同济大学高等数学(第七版) 习题2-4
1. 求 由 下 列 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 的 导 数 d y d x : \begin{aligned}&1. \ 以下方程确定的隐函数导数\frac{dy}{dx}:&\end{aligned} 1.求由下列方程所确定的隐函数的导数dxdy:
( 1 ) y 2 ? 2 x y 9 = 0 ； ( 2 ) x 3 y 3 ? 3 a x y = 0 ； ( 3 ) x y = e x y ； ( 4 ) y = 1 ? x e y \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y^2-2xy 9=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ x^3 y^3-3axy=0；\\\\ &\ \ (3)\ \ xy=e^{x y}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=1-xe^y & \end{aligned} (1) y2−2xy+9=0； (2) x3+y3−3axy=0； (3) xy=ex+y； (4) y=1−xey
解：
( 1 ) d d x ( y 2 − 2 x y + 9 ) = 2 y d y d x − 2 y − 2 x d y d x = 0 ， d y d x = y y − x ( 2 ) d d x ( x 3 + y 3 − 3 a x y ) = 3 x 2 + 3 y 2 d y d x − 3 a y − 3 a x d y d x = 0 ， d y d x = x 2 − a y a x − y 2 ( 3 ) d d x ( x y − e x + y ) = y + x d y d x − e x + y ( 1 + d y d x ) = y + x d y d x − e x + y − e x + y d y d x = 0 ， d y d x = e x + y − y x − e x + y ( 4 ) d d x ( x e y + y − 1 ) = e y + x e y d y d x + d y d x = 0 ， d y d x = − e y x e y + 1 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{d}{dx}(y^2-2xy+9)=2y\frac{dy}{dx}-2y-2x\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=\frac{y}{y-x}\\\\ &\ \ (2)\ \frac{d}{dx}(x^3+y^3-3axy)=3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-3ay-3ax\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=\frac{x^2-ay}{ax-y^2}\\\\ &\ \ (3)\ \frac{d}{dx}(xy-e^{x+y})=y+x\frac{dy}{dx}-e^{x+y}(1+\frac{dy}{dx})=y+x\frac{dy}{dx}-e^{x+y}-e^{x+y}\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x+y}-y}{x-e^{x+y}}\\\\ &\ \ (4)\ \frac{d}{dx}(xe^y+y-1)=e^y+xe^y\frac{dy}{dx}+\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=-\frac{e^y}{xe^y+1} & \end{aligned} (1) dxd(y2−2xy+9)=2ydxdy−2y−2xdxdy=0，dxdy=y−xy (2) dxd(x3+y3−3axy)=3x2+3y2dxdy−3ay−3axdxdy=0，dxdy=ax−y2x2−ay (3) dxd(xy−ex+y)=y+xdxdy−ex+y(1+dxdy)=y+xdxdy−ex+y−ex+ydxdy=0，dxdy=x−ex+yex+y−y (4) dxd(xey+y−1)=ey+xeydxdy+dxdy=0，dxdy=−xey+1ey
2. 求 曲 线 x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 在 点 ( 2 4 a , 2 4 a ) 处 的 切 线 方 程 和 法 线 方 程 。 \begin{aligned}&2. \ 求曲线x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}在点\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a, \ \frac{\sqrt{2}}{4}a\right)处的切线方程和法线方程。&\end{aligned} 2. 求曲线x32+y32=a32在点(42 a, 42 a)处的切线方程和法线方程。
解：
d d x ( x 2 3 + y 2 3 − a 2 3 ) = 2 3 x − 1 3 + 2 3 y − 1 3 d y d x = 0 ， d y d x = − ( x y ) − 1 3 ， 在 点 ( 2 4 a , 2 4 a ) 处 ， y ′ = − 1 。 切 线 方 程 ： y − 2 4 a = − 1 ⋅ ( x − 2 4 a ) ， 即 x + y = 2 2 a . 法 线 方 程 ： y − 2 4 a = 1 ⋅ ( x − 2 4 a ) ， 即 x − y = 0. \begin{aligned} &\ \ \frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{2}{3}})=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{3}}，在点\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a, \ \frac{\sqrt{2}}{4}a\right)处，y'=-1。\\\\ &\ \ 切线方程：y-\frac{\sqrt{2}}{4}a=-1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)，即x+y=\frac{\sqrt{2}}{2}a.\\\\ &\ \ 法线方程：y-\frac{\sqrt{2}}{4}a=1\cdot\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)，即x-y=0. & \end{aligned} dxd(x32+y32−a32)=32x−31+32y−31dxdy=0，dxdy=−(yx)−31，在点(42 a, 42 a)处，y′=−1。 切线方程：y−42 a=−1⋅(x−42 a)，即x+y=22 a. 法线方程：y−42 a=1⋅(x−42 a)，即x−y=0.
