SSA时间序列分解

Step1:根据原始时间序列构建轨迹矩阵 X X X

Step2:分解矩阵X的奇异值： X = ∑ i = 1 r σ i U i V i T X=\sum_{i=1}^{r} \sigma_i U_i V_i^T X=∑i=1rσiUiViT

Step三、按奇异值生成 r r r个子矩阵: X i = σ i U i V i T X_i = \sigma_i U_i V_{i}^T Xi​=σi​Ui​ViT​

Step4:根据某一分组原则将子矩阵 X i X_i Xi​分为 m m m个组

Step5:对子矩阵 X i X_i Xi​进行对角均值化处理得到子序列 F i ~ \widetilde{F_i} Fi​ ​

Step6:对 m m m个组中的子序列相加得到分组子序列。

输入：原始时间序列 y y y，窗口长度 L ( 2 ≤ L ≤ N / 2 ) L (2 \le L \le N/2) L(2≤L≤N/2)， N = l e n ( y ) N=len(y) N=len(y) X = [ y 1 y 2 y 3 y 4 … y N − L + 1 y 2 y 3 y 4 y 5 … y N − L + 2 y 3 y 4 y 5 y 6 … y N − L + 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ y L y L + 1 y L + 2 y L + 3 … y N ] (1) \mathbf{X} = \begin{bmatrix}\tag{1} y_1 & y_2 & y_3 & y_4 &\ldots & y_{N-L+1} \\ y_2 & y_3 & y_4 & y_5 &\ldots & y_{N-L+2} \\ y_3 & y_4 & y_5 & y_6 &\ldots & y_{N-L+3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_{L} & y_{L+1} & y_{L+2} & y_{L+3} & \ldots & y_{N} \\ \end{bmatrix} X=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​y1​y2​y3​⋮yL​​y2​y3​y4​⋮yL+1​​y3​y4​y5​⋮yL+2​​y4​y5​y6​⋮yL+3​​………⋱…​yN−L+1​yN−L+2​yN−L+3​⋮yN​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​(1) 显然矩阵 X X X是一个汉克尔矩阵（每一条副对角线的元素都相等），矩阵的行数为窗口长度 L L L，矩阵的列数为 N − L + 1 N-L+1 N−L+1。

X = U Σ V T (2) X = U \Sigma V^T \tag{2} X=UΣVT(2)

其中：

• U U U： L × L L \times L L×L酉矩阵

• Σ \Sigma Σ： L × K L \times K L×K对角阵

• V V V： K × K K \times K K×K酉矩阵

奇异值分解将轨迹矩阵 X X X分解为酉矩阵 U U U，对角阵 Σ \Sigma Σ和酉矩阵 V V V的线性组合。这意味着： X = ∑ i = 1 r σ i U i V i T = ∑ i = 1 r X i (3) \begin{aligned}\tag{3} \mathbf{X} & = \sum_{i=1}^{r}\sigma_i U_i V_i^{\text{T}} \\ & = \sum_{i=1}^{r}\mathbf{X}_i \end{aligned} X​=i=1∑r​σi​Ui​ViT​=i=1∑r​Xi​​(3)

r r r表示矩阵 X X X的非零特征根数也即矩阵的秩。

不妨设根据某一分组原则将子矩阵分为了trend、periodic、noise 3组，对应地矩阵 X X X分解得到的子序列将被组合为3部分。 X ~ (trend) = ∑ t ∈ t r e n d X ~ t    ⟹    F ~ (trend) = ∑ t ∈ t r e n d F ~ t X ~ (periodic) = ∑ p ∈ p e r i o d i c X ~ p    ⟹    F ~ (periodic) = ∑ p ∈ p e r i o d i c F ~ p X ~ (noise) = ∑ n ∈ n o i s e X ~ n    ⟹    F ~ (noise) = s u m n ∈ n o i s e F ~ n (4) \begin{aligned}\tag{4} \tilde{\mathbf{X}}^{\text{(trend)}} & = \sum_{t \in trend}\tilde{\mathbf{X}}_t & \implies & \tilde{F}^{\text{(trend)}} = \sum_{t \in trend} \tilde{F}_t \\ \tilde{\mathbf{X}}^{\text{(periodic)}} & = \sum_{p \in periodic}\tilde{\mathbf{X}}_p & \implies & \tilde{F}^{\text{(periodic)}} = \sum_{p \in periodic} \tilde{F}_p\\ \tilde{\mathbf{X}}^{\text{(noise)}} & = \sum_{n \in noise}\tilde{\mathbf{X}}_n & \implies & \tilde{F}^{\text{(noise)}} = sum_{n \in noise} \tilde{F}_n \end{aligned} X~(trend)X~(periodic)X~(noise)​=t∈trend∑​X~t​=p∈periodic∑​X~