，由中国科学院科学传播局、中国科学院物理研究所、抖音主办在北京举行。
，从一元二次方程到规范场论现场讲座受邀担任现场主持人。
点击下面的链接下载曹先生的演讲PPT：
https://bytedance.feishu.cn/docs/doccnvNNYumJ2uAKjlBM8B3AeOd
亲爱的朋友们，在谈到相对论和量子力学之后，我想说的是，我们应该高级谈论标准场论，但去年透露这样一个话题，有些人说不，太难了，你能说一些简单的话。
加法你说学会了，我告诉大家门都没有；我提醒大家一句，乘法在1844年格拉斯曼《扩展的学问》这本书里面，提供了16种不同的乘法。我不知道许多人听过过吗，乘法有这么多种乘法？所以加减乘除要排除，实在太难了。
所以，如果要选择一个简单的一元二次方程，可以看看题目下面的洋文——De Equazione Algebrica zur Eichtheorie前半部分是意大利语，后半部分是德语，因为一元三次方程和一元四次方程发展在意大利，标准场论来自德语，德国、瑞士和奥地利。我提醒你，在我们所学的物理学中，流体力学和标准场论来自一个非常小的国家。这个国家叫瑞士，稍后会告诉你细节。
今天的讲座，我希望花2-3个小时清楚地从一元二次方程，我们错误地认为这是最基本的地方，如何一路走到标准场论理论和物理的上限。这样安排我的讲座，真的受到了我朋友的批评，说我的讲座的主题特别不友好，为什么我这么不友好？我想是因为今天，我们，尤其是我看到了十几岁和二十岁的年轻朋友。我想我们再也不能像我这一代人那样上小学、中学和大学了。突然有一天，我们明白我们什么都没学到。这不能再有了。我希望我们的年轻朋友能尽快接触到真正的知识和深刻的知识。
我很高兴看到，今天我们国家已经进入了一个科学深入人心的时代。
今天，一个刚上学的孩子知道他不会被科学欺负。在今天的国家发展过程中，他知道我们没有掌握顶尖技术，也没有掌握顶尖技术下深刻的数学和物理知识知识。所以今天我们应该学好科学。
这个过程当中我们可能也要学科学家，我们学科学家什么呢？我们应该学科学家是如何学习与创造的，说句大白话，就是今天真要学习的话，吃鸡腿，不要喝鸡汤。
我们都知道，现代科学发展的基础是数学语言，这在我们的数学书中是一个不太提及的人，意大利斐波那契(Fibonacci)。他是一个商人的孩子，他在1202年创作了印度阿拉伯人的一套字母，即0123456，我们现在都称之为阿拉伯数字，
所以我提醒我们中小学教育必须教三种基本语言，无论是纯数学欧拉公式，这是最美丽的公式，没有一个，或库伦公式，元素包括阿拉伯数字、拉丁语字母、希腊字母，这些西方科学在明清，我们试图用中文写，如果你看到中文写矩阵组乘法，你不知道这一页是什么，这极大地阻碍了科学的传播。
刚才说的是一开始，我们很快就会学到最深刻的东西。在这里，我必须提到一位非常受人尊敬的绅士，他刚刚过了一百岁。很多人在短视频中说，杨先生最引以为傲的成就不是1953年获得诺贝尔奖的宇称不守恒，而是1954年Yang-Mills，这是第一篇非阿贝尔规范场论的第一篇文章。这是什么意思？我以后再谈。我想说什么？
所以今天我的报告大概就是有这些内容的，
从最基本的一元二次方程到本地逻辑的链条或逻辑步骤，我将向您解释清楚。
总之，我们注意到中小学教师经常教孩子们记住知识点，但如果知识点分散，他们就不记得了。知识就像蚱蜢。你必须把它串成一串。有人说我听不懂。我不知道我的在线朋友是否有时会转身离开。我想说不要担心。请坚持听。我坚持站着说三个小时。你不能躺着刷三个小时的手机吗？所以请有耐心。我不能保证你能理解这里的内容，但我会尽力激励你今天听到的。这次讲座是人类向思想家致敬的顶级之旅。不懂内容没关系。