3. 求 由 下 列 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 的 二 阶 导 数 d 2 y d x 2 : \begin{aligned}&3. \ 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数\frac{d^2y}{dx^2}:&\end{aligned} 3. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数dx2d2y:
( 1 ) x 2 − y 2 = 1 ； ( 2 ) b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ； ( 3 ) y = t a n ( x + y ) ； ( 4 ) y = 1 + x e y . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ x^2-y^2=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=tan\ (x+y)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=1+xe^y. & \end{aligned} (1) x2−y2=1； (2) b2x2+a2y2=a2b2； (3) y=tan (x+y)； (4) y=1+xey.
解：
( 1 ) 2 x − 2 y d y d x = 0 ， d y d x = x y ， d 2 y d x 2 = y − x y ′ y 2 = y 2 − x 2 y 3 = − 1 y 3 ( 2 ) 2 b 2 x + 2 a 2 y d y d x = 0 ， d y d x = − b 2 x a 2 y ， d 2 y d x 2 = − b 2 a 2 ⋅ y − x y ′ y 2 = − b 2 a 2 ⋅ a 2 b 2 a 2 y 3 = − b 4 a 2 y 3 ( 3 ) d y d x = s e c 2 ( x + y ) ( 1 + d y d x ) = [ 1 + t a n 2 ( x + y ) ] ( 1 + d y d x ) = ( 1 + y 2 ) ( 1 + d y d x ) ， d y d x = − 1 y 2 − 1 d 2 y d x 2 = 2 y ′ y 3 = − 2 ( 1 + y 2 ) y 5 = − 2 c s c 2 ( x + y ) c o t 3 ( x + y ) . ( 4 ) d y d x = e y + x e y d y d x ， d y d x = e y 1 − x e y ， d 2 y d x 2 = e y y ′ ( 1 − x e y ) + e y ( e y + x e y y ′ ) ( 1 − x e y ) 2 = e y y ′ + ( e y ) 2 ( 1 − x e y ) 2 = 2 e 2 y − x e 3 y ( 1 − x e y ) 3 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 2x-2y\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y-xy'}{y^2}=\frac{y^2-x^2}{y^3}=-\frac{1}{y^3}\\\\ &\ \ (2)\ 2b^2x+2a^2y\frac{dy}{dx}=0，\frac{dy}{dx}=-\frac{b^2x}{a^2y}，\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{y-xy'}{y^2}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{a^2b^2}{a^2y^3}=-\frac{b^4}{a^2y^3}\\\\ &\ \ (3)\ \frac{dy}{dx}=sec^2(x+y)(1+\frac{dy}{dx})=[1+tan^2(x+y)](1+\frac{dy}{dx})=(1+y^2)(1+\frac{dy}{dx})，\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{y^2}-1\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{2y'}{y^3}=-\frac{2(1+y^2)}{y^5}=-2csc^2(x+y)cot^3(x+y).\\\\ &\ \ (4)\ \frac{dy}{dx}=e^y+xe^y\frac{dy}{dx}，\frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{1-xe^y}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{e^yy'(1-xe^y)+e^y(e^y+xe^yy')}{(1-xe^y)^2}=\frac{e^yy'+(e^y)^2}{(1-xe^y)^2}=\frac{2e^{2y}-xe^{3y}}{(1-xe^y)^3} & \end{aligned} (1) 2x−2ydxdy=0，dxdy=yx，dx2d2y=y2y−xy′=y3y2−x2=−y31 (2) 2b2x+2a2ydxdy=0，dxdy=−a2yb2x，dx2d2y=−a2b2⋅y2y−xy′=−a2b2⋅a2y3a2b2=−a2y3b4 (3) dxdy=sec2(x+y)(1+dxdy)=[1+tan2(x+y)](1+dxdy)=(1+y2)(1+dxdy)，dxdy=−y21−1 dx2d2y=y32y′=−y52(1+y2)=−2csc2(x+y)cot3(x+y). (4) dxdy=ey+xeydxdy，dxdy=1−xeyey，dx2d2y=(1−xey)2eyy′(1−xey)+ey(ey+xeyy′)=(1−xey)2eyy′+(ey)2=(1−xey)32e2y−xe3y
4. 用 对 数 求 导 法 求 下 列 函 数 的 导 数 ： \begin{aligned}&4. \ 用对数求导法求下列函数的导数：&\end{aligned} 4. 用对数求导法求下列函数的导数：
( 1 ) y = ( x 1 + x ) x ； ( 2 ) y = x − 5 x 2 + 2 5 5 ； ( 3 ) y = x + 2 ( 3 − x ) 4 ( x + 1 ) 5 ； ( 4 ) y = x s i n x 1 − e x . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^2+2}}}；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^4}{(x+1)^5}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=\sqrt{xsin\ x\sqrt{1-e^x}}. & \end{aligned} (1) y=(1+xx)x； (2) y=55x2+2 x−5 ； (3) y=(x+1)5x+2 (3−x)4； (4) y=xsin x1−ex .
