基础作业部分包含有五道基础作业题目和一道实验题目。请注意：

• 每道题目中包含有必做题与选做题两部分。
• 必做题要求包含在提交的作业中；选择题仅用于思考和练习。
• 实验题为选做题。

  列写描述下面两个电路的激励信号 e ( t ) e\left( t \right) e(t) 与输出信号 v 0 ( t ) v_0 \left( t \right) v0​(t) 之间的微分方程。

提示：电路中具有两个电路网络“网孔”，分别设两个网孔电流为 i 1 ( t ) , i 2 ( t ) i_1 \left( t \right),i_2 \left( t \right) i1​(t),i2​(t) 。根据KLV列写两个回路的电压平衡方程，再加上输出电压与右边网孔电流之间的关系。共有三个微分方程。通过化简消去两个网孔电流便可以获得输入激励电压与输出电压之间的微分方程。

提示：也可以参照电路原理中动态电路 s s s 域分析方法，将上述电路转换成对应的 s s s 域模型，利用 s s s 域模型电阻网络分压关系获得输入输出之间的转移函数，然后在化简获得输入输出之间的微分方程。

提示：分别假设互感器两边的电流信号为 i 1 ( t ) , i 2 ( t ) i_1 \left( t \right),i_2 \left( t \right) i1​(t),i2​(t) ，建立左右两边的回路电压平衡方程，再根据输出电压与右边回路电流之间的关系，列写出三个微分方程组。通过消去两个回路电流获得输入激励电压 e ( t ) e\left( t \right) e(t) 与输出电压 v 0 ( t ) v_0 \left( t \right) v0​(t) 信号之间的关系。

  下图所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m 1 m_1 m1​ ，载荷仓质量为 m 2 m_2 m2​ 。两者中间 使用弹簧系数为 k k k 的弹簧连接。火箭和载荷仓各自收到摩擦力的作用。摩擦系数分别为 f 1 f_1 f1​ 、 f 2 f_2 f2​ 。

  求火箭推理 e 1 ( t ) e_1 \left( t \right) e1​(t) 与载荷仓运动速度 v 2 ( t ) v_2 \left( t \right) v2​(t) 之间的微分方程。

提示：分别对火箭与载荷仓的受力进行分析，根据牛顿第三定理，列写它们各自的动力学方程。它们之间所受到的弹簧力大小相等，方向相反，并与它们之间的距离（等于它们速度差的积分）成正比。根据列出的三个方程进行化简得到输入作用力 e 1 ( t ) e_1 \left( t \right) e1​(t) 与载荷仓运动速度 v 2 ( t ) v_2 \left( t \right) v2​(t) 之间的微分方程。

▲ 图1.1.4 火箭与载荷仓受力分析

  在某一容器中对A、B两种液体进行混合。在第 n n n 步，把 x [ n ] x\left[ n \right] x[n] 升液体A和 100 − x [ n ] 100 - x\left[ n \right] 100−x[n] 升液体B都导入容器中，假设 x [ n ] < 100 x\left[ n \right] < 100 x[n]<100 。该容器已有900升A与B的混合液。均匀混合后，再从容器中倒出100升混合液。如此重复上述过程在第 n n n 个循环结束后，假设A在混合液所占百分比为 y [ n ] y\left[ n \right] y[n] 。

  （1） 试列写出 x [ n ] x\left[ n \right] x[n] ， y [ n ] y\left[ n \right] y[n] 之间的差分方程；   （2） 如果已知 x [ n ] = 50 x\left[ n \right] = 50 x[n]=50 ， y [ 0 ] = 0 y\left[ 0 \right] = 0 y[0]=0 ，求解 y [ n ] y\left[ n \right] y[n] ；   （3） 指出期中的自由分量和强迫分量；   （4） 当 n → ∞ n \to \infty n→∞ 时， y [ ∞ ] = ? y\left[ \infty \right] = ? y[∞]=?

  已知系统微分方程如下：

d 2 d t 2 r ( t ) + 7 d d t r ( t ) + 10 r ( t ) = d d t e ( t ) + e ( t ) { {d^2 } \over {dt^2 }}r\left( t \right) + 7{d \over {dt}}r\left( t \right) + 10r\left( t \right) = {d \over {dt}}e\left( t \right) + e\left( t \right) dt2d2​r(t)+7dtd​r(t)+10r(t)=dtd​e(t)+e(t)

  如果激励信号和起始状态为： e ( t ) = u ( t ) ,    r ( 0 − ) = 2 ,    r ′ ( 0 − ) = 3 e\left( t \right) = u\left( t \right),\,\,r\left( {0_ - } \right) = 2,\,\,r'\left( {0_ - } \right) = 3 e(t)=u(t),r(0−​)=2,r′(0−​)=3

  试分别求出：

• 系统的完全响应；
• 指出响应中的零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应等各分量；

提示：需要根据奇异函数匹配方法求解系统的 0 + 0_ + 0+​ 时刻的起始状态来求解完全响应中齐次解中的待定系数。

  求解下面差分方程描述的系统零状态响应。

y [ n ] −