或者回答主持人问的问题，为什么总是谈论不友好的问题，为什么谈论如此困难的数学和物理？这是因为我已经学习了将近50年，我深深地觉得我们应该学习一些数学和物理，作为一个受人尊敬的国家，我们应该努力为人类贡献一点数学和物理。关于这样一个问题，中华人民共和国成立领导人毛主席在1942年延安文艺研讨会上发表了明确的讲话，中国人民应该为世界文明做出应有的贡献。
我个人认为言，我认为数学和物理的历史主要是由一些天才的头脑创造的。中国有14亿人口基础，约2亿青少年。他们中不能缺少特别有才华的青少年。我特别想提醒他们，作为一个非常聪明的青少年，尤其是天才，没有创造，天才是不可原谅的，所以我提醒有才华的青少年朋友，不要浪费你的才华。
什么天才？我们学习这个角色，比如现代科学之父和物理之父伽利略。众所周知，牛顿是瑞士科学之神欧拉。
数学应该学多少？还是什么样的人是数学家？但这是一个必要的条件，就是一个人在睡梦中被踢醒，一定要知道庞加莱引理是什么。
回顾我们在大学里学到的所谓物理，它们实际上总结在这些公式中。例如，这很简单，下一步力学发展到这个方程，叫做，再往上到，如果这样的方程被改造，波动解就会得到。这是，未来电磁学和量子力学的结合将会有。这是第一次工业革命最基本的公式，被称为。了解人类第一次工业革命的公式。
从，假如大家都没有耐心听，看这张图就能明白它说了什么。
从这是解方程，解三个方程不会解决，会让你不得不介绍，然后就有了。接下来就有、，这就是数学的发展。五个方程是不可解的，准备好这些数学后，学物理很容易。会用到，学用这里的。
这里有一件事叫做微分几何。学习微分几何和群体理论后，学习相对论很简单。学习了群体理论、微分几何、电力力学和量子力学后，标准场论。逻辑关系非常清晰。我再次强调，我们在大学读研究生不懂这些课的原因是他没有教他们相应需要的数学和物理基础。我们的教科书有一个特别糟糕的印象，给人一种误解，即知识只是这些书的内容，但事实并非如此。
从一元二次方程到规范场论有哪些内容？现在你知道加法不容易了。接下来，当有复数时，你会发现复数不仅仅是我们学到的a bi，
当我们用群的语言讨论为什么代数方程不可解时，这个地方涉及结构和表达，当我们学习标准场论时，我们会发现它过是微分二次型和一次型，和如何解一元二次方程是一回事，结构上是相同的，这就提示我们，这些才是数学最威猛的地方，也是让你理解物理和发展出物理的地方。
今天学两个关键词：
第一个词儿叫，这个可能比较简单，如果大家喜欢打牌的话，拿一手牌换一种放法，这就叫置换。置换是今天的主题，比方说这是123456，你把1换成4，2换成3，3换成2，4换成5…得出123456另外一种排列方式，这是置换比较好理解。
第二个要学习，交替特别重要，这是三维空间里面的多边形，关于多边形有一个欧拉定理，顶点数V减去边数E，加上面数F，减去体数S，体数S始终等于1，所以这个公式应该是V-E+F=2，其实我把它写成V-E+F-S=1。
大家看这个地方涉及到的不是减号，还是加号，只是加上一个负的东西，前面的符号是加减始终交替出现，交替这个东西非常重要，而这个地方作为几何对象，几何对象没有顶点数减边数，。大家想想如果绕着小公园遛一圈，你当时就明确路径有取向，可以顺时针绕，也可以逆时针绕。学几何的时候，几何里面从来没有教大家几何有取向。
明白这个道理的时候现在开始学方程，许多人以为会，让我们看会到哪。一般的一元二次方程写ax2+bx+c=0，这里a、b、c可以是整数，如果不要求a、b、c是整数，其实就应该是这样一个方程，，也就是说这里参数只有b、c两个。
老师教大家配平方就能够得出两个根：
根号下得出这一项，如果b2-4c大于0，开根号，就得出两个根；如果b2-4c小于0，我们叫方程无解，就是它不合理，或者说我不懂我不知道该怎么办。这时候许多人会误以为说b2-4c根号下是负的，可以利用：
我们在中学里面学过，老师教过，我想说的是你想多了，人们解一元二次方程的时候遇到根号下是负的，因为不了解，不了解哪个数平方等于负，所以说直接取无解，这是最合理的做法。