解：
( 1 ) l n y = x l n ( x 1 + x ) ， 1 y y ′ = l n ( x 1 + x ) + x ⋅ 1 + x x ⋅ 1 + x − x ( 1 + x ) 2 = l n ( x 1 + x ) + 1 1 + x y ′ = y ( l n x 1 + x + 1 1 + x ) = ( x 1 + x ) x ( l n x 1 + x + 1 1 + x ) ( 2 ) l n y = 1 5 [ l n ( x − 5 ) − 1 5 l n ( x 2 + 2 ) ] = 1 25 [ 5 l n ( x − 5 ) − l n ( x 2 + 2 ) ] ， 1 y y ′ = 1 25 ( 5 x − 5 − 2 x x 2 + 2 ) ， y ′ = y 25 ( 5 x − 5 − 2 x x 2 + 2 ) = x − 5 x 2 + 2 5 5 [ 1 5 ( x − 5 ) − 2 x 25 ( x 2 + 2 ) ] ( 3 ) l n y = 1 2 l n ( x + 2 ) + 4 l n ( 3 − x ) − 5 l n ( x + 1 ) ， 1 y y ′ = 1 2 ( x + 2 ) − 4 3 − x − 5 x + 1 ， y ′ = x + 2 ( 3 − x ) 4 ( x + 1 ) 5 [ 1 2 ( x + 2 ) − 4 3 − x − 5 x + 1 ] ( 4 ) l n y = 1 2 l n ( x s i n x 1 − e x ) = 1 2 [ l n x + l n s i n x + 1 2 l n ( 1 − e x ) ] 1 y y ′ = 1 2 [ 1 x + c o t x − e x 2 ( 1 − e x ) ] ， y ′ = 1 2 x s i n x 1 − e x [ 1 x + c o t x − e x 2 ( 1 − e x ) ] \begin{aligned} &\ \ (1)\ ln\ y=xln\ \left(\frac{x}{1+x}\right)，\frac{1}{y}y'=ln\ \left(\frac{x}{1+x}\right)+x\cdot \frac{1+x}{x}\cdot \frac{1+x-x}{(1+x)^2}=ln\ \left(\frac{x}{1+x}\right)+\frac{1}{1+x}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ y'=y\left(ln\ \frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}\right)=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x\left(ln\ \frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}\right)\\\\ &\ \ (2)\ ln\ y=\frac{1}{5}[ln\ (x-5)-\frac{1}{5}ln\ (x^2+2)]=\frac{1}{25}[5ln\ (x-5)-ln\ (x^2+2)]，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{y}y'=\frac{1}{25}\left(\frac{5}{x-5}-\frac{2x}{x^2+2}\right)，y'=\frac{y}{25}\left(\frac{5}{x-5}-\frac{2x}{x^2+2}\right)=\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^2+2}}}\left[\frac{1}{5(x-5)}-\frac{2x}{25(x^2+2)}\right]\\\\ &\ \ (3)\ ln\ y=\frac{1}{2}ln(x+2)+4ln(3-x)-5ln(x+1)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{y}y'=\frac{1}{2(x+2)}-\frac{4}{3-x}-\frac{5}{x+1}，y'=\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^4}{(x+1)^5}\left[\frac{1}{2(x+2)}-\frac{4}{3-x}-\frac{5}{x+1}\right]\\\\ &\ \ (4)\ ln\ y=\frac{1}{2}ln\ (xsin\ x\sqrt{1-e^x})=\frac{1}{2}[ln\ x+ln\ sinx+\frac{1}{2}ln\ (1-e^x)]\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{y}y'=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{x}+cot\ x-\frac{e^x}{2(1-e^x)}\right]，y'=\frac{1}{2}\sqrt{xsin\ x\sqrt{1-e^x}}\left[\frac{1}{x}+cot\ x-\frac{e^x}{2(1-e^x)}\right] & \end{aligned} (1) ln y=xln (1+xx)，y1y′=ln (1+xx)+x⋅x1+x⋅(1+x)21+x−x=ln (1+xx)+1+x1 y′=y(ln 1+xx+1+x1)=(1+xx)x(ln 1+xx+1+x1) (2) ln y=51[ln (x−5)−51ln (x2+2)]=251[5ln (x−5)−ln (x2+2)]， y1y′=251(x−55−x2+22x)，y′=25y(x−55−x2+22x)=55x2+2 x−5 [5(x−5)1−25(x2+2)2x] (3) ln y=21ln(x+2)+4ln(3−x)−5ln(x+1)， y1y′=2(x+2)1−3−x4−x+15，y′=(x+1)5x+2 (3−x)4[2(x+2)1−3−x4−x+15] (4) ln y=21ln (xsin x1−ex )=21[ln x+ln sinx+21ln (1−ex)] y1y′=21[x1+cot x−2(1−ex)ex]，y′=21xsin x1−ex [x1+cot x−2(1−ex)ex]
