交叉通道试验的物理意义

我们建议在反卷积过程中共享不同通道的信息，以便通道保留的频率信息可以帮助其他通道重建。基于这样的假设，所有图像通道在同一位置的边缘和颜色变化稀疏。[1]这个假设可以导出两个通道 l,k 之间的先验

$$\begin{equation} \begin{aligned} & \nabla i_k ./ i_k \approx \nabla i_l ./ i_l \\ \Leftrightarrow & \nabla i_k \cdot i_l \approx \nabla i_l \cdot i_k \end{aligned} \end{equation}$$ 其中乘法 ⋅ $\cdot$除法 ./ $./$都是元素操作。注意使用时我们用 l1 $\mathcal{l}_1$范数的形式。

最小化问题

通过交叉通道先验，全通道反卷积可以形式化为一个优化问题

$$\begin{equation} (i_{1,2,3})_{opt} = \text{argmin}_{i_{1,2,3}} \sum_{c=1}^3 ( \Vert B_c i_c - j_c \Vert_2^2 + \lambda_c \sum_{a=1}^5 \Vert H_a i_c \Vert_1 \\ + \sum_{l \neq c} \beta_{cl} \sum_{a=1}^2 \Vert H_a i_c \cdot i_l - H_a i_l \cdot i_c \Vert_1 ) \tag{1} \end{equation}$$ 其中卷积矩阵 H1,2 $H_{1,2}$实现一阶导数， H3,4,5 $H_{3,4,5}$实现二阶导数。(1)中第一项是数据保真项，第二项确保梯度和边缘服从重尾分布（heavey-tailed distribution），最后一项表示交叉通道先验。

实现