以卡尔曼滤波为例。

如果有一个小机器人可以在草地上自由移动。为了实现导航，机器人需要知道自己在哪里。那么这个小机器人怎么知道自己在哪里呢？有两种方法:

首先假设我们知道线性系统状态差分方程为 (1) x k = A x k ? 1 B u k ? 1 w k ? 1 x_k = Ax_{k-1} Bu_{k-1} w_{k-1} \tag{1} xk=Axk?1 Buk?1 wk − 1​(1) 其中 x x x 是系统的状态向量，大小为n*1列。 A A A为转换矩阵，大小为 n ∗ n n*n n∗n。 u u u为系统输入，大小为 k ∗ 1 k*1 k∗1。 B B B是将输入转换为状态的矩阵，大小为 n ∗ k n*k n∗k。随机变量 w w w为系统噪声。

这里说句题外话，什么是状态方程？说的通俗一点，就是预测方程。根据上一时刻的状态及控制量来预测当前时刻的状态，当然，这个过程中不可避免的存在误差。

系统的测量方程为 (2) z k = H x k + v k z_k=Hx_k+v_k\tag{2} zk​=Hxk​+vk​(2) z z z是测量值，大小为 m ∗ 1 m*1 m∗1， H H H也是状态变量到测量的转换矩阵。大小为 m ∗ n m*n m∗n。随机变量 v v v是测量噪声。

那什么又是测量方程呢？就是根据此刻的状态量及噪声得到的测量值的过程。另一方面测量方程也表明，测量值是由我们的状态值确定的。

对于状态方程中的系统噪声 w w w和测量噪声 v v v，假设服从如下多元高斯分布，并且 w w w, v v v是相互独立的。其中 Q Q Q, R R R为噪声变量的协方差矩阵。

在此，我们设 x k ^ ′ \hat{x_k}' xk​^​′为预测值（根据上一时刻的状态及控制量由状态方程得到的当前时刻的状态）、 x k ^ \hat{x_k} xk​^​为估计值（即卡尔曼滤波的最终的结果）、 z k ^ \hat{z_k} zk​^​是测量值的预测（即，根据预测的状态值 x k ^ ′ \hat{x_k}' xk​^​′得到的测量值）。则三者的关系为 (3) x k ^ = x k ^ ′ + K ( z k − z k ^ ) = x k ^ ′ + K ( z k − H x k ^ ′ ) \hat{x_k} = \hat{x_k}'+K(z_k-\hat{z_k})=\hat{x_k}'+K(z_k-H\hat{x_k}') \tag{3} xk​^​=xk​^​′+K(zk​−zk​^​)=xk​^​′+K(zk​−Hxk​^​′)(3)

其中， ( z k − H x k ^ ′ ) (z_k-H\hat{x_k}') (zk​−Hxk​^​′)称之为残差，也就是预测的和你实际测量值之间的差距。如果这项等于0，说明预测和测量出的完全吻合。

这个公式说明什么呢？他的意思就是最终的估计值等于预测值加上乘以系数 K K K的测量残差。

从这个公式可以看出，我们可以根据状态方程得到预测值，根据测量方程可以得到测量值的预测，然后在根据公式3就可以得到最终的估计值。还有一个问题就是系数 K K K的确定。

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接下来说一下参数 K K K的确定。