5. 求 下 列 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数 d y d x ： \begin{aligned}&5. \ 求下列参数方程所确定的函数的导数\frac{dy}{dx}：&\end{aligned} 5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy：
( 1 ) { x = a t 2 ， y = b t 3 ； ( 2 ) { x = θ ( 1 − s i n θ ) ， y = θ c o s θ . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=at^2，\\\\y=bt^3；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=\theta(1-sin\ \theta)，\\\\y=\theta cos\ \theta.\end{cases} & \end{aligned} (1) ⎩⎪⎨⎪⎧x=at2，y=bt3； (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x=θ(1−sin θ)，y=θcos θ.
解：
( 1 ) d y d x = ( b t 3 ) ′ ( a t 2 ) ′ = 3 b t 2 2 a t = 3 b 2 a t ( 2 ) d y d x = ( θ c o s θ ) ′ ( θ ( 1 − s i n θ ) ) ′ = c o s θ − θ s i n θ 1 − s i n θ − θ c o s θ \begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(bt^3)'}{(at^2)'}=\frac{3bt^2}{2at}=\frac{3b}{2a}t\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(\theta cos\ \theta)'}{(\theta(1-sin\ \theta))'}=\frac{cos\ \theta-\theta sin\ \theta}{1-sin\ \theta-\theta cos\ \theta} & \end{aligned} (1) dxdy=(at2)′(bt3)′=2at3bt2=2a3bt (2) dxdy=(θ(1−sin θ))′(θcos θ)′=1−sin θ−θcos θcos θ−θsin θ
6. 已 知 { x = e t s i n t ， y = e t c o s t ， 求 当 t = π 3 时 d y d x 的 值 。 \begin{aligned}&6. \ 已知\begin{cases}x=e^tsin\ t，\\\\y=e^tcos\ t，\end{cases}求当t=\frac{\pi}{3}时\frac{dy}{dx}的值。&\end{aligned} 6. 已知⎩⎪⎨⎪⎧x=etsin t，y=etcos t，求当t=3π时dxdy的值。
解：
d y d x = ( e t c o s t ) ′ ( e t s i n t ) ′ = e t c o s t − e t s i n t e t s i n t + e t c o s t = c o s t − s i n t c o s t + s i n t ， 当 t = π 3 时 ， d y d x = c o s π 3 − s i n π 3 c o s π 3 + s i n π 3 = 1 − 3 1 + 3 = 3 − 2 \begin{aligned} &\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{(e^tcos\ t)'}{(e^tsin\ t)'}=\frac{e^tcos\ t-e^tsin\ t}{e^tsin\ t+e^tcos\ t}=\frac{cos\ t-sin\ t}{cos\ t+sin\ t}，当t=\frac{\pi}{3}时，\frac{dy}{dx}=\frac{cos\ \frac{\pi}{3}-sin\ \frac{\pi}{3}}{cos\ \frac{\pi}{3}+sin\ \frac{\pi}{3}}=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-2 & \end{aligned} dxdy=(etsin t)′(etcos t)′=etsin t+etcos tetcos t−etsin t=cos t+sin tcos t−sin t，当t=3π时，dxdy=cos 3π+sin 3πcos 3π−sin 3π=1+3 1−3 =3 −2
7. 写 出 下 列 曲 线 在 所 给 参 数 值 相 应 的 点 处 的 切 线 方 程 和 法 线 方 程 ： \begin{aligned}&7. \ 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程：&\end{aligned} 7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程：
( 1 ) { x = s i n t ， y = c o s 2 t ， 在 t = π 4 处 ； ( 2 ) { x = 3 a t 1 + t 2 ， y = 3 a t 2 1 + t 2 ， 在 t = 2 处 。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=sin\ t，\\\\y=cos\ 2t，\end{cases}在t=\frac{\pi}{4}处；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^2}，\\\\y=\frac{3at^2}{1+t^2}，\end{cases}在t=2处。 & \end{aligned} (1) ⎩⎪⎨⎪⎧x=sin t，y=cos 2t，在t=4π处； (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x=1+t23at，y=1+t23at2，在t=2处。