这个地方你会注意到什么呢？注意到这个地方有b2-4c，它是判别式，它到底是什么意思？我们不解具体方程，把求的方程两个根，x1，2要表示成x1+x2和(x1+x2)2-4 x1x2，这是什么意思？在解这之前，大家肯定觉得这个方程太简单了，老师也给出解法了。
我现在告诉你，事情没有那么简单，不仅关于这个方程一般理论一元二次方程你还没有学，就是特殊的挑几个例子，这几个数学你大概都没有学过，解x2-x-1=0的方程，这个方程的根等于：
这个数就是，它和10次转动有关。
x2-2x-1，它的根：
这是，和8次转动有关系。而x2-4x+1=0，它的根：
是，和12次转动有关。
随便挑出一个黄金分割数能够有多少内容呢？关于黄金分割数我知道的至少有三本专业的杂志，，最早的Fibonacci季刊专门发表有关黄金分割数的内容，这个杂志已经发行了一百多年了，请同学们再想想，你还敢说你会吗？这本杂志你随便看哪页都不懂，而这仅是关于特殊的一元二次方程一个根的故事。
现在深入研究一下一元二次方程，把一元二次方程改成x2-bx+c=0，为什么这么改呢？这
我们用几何法研究方程如上图所示，做一个直径是b的圆，从底下点A做一个切线段，切线段长度是c，如果b2-4c>0，就是说c比较短，
如果c再大一点，使得b2-4c=0，垂线RT与圆相切，只有一个接触点，这个方程只有一个根。这个地方又遇着了数学书里面一个错误概念，当b2-4c=0的时候，是这个线刚刚搭上去，只有一个交点，汉语把它翻译成相切，不对，这不叫切，这是刚摸着、碰着，而不是切，这就是我们为什么老学不会的问题，这是一个错误的概念。
现在回到刚才提到的b2-4c<0的时候是什么样的，说明c比较长，从这里做垂线不与圆相交，刚才说b2-4c<0没意义，好像有意义了。有人肯定要说怎么错过去叫有意义呢？
我给你举一个英语课上的例子，什么是错过是有意义的。这是我们常见的表达，我想你。大家还记得英语i miss you，miss就是错过。不管是英语i miss you还是法语Tu me manques，是我错过你，我错过你才想你，错过是有意义的。所以这告诉我们b2-4c<0是有意义的，但是什么意义，别着急，我们等待接下来的讲解。
我们看研究x2+bx+c=0这个方程，你会注意到，如果一个方程有两个根的话，永远可以把方程写成的形式，这才是一元二次方程。
你会发现这里的符号很有意思，就是+、-、+、-，交替出现了，请大家记住交替是重要的东西。由以上可知，。我从 x1+x2和 x1* x2，就一定能得出 x1-x2。有了x1+x2和 x1-x2，就可以得出 x1、 x2各自的表达式。于是我们知道一个方程根 x1、 x2应该由它本身来表达——
请记住不是加减，是正负，代数方程里面没有减法，请同学们一定记住。
这个方程就很有意思了，很多人不明白这个道理，你看我求的方程是两个根，怎么用它本身来表达，你在绕我吗？不对，这个道理我是没弄明白，我发现金融界的人士就明白了，他们用明天可以挣到钱，在今天挣你的钱，这个哲学可重要了。
如果大家再不明白这个道理的话，就是参照一下金融行业人员，他们一直都是这样干的，用他们明天才会拥有的钱，今天来挣你的钱，只有这样的话我们才能理解金融学，我们也才能理解什么是一元二次方程，这些东西没教，不着急，接下来往下说。
x2+bx+c=0，到底是一个什么样的方程呢？其实我们注意到就是x2=c1、bx=c2。大家可能会有疑问加法与乘法有什么兼容的问题？比如说数学里面最难的费马大定理，xn+yn=zn，这就是一个乘法与加法相融的问题。当n大于等于3的时候，你找不出整数x、y、z，使得这样的算式成立。也就是说当n大于等于3的时候，这里面的乘法加法不相容。。
既然这样的话，我们来看，我们来理解x2=c1这个问题，c1这个数只有两种可能，要么是正数，要么是负数。
