\sigma_x 3σx​为止。

     测量不确定度是与测量结果相关、表示被测量的量值分散性的参数。它反映测得值附近的一个范围，真值以一定的概率落在其中。 它是对误差的一种量化估计，是对测量结果可信赖程度的具体评定。不确定度小，标志着误差的可能值越小，测量结果可信赖程度高；不确定度大， 标志着误差的可能值越大， 测量结果可信赖程度低。用不确定度来评定实验结果，可以反映各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律。所以用不确定度的概念对测量数据做出评定比用误差来描述更合理。

     测量结果的不确定度一般包含几个分量，按其数值的评定方法，这些分量可归入两大类，即 A 类分量（或称为 A 类评定）和 B 类分量（或称为 B 类评定）。

• A 类不确定度：多次重复测量时，可以用统计方法处理得到的那些分量。
• B 类不确定度：不能用统计方法处理，而需要用其他方法处理的那些分量。

     在得到了测量值和计算出合成不确定度后，通常要写成下列形式：

(4) N = N ′ ± u c （ 单 位 ） （ P = 0.683 ） N=N'±u_c（单位） （P=0.683）\tag4 N=N′±uc​（单位）（P=0.683）(4)

(5) E = u c N ′ × 100 % E=\frac{u_c}{N'}×100\% \tag5 E=N′uc​​