解：
( 1 ) d y d x = ( c o s 2 t ) ′ ( s i n t ) ′ = − 2 s i n 2 t c o s t ， 当 t = π 4 时 ， d y d x = − 2 2 当 t = π 4 时 ， x 0 = 2 2 ， y 0 = 0 ， 切 线 方 程 为 y = − 2 2 ( x − 2 2 ) ， 即 2 2 x + y − 2 = 0 ， 法 线 方 程 为 y = 2 4 ( x − 2 2 ) ， 即 2 x − 4 y − 1 = 0 ( 2 ) d y d x = ( 3 a t 2 1 + t 2 ) ′ ( 3 a t 1 + t 2 ) ′ = 6 a t ( 1 + t 2 ) − 3 a t 2 ⋅ 2 t ( 1 + t 2 ) 2 3 a ( 1 + t 2 ) − 3 a t ⋅ 2 t ( 1 + t 2 ) 2 = 2 t 1 − t 2 ， 当 t = 2 时 ， d y d x = − 4 3 当 t = 2 时 ， x 0 = 6 5 a ， y 0 = 12 5 a ， 切 线 方 程 为 y − 12 5 a = − 4 3 ( x − 6 5 a ) ， 即 4 x + 3 y − 12 a = 0 法 线 方 程 为 y − 12 5 a = 3 4 ( x − 6 5 a ) ， 即 3 x − 4 y + 6 a = 0 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(cos\ 2t)'}{(sin\ t)'}=\frac{-2sin\ 2t}{cos\ t}，当t=\frac{\pi}{4}时，\frac{dy}{dx}=-2\sqrt{2}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当t=\frac{\pi}{4}时，x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}，y_0=0，切线方程为y=-2\sqrt{2}(x-\frac{\sqrt{2}}{2})，即2\sqrt{2}x+y-2=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 法线方程为y=\frac{\sqrt{2}}{4}(x-\frac{\sqrt{2}}{2})，即\sqrt{2}x-4y-1=0\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{\left(\frac{3at^2}{1+t^2}\right)'}{\left(\frac{3at}{1+t^2}\right)'}=\frac{\frac{6at(1+t^2)-3at^2\cdot 2t}{(1+t^2)^2}}{\frac{3a(1+t^2)-3at\cdot 2t}{(1+t^2)^2}}=\frac{2t}{1-t^2}，当t=2时，\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{3}\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 当t=2时，x_0=\frac{6}{5}a，y_0=\frac{12}{5}a，切线方程为y-\frac{12}{5}a=-\frac{4}{3}(x-\frac{6}{5}a)，即4x+3y-12a=0\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 法线方程为y-\frac{12}{5}a=\frac{3}{4}(x-\frac{6}{5}a)，即3x-4y+6a=0 & \end{aligned} (1) dxdy=(sin t)′(cos 2t)′=cos t−2sin 2t，当t=4π时，dxdy=−22 当t=4π时，x0=22 ，y0=0，切线方程为y=−22 (x−22 )，即22 x+y−2=0， 法线方程为y=42 (x−22 )，即2 x−4y−1=0 (2) dxdy=(1+t23at)′(1+t23at2)′=(1+t2)23a(1+t2)−3at⋅2t(1+t2)26at(1+t2)−3at2⋅2t=1−t22t，当t=2时，dxdy=−34 当t=2时，x0=56a，y0=512a，切线方程为y−512a=−34(x−56a)，即4x+3y−12a=0 法线方程为y−512a=43(x−56a)，即3x−4y+6a=0
8. 求 下 列 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 二 阶 导 数 d 2 y d x 2 ： \begin{aligned}&8. \ 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数\frac{d^2y}{dx^2}：&\end{aligned} 8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2d2y：
( 1 ) { x = t 2 2 ， y = 1 − t ； ( 2 ) { x = a c o s t ， y = b s i n t ； ( 3 ) { x = 3 e − t ， y = 2 e t ； ( 4 ) { x = f ′ ( t ) ， y = t f ′ ( t ) − f ( t ) ， 设 f ′ ′ ( t ) 存 在 且 不 为 零 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=\frac{t^2}{2}，\\\\y=1-t；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=a\ cos\ t，\\\\y=b\ sin\ t；\end{cases}\\\\ &\ \ (3)\ \ \begin{cases}x=3e^{-t}，\\\\y=2e^t；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \begin{cases}x=f'(t)，\\\\y=tf'(t)-f(t)，\end{cases}设f''(t)存在且不为零. & \end{aligned} (1) ⎩⎪⎨⎪⎧x=2t2，y=1−t； (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x=a cos t，y=b sin t； (3) ⎩⎪⎨⎪⎧x=3e−t，y=2et； (4) ⎩⎪⎨⎪⎧x=f′(t)，y=tf′(t)−f(t)，设f′′(t)存在且不为零.
