第三章 网络状态方程
根据描述网络的微分方程，动态网络的分析方法可分为输入输出法和状态变量法。
输入—输出法仅着眼于输出(响应函数)与输入(激励函数)之间的关系，其主题是建立和求解输入-输出方程。输入输出方程是高级微分方程。一般来说，高阶微分方程比一阶微分方程组更容易使用数字计算机辅助求解。状态变量分析方法是利用一组称为状态变量的辅助变量，建立一组联系状态变量和激励函数的所谓输出方程，然后通过输出方程找到响应函数。
状态变量分析法不仅适用于线性网络，也适用于非线性网络。
本书仅讨论线性网络的状态变量分析方法，包括状态变量的选择、状态方程和输出方程的建立和解决。
3-1 网络的状态和状态变量
网络在任何时刻(t=t0)的状态(state)，它是指能够和输入激励一起确定网络的现状(t=t0)行为和未来(t>t0)收集最少(即线性独立)的信息。例如，网络中的独立电容电压（或电荷）和电感电流（或磁通链）t0值的集合可以构成网络t0瞬时状态。由于网络中的独立电容电压（或电荷）和电感电流（或磁通链）t0的集合值tt0时的输入激励可以单独确定tt0时网络中的任何电压或电流响应。
网络变量集中的每一个变量，可以描述网络的任何瞬时状态，是最少的(即线性独立)，称为网络状态变量(state variable)。例如，网络中的独立电容电压(或电荷)和电感电流(或磁通链)可以作为网络的状态变量。
只有电容元件组成的电路存在于网络中[见图3-1-1(a)]或仅由电容元件和独立电压源构成的回路[见图3-1-1(b)]时, 由于电路中各部件的电压KVL其中一个电容电压可以通过电路中其他部件的电压获得，即非独立电容电压。类似地，当网络中只有电感元件的切集[见图3-1-1(c)]或仅由电感元件和独立电流源组成的切集[见图3-1-1(d)]当时，由于属于该割集的支路电流受到影响KCL在约束下，必须有一个电感电流可以通过切割集中其他元件的电流找到，即非独立的电感电流。非独立电容电压和非独立电感电流不能作为网络的状态变量，相应的电容电荷和电感磁通链也不能作为网络的状态变量。
(a)电路仅由电容器组成 (b)电路仅由电容和独立电压源组成
(c)仅由电感组成的割集 (d)切集仅由电感和独立电流源组成
图3-1-1 纯电容电路和纯电感切割
我们称只有电容元件或电容元件和独立电压源的电路为纯电容电路(capacitor-only loop)，将只由电感元件或电感元件和独立电流源组成的切集称为纯电感切集(inductor-only cut set)。
既没有纯电容电路，也没有纯电感切割网络，称为常态网络(proper network)。电感电流和电容电压在正常网络中是独立的，可作为网络的状态变量。此时，状态变量数等于网络中电容元件和电感元件的总数。具有纯电容电路或纯电感割集(或两者兼而有之)的网络称为异常网络(improper network)。由于非独立电容电压和电感电流，网络的状态变量小于网络中电容元件和电感元件的总数。本书只讨论常态网络。
3-2 状态方程和输出方程
3-2-1 状态方程
图3-2-1 一般高级网络
网络状态变量分析方法是首先建立状态变量和激励函数之间的关系，以及输出变量、状态变量和激励函数之间的关系，然后解决状态方程，然后将状态变量替换到输出方程，以获得网络的输出变量。
高级网络的状态方程是一组一级微分方程。以图3-2-1所示的线性网络为例。这是一个常态网络。iL、uc1、uc都是独立的，所以可以选择状态变量。应用程序KVL与KCL可获得以下独立方程组
(3-2-1)
将支路方程
和
代入式(3-2-1)经移项整理后即可获得
(3-2-2)
可用矩阵(3-2-2)表示
(3-2-3)
(3-2-2)或(3-2-3)称为图3-2-1所示常态网络的状态方程(state equation)。可以看出，每个状态方程的左端是状态变量的一阶导数，而方程的右端是状态变量和激励函数的线性组合，每个系数仅取决于网络元件的参数和网络的拓扑结构；每个状态方程不包括非状态变量（即除状态变量）uc1、uc2、iL其他网络变量)；网络的状态方程数等于网络的状态变量数。
为了促进一般情况，可以使用x来表示网络的状态变量，f来表示网络的激励函数（电压激励函数或电流激励函数），即使