这两个世界是怎么回事？或者我们来看物理的看x2+bx+c=0这个方程是什么样，我把x理解成距离，x移动b/2，把它改造成x2=c1的问题。然后，两边同除c1的绝对值，就变成x2=1的问题。
所以，一元二次方程说到底就是要解x2=1的问题，也就是说一元二次方程所有的内容，是让你理解加法与乘法怎么凑到一起，当然x2=1你理解了，问题就剩下x2=-1是怎么回事。
再看一元三次方程，物理情景很少有，将来大家上到大学物理的时候会求矩阵本征值。
一元三次方程怎么解呢？书里面有这样的表达式：
公式不太好记，我特别反对写数学公式脑子里面没有物理图像，所以我始终记为：
因为这时候你就知道，而不是随便写27，27你觉得可以写成26，不对，他是3的3次方，而。
这个方程怎么解呢？我们知道x3+px+q=0，也就是说有p、q两个自由参数。为什么题目一开始用意大利语呢？因为这些学问一开始都是意大利人先做的，一位意大利人Cardano给出这样的解法，假设我的方程解是：
将其代入方程，可以得出另一个方程：
我可以分别令：
消元可以得到：
这个方程是一元二次方程，而一元二次方程我是会解的。
这就是一般书上的一元三次方程根的表达式。我们仔细看一下根表达式里面就有故事了。第一，始终是根号套根号的表达；第二，表达式中1，ω，ω2是x3=1的根。你解一元三次的根要用到x3=1的东西，以及根号套根号，这是我们要记住的，里面包含的内容。
对于x3你会发现很有意思，刚才说x2=1很好理解，x2=-1是什么还不知道。但是你发现x3=1，与x3=-1，没有什么隔阂。因为你只要将x替换为-x，这两者就是一回事。所以x3=1和x3=-1，没带来什么困难，这好像是世界又值得留念了，但是不对，我们继续往下看。
如果设x=u+v也可以，还是这样的一套方法，就可以得出它的解。
但是问题是这么约化都好使吗？你会发现不太好使，为什么呢？解一元三次方程的时候出事了。大家看解一元三次方程的时候，我们有公式，把具体方程的p、q带进去，经常会遇到根号下等于负，刚才说的解根号下是负的，不合理，不存在，扔了就完了。可是解一元三次方程遇到根号下是负的，麻烦了，为什么？我们不能扔下了。
我们看这个方程x3-15x-4=0，我们都知道，有一个根x=4，分明是有解的。可是将p、q的值代到表达式里面就变成了：
这怎么办？憋了很久的时间，到了1572年的时候L’Algebra说实在没办法了，就接受它的存在，我们假设他是有意义的，到底什么意义，我们不知道，我们就假设它是有意义。我们闭着眼睛往下算，怎么算呢？
你会发现：
两项相加抵消后等于4，你看，根出来了。也就是说请大家记住了，我们接受根号下负数这个东西不是我们愿意接受，是它把我们逼得没办法了，万不得已我们才接受下面是负数的存在。
接下来有人去解一元四次方程，一元四次方程哪儿有呢？倒是经常遇到，你看椭圆轨道与双曲轨道，前两天大家知道空间站被人碰瓷了。
一元四次方程怎么解，就是硬配平方，假设两边都能配成平方的话，得到一元三次方程的条件，这好办了，一元三次方程我会解了。我解一元三次方程，回头就可以解一元四次方程，这样的话，我们大家都知道了一元二次方程、一元三次方程、一元四次方程都会解决。
人稍微有一点成就就怎么样，就膨胀，那人类一定会解五次。所以有人就去解五次方程，但是你如果稍微头脑清晰的话，你应该分析一下刚才的一元四次方程解是怎么行的。这儿出现一个大神Lagrange，他研究一元四次方程的时候发现，假设四个根，x1、x2、x3、x4，可以凑成这样的一个四个表达式，这是对称式：
而这个表达式，如果我们数学学的多，一定会和中国古人联系在一起，就是我们老祖宗，你发现这里面杨辉三角出现了。
我们知道了这样的一个对称表达式，如果我再用根组合成别的表达式：