解：
( 1 ) d y d x = ( 1 − t ) ′ ( t 2 2 ) ′ = − 1 t ， d 2 y d x 2 = d d t ( d y d x ) d x d t = 1 t 2 t = 1 t 3 ( 2 ) d y d x = ( b s i n t ) ′ ( a c o s t ) ′ = b c o s t − a s i n t = − b a c o t t ， d 2 y d x 2 = d d t ( d y d x ) d x d t = b a c s c 2 t − a s i n t = − b a 2 s i n 3 t ( 3 ) d y d x = ( 2 e t ) ′ ( 3 e − t ) ′ = − 2 3 e 2 t ， d 2 y d x 2 = d d t ( d y d x ) d x d t = − 4 3 e 2 t − 3 e − t = 4 9 e 3 t ( 4 ) d y d x = ( t f ′ ( t ) − f ( t ) ) ′ ( f ′ ( t ) ) ′ = f ′ ( t ) + t f ′ ′ ( t ) − f ′ ( t ) f ′ ′ ( t ) = t ， d 2 y d x 2 = 1 f ′ ′ ( t ) \begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(1-t)'}{\left(\frac{t^2}{2}\right)'}=-\frac{1}{t}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{1}{t^2}}{t}=\frac{1}{t^3}\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(b\ sin\ t)'}{(a\ cos\ t)'}=\frac{b\ cos\ t}{-a\ sin\ t}=-\frac{b}{a}cot\ t，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{b}{a}csc^2\ t}{-asin\ t}=-\frac{b}{a^2sin^3\ t}\\\\ &\ \ (3)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(2e^t)'}{(3e^{-t})'}=-\frac{2}{3}e^{2t}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{-\frac{4}{3}e^{2t}}{-3e^{-t}}=\frac{4}{9}e^{3t}\\\\ &\ \ (4)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(tf'(t)-f(t))'}{(f'(t))'}=\frac{f'(t)+tf''(t)-f'(t)}{f''(t)}=t，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{f''(t)} & \end{aligned} (1) dxdy=(2t2)′(1−t)′=−t1，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=tt21=t31 (2) dxdy=(a cos t)′(b sin t)′=−a sin tb cos t=−abcot t，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=−asin tabcsc2 t=−a2sin3 tb (3) dxdy=(3e−t)′(2et)′=−32e2t，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=−3e−t−34e2t=94e3t (4) dxdy=(f′(t))′(tf′(t)−f(t))′=f′′(t)f′(t)+tf′′(t)−f′(t)=t，dx2d2y=f′′(t)1
9. 求 下 列 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 三 阶 导 数 d 3 y d x 3 ： \begin{aligned}&9. \ 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数\frac{d^3y}{dx^3}：&\end{aligned} 9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数dx3d3y：
( 1 ) { x = 1 − t 2 ， y = t − t 2 ； ( 2 ) { x = l n ( 1 + t 2 ) ， y = t − a r c t a n t . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \begin{cases}x=1-t^2，\\\\y=t-t^2；\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \begin{cases}x=ln(1+t^2)，\\\\y=t-arctan\ t.\end{cases} & \end{aligned} (1) ⎩⎪⎨⎪⎧x=1−t2，y=t−t2； (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x=ln(1+t2)，y=t−arctan t.
