线性离散系统的分析和校正
离散系统
连续信号：时间和振幅值的连续变化
采样信号：在离散时间取值，振幅值连续变化
数字信号:时间和幅值分散，有量化单位q
离散系统：脉冲串或数字系统中有一个或多个信号
连续系统：系统中的所有信号都是时间连续函数
可分为离散系统
(1)采样系统:时间离散，数值连续，传感器的连续信息在一定规定的时间内立即取值，而相邻两个脉冲之间没有信号值。系统中的所有采样器在周期采样时同步工作
采样控制系统的结构框图如下图所示:(带信号*表示为离散
采样过程：应用采样器把连续信号转变为脉冲序列
复制过程：将脉冲序列转换为连续信号
（2）数字系统：时间离散、数值量化、数字控制系统是一种以数字计算机为控制器控制连续工作状态的闭环控制系统，也称为计算机控制系统
一个数字控制系统的结构框图如下图所示：
A/D过程:信号通过采样和量化在时间和值上分散，每次采样都有采样时间τ，两次采样间隔采样周期T
考虑到量化误差和采样时间过于麻烦，因此做出以下两个假设： （1）认为 τ ? T \tau\ll T τ?T，即采样瞬间完成
（2）认为A/D转换器具有足够高的采样精度，即量化误差可以忽略
D/A过程：数字通过零阶保持器连续转换
采样系统和数字系统在时间上是分散的，采样和数字的区别在于值是连续的还是量化的
采样和保持信号
数学描述采样过程
(1)理想采样序列: δ T ( t ) = ∑ n = ∞ ∞ δ ( t ? n T ) \delta_{T}(t)=\sum\limits_{n=\infty}^{\infty} \delta(t-n T) δT(t)=n=∞∑∞δ(t?nT)
离散过程可视为连续信号和理想采样序列的乘
误差信号的采样过程描述如下： e ∗ ( t ) = e ( t ) ⋅ δ T ( t ) = e ( t ) ⋅ ∑ n = ∞ ∞ δ ( t − n T ) = ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) ⋅ δ ( t − n T ) e^{*}(t)=e(t) \cdot \delta_{T}(t)=e(t) \cdot \sum_{n=\infty}^{\infty} \delta(t-n T)=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \delta(t-n T) e∗(t)=e(t)⋅δT(t)=e(t)⋅n=∞∑∞δ(t−nT)=n=0∑∞e(nT)⋅δ(t−nT) （2）拉氏变换
对其进行拉氏变换 E ∗ ( s ) = L [ e ∗ ( t ) ] = L [ ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) ⋅ δ ( t − n T ) ] = ∑ n = 0 ∞ e ( n T ) ⋅ e − n T s E^{*}(s)=L\left[e^{*}(t)\right] =L\left[\sum_{n=0}^{\infty} e(n T) \cdot \delta(t-n T)\right]=\sum_{n=0}^{\infty} e(n T)\cdot e^{-n T s} E∗(s)=L[e∗(t)]=L[n=0∑∞e(nT)⋅δ(t−nT)]=n=0∑∞e(nT)⋅e−nTs （该拉氏变换的过程可以这么理解：因为线性系统满足叠加定理，所以每项$ e(n T) \cdot \delta(t-n T)$各自进行拉氏变换之后再相加即可，而单位冲击信号的拉氏变换结果为1，所以只需要根据时域平移定理即可求得各自的拉氏变换）
例如
e ( t ) = 1 e(t) = 1 e(t)=1，求 E ∗ ( s ) E^*(s) E∗(s) E ∗ ( s ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ⋅ e − n T s = 1 + e − T s + e − 2 T s + ⋯ = e T s e T s − 1 E^*(s) = \sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot e^{-n T s}=1 + e^{-Ts} + e^{-2Ts} + \cdots = \frac{e^{Ts}}{e^{Ts}-1} E∗(s)=n=0∑∞1⋅e−nTs=1+e−Ts+e−2Ts+⋯=eTs−1eTs e ( t ) = e − a t e(t)=e^{-a t} e(t)=e−at，求 E ∗ ( s ) E^*(s) E∗(s) E ∗ ( s ) = ∑ n = 0 ∞ e − a n T ⋅ e − n T s = ∑ n = 0 ∞ e − ( a + s ) n T = e T s e T s − e − a T E^*(s) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-anT}\cdot e^{-n T s}=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-(a+s)nT}=\frac{e^{Ts}}{e^{Ts}-e^{-aT}} E∗(s)=n=0∑∞e−anT⋅e−nTs=n=0∑∞e−(a+s)nT=eTs−e−aTeTs 由此可见，离散信号的拉氏变换不是s的有理分式，不好处理
（3）傅里叶变换
理想采样序列 δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T ) \delta_{T}(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T) δT(t)=n=−∞∑∞δ(t−nT)是周期函数，可以展开为傅里叶级数
展开形式如下 δ T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e − j n ω s t d t \delta_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} d t δT(t)=n=−∞∑∞cne−jnωstdt 其中采样周期 ω s = 2 π T \omega_s=\frac{2\pi}{T} ωs=T2π
系数 c n c_n cn计算公式如下 c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 δ T ( t ) ⋅ e − j n ω s t d t = 1 T ∫ 0 − 0 + δ ( t ) ⋅ 1 ⋅ d t = 1 T c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \delta_{T}(t) \cdot \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} d t=\frac{1}{T} \int_{0^{-}}^{0^{+}} \delta(t) \cdot 1 \cdot d t=\frac{1}{T} cn=T1∫−2T2TδT(t)⋅e−jnωstdt=T1∫0−0+δ(t)⋅1⋅dt=T1 由此可知理想采样序列的傅里叶级数展开为 δ T ( t ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ e − j n ω s t d t \delta_{T}(t)=\frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-j n \omega_{s} t} d t δ 标签： 3c12p01770位移传感器1k角位移传感器