这个方程就能够倒回来与这个方程距离系数c、d、e联系在一起，我就能解出s1，s2，s3，s4这四个数，与四个根是线性联系的，就可以得出来四个根。
这个大神太厉害了，给我们留下了很多的书，比如说关于代数方程的思考，因为他发现代数方程里面的学问太大了，还有算术研究，还有分析力学请大家记住，这是大学物理系都要学的学问，分析力学又叫Lagrange力学，这本书太经典了，我曾经开玩笑发誓将来有空把它翻译出版了，穿着红色高跟鞋绕物理所跑一圈。
这本书实在是太经典了，为什么呢？从我们人类历史上从数学与物理角度来说，绝对是大神级的人物。而且也是牛顿之后唯一的一个白纸黑字表达出对牛顿不服气的人。他是这样说的，牛顿当然是最伟大的天才，但是人家也是最幸运的，为什么他是最幸运的？因为构造世界体系这件事情只能干一次。那意思就是如果当初牛顿不干的话，我也把它干出来的，多大点事情。这是白纸黑字有记录，对牛顿不服气的，这是唯一的一个人。
我们再看一眼一元四次方程的表达式，对称多样性的表达，你看它的符号，比如说表述成“-b+c”“-d+e”，又是正负、正负、负正、负正交替，始终与交替有关系，你用这样的一个四个根来凑别的帮助解的方程的时候，这种结构未来有群的结构。
四次方程不管怎么着，反正是可以解，因为我现在不知道到底哪个场合会出现一元五次方程，所以我认为一元五次方程怎么解，肯定是人吃饱了撑的的结果。
努力去解的时候发现不对了，英国人有一个人叫Bring，有能力把一元五次方程的4次方、3次方、2次方项都消了，能表达成x5+px+q=0。你如果把x项都消了，这个解就有了，但是这一步根本过不去。
Euler发现方程写成x5-5px3+5p2x-q=0的形式的时候可以找出一个解，。所以这个事情忙活了100多年的时候，人类有一天突然服气了，一元五次方程是不是没有解？差不多到18世纪末的时候，像法国人Vandermonde与Waring就怀疑了，
Lagrange拣起这样的思想，才去写代数方程的书，才理解方程的结构，他认为方程可解不可解，找到某种方程根的置换不变的函数。你看这里面又隐含着一个思想，就是我们数学书里面从来没有告诉我们，当我们解一个方程，这个方程有几个不同的根，如果你不知道根等于几的时候，。比如说方程里面有一个根，一个是4，一个是3，许多人很容易误解4大于3，但是就这个方程本身来说，如果3、4都是这个方程的根，是一样的，是等价，我们没有这个思想。
你看Lagrange有这样的思想，就认识到代数方程的一般形式就是,要从他的角度来理解到底有几项的时候这个是有解的。但是你要证明一个方程有解容易，找到一个解就行了，就像证明天鹅不都是白的，你要逮着一只黑的就行了，可是如果你要证明天鹅是白的，你不管逮出多少只天鹅，都不能证明天鹅是白的。所以证明这个方程也是，就是你证明它有解容易，只要搞出一个解就行了，但是证明无根式解就特别难了。
这个难从理论上研究，发现所有方程形式应该是，连乘的形式，你把它展开这就是Lagrange展开的形式，展开对象就有(-1)i的问题，i等于奇数的时候等于-1，i等于偶数的时候就等于+1，所以这就是为什么始终有正一负一交替的问题，这也是出现交替群要理解的原因。
这是一个未知数和根的差，如果把不同的根之间的差乘起来，再平方，这就是所谓的判别式，就是一元二次方程里面学到的两个根值差平方问题，所以把它扩展到一般情况下。扩展到一般情况下，Lagrange突然明白为什么五次方程不可解，为什么？他把一个可能的方程根和xn=1方程的根给做成这样一个组合：
把这个地方的根，x1、x2、x3互换，看互换以后有多少结果，他发现非常有意思，对于二次方程把2个根有两种互换得出一个值，也就是问题变简单了，这可以解。一元三次方程有3个根，有6种置换，但是只有两个值，就是3变成2了。一元四次方程，4个根有24种置换，但是只能得出3个值，所以也是简化了。