解：
( 1 ) d y d x = ( t − t 3 ) ′ ( 1 − t 2 ) ′ = − 1 − 3 t 2 2 t ， d 2 y d x 2 = d d t ( d y d x ) d x d t = 1 2 t 2 + 3 2 − 2 t = − 1 4 ( 1 t 3 + 3 t ) ， d 3 y d x 3 = − 1 4 ( − 3 t 4 − 3 t 2 ) − 2 t = − 3 8 t 5 ( 1 + t 2 ) ( 2 ) d y d x = ( t − a r c t a n t ) ′ ( l n ( 1 + t 2 ) ) ′ = t 2 ， d 2 y d x 2 = d d t ( d y d x ) d x d t = 1 + t 2 4 t ， d 3 y d x 3 = t 4 − 1 8 t 3 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(t-t^3)'}{(1-t^2)'}=-\frac{1-3t^2}{2t}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{1}{2t^2}+\frac{3}{2}}{-2t}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{t^3}+\frac{3}{t}\right)，\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{-\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{t^4}-\frac{3}{t^2}\right)}{-2t}=-\frac{3}{8t^5}(1+t^2)\\\\ &\ \ (2)\ \frac{dy}{dx}=\frac{(t-arctan\ t)'}{(ln(1+t^2))'}=\frac{t}{2}，\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1+t^2}{4t}，\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{t^4-1}{8t^3} & \end{aligned} (1) dxdy=(1−t2)′(t−t3)′=−2t1−3t2，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=−2t2t21+23=−41(t31+t3)，dx3d3y=−2t−41(−t43−t23)=−8t53(1+t2) (2) dxdy=(ln(1+t2))′(t−arctan t)′=2t，dx2d2y=dtdxdtd(dxdy)=4t1+t2，dx3d3y=8t3t4−1
10. 落 在 平 静 水 面 上 的 石 头 ， 产 生 同 心 波 纹 。 若 最 外 一 圈 波 半 径 的 增 大 速 率 总 是 6 m / s ， 问 在 2 s 末 扰 动 水 面 面 积 增 大 的 速 率 为 多 少 ？ \begin{aligned}&10. \ 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6m/s，\\\\&\ \ \ \ \ \ 问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少？&\end{aligned} 10. 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大速率总是6m/s， 问在2s末扰动水面面积增大的速率为多少？
解：
设 最 外 一 圈 波 的 半 径 为 r = r ( t ) ， 圆 面 积 S = S ( t ) ， 在 S = π r 2 两 端 求 导 ， 得 d S d t = 2 π r d r d t . 当 t = 2 时 ， r = 6 × 2 = 12 ， d r d t = 6 ， 因 此 d S d t = 2 π ⋅ 12 ⋅ 6 = 144 π m 2 / s \begin{aligned} &\ \ 设最外一圈波的半径为r=r(t)，圆面积S=S(t)，在S=\pi r^2两端求导，得\frac{dS}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}.\\\\ &\ \ 当t=2时，r=6 \times 2=12，\frac{dr}{dt}=6，因此\frac{dS}{dt}=2\pi \cdot 12 \cdot 6=144\pi\ m^2/s & \end{aligned} 设最外一圈波的半径为r=r(t)，圆面积S=S(t)，在S=πr2两端求导，得dtdS=2πrdtdr. 当t=2时，r=6×2=12，dtdr=6，因此dtdS=2π⋅12⋅6=144π m2/s
11. 注 水 入 深 8 m 上 顶 直 径 8 m 的 正 圆 锥 形 容 器 中 ， 其 速 率 为 4 m 3 / m i n . 当 水 深 为 5 m 时 ， 其 表 面 上 升 的 速 率 为 多 少 ？ \begin{aligned}&11. \ 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m^3/min.当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？&\end{aligned} 11. 注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3/min.当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？