若再令
(3-2-3)
(3-2-4)
类型(3-2-4)称为状态方程的向量形式。类型中的x是3D状态向量，f二维激励向量，A是状态向量系数矩阵(33矩阵)，B系数矩阵(32矩阵)是激励向量。
一般情况下，网络具有n个状态变量，m状态向量及其一阶导数为n维列向量，系数矩阵A为nn系数矩阵B为矩阵nm矩阵。
(3-2-3)或(3-2-4)也称为范式(normal form)状态方程。
线性网络的状态方程是一组常系数线性一阶微分方程。
3-2-2 输出方程
如果网络的输出变量是网络的状态变量，则联合解决网络的状态方程组可以找到网络的输出变量。如果网络的输出变量是非状态变量，则必须建立网络的输出方程。以图3-2-1中显示的常态网络为例，并设置该网络的输出变量为iC1、i1、i2、。
根据电路的基本约束关系
(3-2-5a)
(3-2-5b)
(3-2-5c)
(3-2-5d)
(3-2-5e)
用矩阵表示将式(3-2-5)
(3-2-6)
(3-2-5)或(3-2-6)称为图3-2-1所示的常态网络uR1、uL、i1、i2、iC1为输出变量的输出方程(output equation)。可以看出，每个输出方程的左端是输出变量，而方程的右端是状态变量和激励函数的线性组合，每个系数仅取决于网络元件的参数和网络的拓扑结构，每个输出方程的右端不包括非状态变量；网络的输出方程等于网络的输出变量。
为便于推广到一般情况，除上述相关代表符号外，还使用r表示网络输出变量（或响应），即使
若再令
(3-2-6)
(3-2-7)
式(3-2-7)叫做输出方程的向量形式。式中r是5维的输出向量，C系数矩阵与D分别为53和52。
一般情况下，网络具有n个状态变量，m激励函数，h输出变量为h维列向量，系数矩阵C为hn系数矩阵D为矩阵hm矩阵。
线性网络的输出方程是一组可直接应用的代数方程KVL、KCL并获得组件方程。
从以上分析可以看出，对于n阶网络，需要建立和解决n阶微分方程，采用电路原理（上册）第三章介绍的输入输出法分析，需要建立和解决n阶微分方程。联立一阶微分方程可采用多种分析解法和数值解法，特别适用于计算机辅助解决；高阶微分方程的解决更麻烦。此外，输入输出法一般仅用于单输入单输出网络① 原则上，应用输入-输出法和叠加定理也可以求解多输入多输出网络，但计算非常复杂。
，状态变量法不受激励源和输出变量数的限制。
3-3 建立线性常态网络状态方程
根据公式(3-2-3)，每个状态方程只包含一个状态变量的一阶导数，电容电流决定状态变量uC电感电压决定状态变量iL如果可以应用一阶导数KCL电流方程中只有一个电容电流，应用程序KVL网络状态方程的建立过程可以简化，电感电压。为此，首先定义网络的常态树(proper tree)如下。
对于一个正常的网络，你可以选择一棵树，它包含网络中所有的电压源、所有的电容器和一些必要的电阻，但不包含任何电感和电流源，这样的树被称为正常的树。至少可以为任何正常的网络选择一棵正常的树。
显然，在一个常态网络中选择一棵常态树后，每个电容树支的基本割集应用KCL在建立的电流方程中，只有一个状态变量导数项；每个电感连支的基本电路应用KVL在建立的电压方程中，只有一个状态变量导数项。以下是常态网络状态方程的建立方法。
图3-3-1(a)所示网络不含纯电容电路和纯电感割集，是正常网络；图3-3-1(b)为其有向图① 本章把每一电压源或电流源单独作为一个支路。
。
(a) (b)
图3-3-1 常态网络和常态树示例(1)
第一步：选择状态变量。正常网络通常选择每个电容电压和电感电流作为网络的状态变量。在这种情况下，即u1、u2和i4、i5作为状态变量。
第二步:选择常态树，如图3-3-1所示(b)中粗线所示。
第三步：列出网络中各电容支路的电流方程和各电感支路的电压方程。
对电容C1和C22树支的基本割集应用KCL可得电流方程：
(3-3-1a)
(3-3-1b)
对电感L1与L22连支基本回路应用KVL可得电压方程：
(3-3-1c)
(3-3-1d)
可改写为3-3-1
(3-3-2)
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