在之前的文章《从贝叶斯滤波到扩展卡尔曼滤波》中，我们讲述了非线性高斯系统的状态转移函数，扩展卡尔曼滤波通过一级泰勒级数扩展 f ( x ) f(x) f(x) 和(或)观测函数 h ( x ) h(x) h(x) 线性化，然后使用标准的卡尔曼滤波框架来实现状态过滤过程。扩展卡尔曼滤波器有两个明显的缺点：

无痕变换的核心理念：

与任何非线性函数或变换相比，近似概率分布相对容易。

无痕变换需要解决的问题是，已知随机变量的概率分布下是随机向量)的概率分布(平均值和方差)，要求其通过非线性函数 g ( ? ) g(·) g(?) 变换后的概率分布。基于上述思想，无痕变换的主要步骤如下：

(1) 根据某种规则随机变量的概率分布确定性采样，并为采样点分配权重(均值权重和方差权重)，我们通常称采样点为 sigma 点；

(2) 将每一个 sigma 点进行非线性变换，得到新的 sigma 点；

(3) 非线性变换后的新 sigma 点进行加权求和，加权平均值与加权方差分别计算，加权平均值与加权方差分别计算近似表征非线性变换后随机变量的概率分布。

如下图所示(概率机器人第一) 3.4 节 P49）：

卡尔曼滤波器中使用的确定性采样方法是 sigma 点采样方法的具体实现，卡尔曼滤波器的中心差（Central Difference Kalman Filter，CDKF）使用了 sigma 另一种具体实现点采样方法，我们统称这种滤波算法 sigma 点卡尔曼滤波器（Sigma-Point Kalman Filter，SPKF）算法。

根据历史发展背景，无痕变换主要包括两种形式：一般形式的无痕变换和比例无痕变换（Scaled Unscented Transform，SUT）。两种无痕变换的区别主要体现在采样规则和权重计算上，下面将分别阐述。

假设存在 n n n 维随机向量 X X X，其服从均值 μ x \mu_x μ x ​ 和协方差 Σ x \Sigma_x Σx​ 的正态分布：

X ∼ N ( μ x , Σ x ) X \sim \mathcal{N}(\mu_x, \Sigma_x) X∼N(μx​,Σx​)

将 X X X 经过非线性函数 g ( ⋅ ) g(·) g(⋅) 进行变换，得到随机向量 Y Y Y，我们使用一般形式的无迹变换估计 Y Y Y 的概率分布。一般形式的无迹变换最早由 Julier 等人提出，其主要操作流程如下所述：

步骤一：参数选择与权重计算

一般形式的无迹变换只涉及一个外部引入参数 κ \kappa κ，各 sigma 点（ 2 n + 1 2n+1 2n+1 个）的权重分配如下：

W ( i ) = { κ n + κ i = 0 1 2 ( n + κ ) i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , 2 n W^{(i)} = \begin{cases} \frac{\kappa}{n+\kappa} & i = 0 \\ \frac{1}{2(n+\kappa)} & i = 1, ··· , 2n \end{cases} W(i)={ n+κκ​2(n+κ)1​​i=0i=1,⋅⋅⋅,2n​

其中， κ ∈ R \kappa \in \mathbb{R} κ∈R，表征了 sigma 点相对均值的散布程度， κ \kappa κ 越大，非均值处的 sigma 点距离均值越远（参考步骤二），且所占权重越小，而均值处 sigma 点所占权重则相对越大。对于高斯问题， n + κ = 3 n+\kappa = 3 n+κ=3 是一个比较好的选择，对于非高斯问题（是的，无迹变换也适用于非高斯问题）， κ \kappa κ 应该选择其它更恰当的值。

步骤二：确定性采样

通常情况下，siama 点位于均值处及对称分布于主轴的协方差处（每维两个）。按照如下方法采样得到 2 n + 1 2n + 1 2n+1 个 sigma 点，构成 n × ( 2 n + 1 ) n \times (2n + 1) n×(2n+1) 的点集矩阵 X \mathcal{X} X：

X ( i ) = { μ x i = 0 μ x + ( ( n + κ ) Σ x ) ( i − 1 ) i = 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n μ x − ( ( n + κ ) Σ x ) ( i − n − 1 ) i = n + 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , 2 n \mathcal{X}^{(i)} = \begin{cases} \mu_x & i = 0 \\ \mu_x + (\sqrt{(n + \kappa)\Sigma_x})^{(i-1)} & i = 1, ··· , n \\ \mu_x - (\sqrt{(n + \kappa)\Sigma_x})^{(i-n-1)} & i = n + 1, ··· , 2n \end{cases} X(i)=⎩⎪⎨⎪⎧​μx​μx​+((n+κ)Σx​ ​)(i−1)μx​−((n+κ)Σx​ ​)(i−n−1)​i=0i=1,⋅⋅⋅,ni=n+1,⋅⋅⋅,2n​

其中， ( ( n + κ ) Σ x ) ( i − 1 ) (\sqrt{(n + \kappa)\Sigma_x})^{(i-1)} ((n+κ)Σx​ ​)(i−1) 表示矩阵 ( n + κ ) Σ x (n + \kappa)\Sigma_x (n+κ)Σx​ 作 Cholesky 分解后下三角矩阵的第 i − 1 i-1 i−1 列， ( ( n + κ ) Σ x ) ( i − n − 1 ) (\sqrt{(n + \kappa)\Sigma_x})^{(i-n-1)} ((n+κ)Σx​ ​)(i−n−1) 同理。

步骤三：sigma 点非线性变换

将每个 sigma 点（即 X \mathcal{X} X 的每一列）进行 g ( ⋅ ) g(·) g(⋅) 的非线性变换，得到变换后的新的点集矩阵 Y \mathcal{Y} Y：

Y ( i ) = g ( X ( i ) ) i = 0 , ⋅ ⋅ ⋅ , 2 n \mathcal{Y}^{(i)} = g(\mathcal{X}^{(i)}) \quad i = 0, ··· , 2n Y(i)=g(X(i))i=0,⋅⋅⋅,2n

步骤四：加权计算近似均值与近似协方差

μ y = ∑ i = 0 i = 2 n W ( i ) Y ( i ) \mu_y = \sum_{i=0}^{i=2n}W^{(i)}\mathcal{Y}^{(i)} μy​=i=0∑i=2n​W(i)Y(i)

Σ y = ∑ i = 0 i = 2 n W ( i ) [ Y ( i ) − μ y ] [ Y ( i ) − μ y ] T \Sigma_y = \sum_{i=0}^{i=2n}W^{(i)}[\mathcal{Y}^{(i)}-\mu_y][\mathcal{Y}^{(i)}-\mu_y]^T Σy​=i=0∑i=2n​W(i)[Y(i)−μy​][Y(i)−μy​]T

从 1.2 节的内容中我们可以发现，当参数 κ < 0 \kappa < 0 κ<0 时，权重 W ( 0 ) = κ n + κ < 0 W^{(0)} = \frac{\kappa}{n+\kappa} < 0 W(0)=n+κκ​<0，加权算得的近似协方差可能存在非半正定的情况。为应对该问题，Julier 等人后来提出无迹变换的改进形式——比例无迹变换，并由 Merwe 等人对其进行了简化。比例无迹变换与一般形式的无迹变换的主要区别体现在参数选取与 sigma 点权重计算上，其主要操作流程如下所述：

步骤一：参数选择与权重计算

比例无迹变换引入了四个外部参数： α \alpha α、 β \beta β、 κ \kappa κ 和 λ \lambda λ，各 sigma 点（ 2 n + 1 2n+1 2n+