解：
设 t 时 刻 容 器 中 水 深 为 h ( t ) ， 水 容 积 为 V ( t ) ， 因 r 4 = h 8 ， r = h 2 ， 所 以 V = 1 3 π r 2 h = 1 3 π ( h 2 ) 2 h = π 12 h 3 d V d t = π 4 h 2 d h d t ， d h d t = 4 π h 2 d V d t ， 当 h = 5 时 ， d h d t = 4 25 π ⋅ 4 = 16 25 π m / m i n \begin{aligned} &\ \ 设t时刻容器中水深为h(t)，水容积为V(t)，因\frac{r}{4}=\frac{h}{8}，r=\frac{h}{2}，所以V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2h=\frac{\pi}{12}h^3\\\\ &\ \ \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4}h^2\frac{dh}{dt}，\frac{dh}{dt}=\frac{4}{\pi h^2}\frac{dV}{dt}，当h=5时，\frac{dh}{dt}=\frac{4}{25\pi}\cdot 4=\frac{16}{25\pi}\ m/min & \end{aligned} 设t时刻容器中水深为h(t)，水容积为V(t)，因4r=8h，r=2h，所以V=31πr2h=31π(2h)2h=12πh3 dtdV=4πh2dtdh，dtdh=πh24dtdV，当h=5时，dtdh=25π4⋅4=25π16 m/min
12. 溶 液 自 深 18 c m 、 顶 直 径 12 c m 的 正 圆 锥 形 漏 斗 中 漏 入 一 直 径 为 10 c m 的 圆 柱 形 筒 中 。 开 始 时 漏 斗 中 盛 满 了 溶 液 。 已 知 当 溶 液 在 漏 斗 中 深 为 12 c m 时 ， 其 表 面 下 降 的 速 率 为 1 c m / m i n 。 问 此 时 圆 柱 形 筒 中 溶 液 表 面 上 升 的 速 率 为 多 少 ？ \begin{aligned}&12. \ 溶液自深18cm、顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液。\\\\&\ \ \ \ \ \ 已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min。问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？&\end{aligned} 12. 溶液自深18cm、顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液。 已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速率为1cm/min。问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？
解：
设 在 t 时 刻 漏 斗 中 的 水 深 为 H = H ( t ) ， 圆 柱 形 筒 中 水 深 为 h = h ( t ) . 1 3 π 6 2 ⋅ 18 − 1 3 π r 2 H = π 5 2 h ， 因 r 6 = H 18 ， r = H 3 ， 所 以 1 3 π 6 2 ⋅ 18 − 1 3 π ( H 3 ) 2 H = π 5 2 h ， 即 216 π − π 27 H 3 = 25 π h ， 两 端 求 导 ， 得 − 3 27 π H 2 d H d t = 25 π d h d t ， 当 H = 12 时 ， d H d t = − 1 ， d h d t = 1 25 π ( − 3 27 π H 2 d H d t ) = 16 25 c m / m i n . \begin{aligned} &\ \ 设在t时刻漏斗中的水深为H=H(t)，圆柱形筒中水深为h=h(t).\\\\ &\ \ \frac{1}{3}\pi 6^2\cdot 18-\frac{1}{3}\pi r^2H=\pi 5^2h，因\frac{r}{6}=\frac{H}{18}，r=\frac{H}{3}，所以\frac{1}{3}\pi 6^2\cdot 18-\frac{1}{3}\pi \left(\frac{H}{3}\right)^2H=\pi 5^2h，\\\\ &\ \ 即216\pi-\frac{\pi}{27}H^3=25\pi h，两端求导，得-\frac{3}{27}\pi H^2\frac{dH}{dt}=25\pi \frac{dh}{dt}，\\\\ &\ \ 当H=12时，\frac{dH}{dt}=-1，\frac{dh}{dt}=\frac{1}{25\pi}\left(-\frac{3}{27}\pi H^2\frac{dH}{dt}\right)=\frac{16}{25}\ cm/min. & \end{aligned} 设在t时刻漏斗中的水深为H=H(t)，圆柱形筒中水深为h=h(t). 31π62⋅18−31πr2H=π52h，因6r=18H，r=3H，所以31π62⋅18−31π(3H)2H=π52h， 即216π−27πH3=25πh，两端求导，得−273πH2dtdH=25πdtdh， 当H=12时，dtdH=−1，dtdh=25π1(−273πH2dtdH)=2516 cm/min.