但是5次方程就麻烦了，5次方程5个根，有120种置换方式，结果得出24种值，事情变复杂了。这个提醒大家有一个非常重要的东西，就是所有的事情比方说某件事情牵扯到数量增加的时候，会逐渐变得复杂。
讲一个简单的例子，别人请客吃饭你去了，你去了没有问题，人家请你了，你说对不起今天还有一个朋友一起来，也想认识你，说能不能一起来，一般情况下也行，但是带两个朋友，人家咬牙忍了，但是带三个朋友四个朋友一定这事儿不行了。所以对于方程，二次行，三次行，四次行，到五次事情变复杂了，变复杂了就不能解了。
所以有人开始研究它的不可解理论，1799年意大利人Ruffini写了516页的代数方程理论说不行，但是大家不理他，为什么？因为证明太长了，516页，审别人数学论文这是太苦的一件事情，没有人干。
1824年挪威人Niels Abel，大家记住这个名字，这个名字非常重要，证明五次代数方程通用根不存在，但是因为他太年轻，没有名气，被人家不得不要求将论文修改简单，最后这个论文才6页，中间就有缝隙，在生前也很难被认可。但是大家都知道了，今天我们有，说基于五次以上的一般多元式方程没有根式解，不能表现成根式套根式的解。
真正解决这个问题的是谁解决的呢？是一个法国的数学家天才叫做伽罗华，他证明了一元五次方程没有解。但是大家看他有多惨，1830年解决这个问题，1832年去世，他这个论文提交法国科学院，被法国大科学家弄丢了，他去世14年的时候他的成果才有人帮他发表出来了。所以作为天才你们一定要有心理准备，要承受这样的命运。
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这个理论出来以后，数学也好，物理也好，有时候就是一层窗户纸，重要的是捅破窗户纸的那个人，窗户纸一旦捅破了，这个理论就会迅速发展。1870年的时候一个法学数学家Camille Jordan就写出了这本很著名的书《论置换与代数方程》，后来欧洲数学家里面年纪轻轻有成就的基本都会读这本书，我甚至有一个建议，这本书一定要进到中学里面成为中学教材。
我们提到刚才的天才伽罗华，伽罗华1830年解决一元五次方程不可解的问题，请他看出生于哪一年，他出生于1811年，他引入“群”解决问题的时候才19岁，还没有考上大学呢，但是到1834年的时候小伙子因为某些事情要和别人决斗，决斗前一天晚上匆匆忙忙写了一堆乱纸，这是人类文化史上最重要的一页，一堆乱麻。
用他自己话说是他希望将来有人能够看懂，并且他请求他的弟弟，这些乱纸不要交给法国科学家，交给德国数学家，不要问他们我解的对不对，只要问他们我干的值得不值得。这小伙子给别人决斗，又不会决斗，结果在菜地里被人一下撂倒了，被伤了以后躺在菜地上，第二天早晨他弟弟才找到他。
除了请别人破解他的乱码，特别著名的就是“我没时间了”，当他弟弟把他送往医院的时候，他说了这句特别伤感的话，说弟弟你别哭，我在20岁上死去用尽了我所有的勇气，这是一个天才的陨落。
当然在法来西这个国家也是特别盛产天才，1832年至少陨落了三位天才，都是数学家，第一个是破解了A级黑色罗塞塔石碑的语言学家Champollion，第二个是奠定了群论21岁去世的Galois，第三位是1832年去世的热力学奠基人，写出热力学第一篇文章的 Sadi Carnot。
关于这个问题我特别有感慨，我想说什么呢？就是如果一块土地长不出天才的土地是尴尬的，但是长出了天才也要敬重，要让天才存在下去。我想说的第二句容不得天才的人群是猥琐的，特别希望我们的社会未来在每一个局域的小环境都能够形成一个容忍我们身边天才成长的小环境，让我们未来的青少年中间能够出现真正的给中华民族带来荣光的天才。
现在回头看代数方程的事情，，用的就是刚才这位小伙子得出的群论，所以这条理论就叫。
但是比较好理解，我给大家念一念，一般n次多项式伽罗华群是置换群Sn，置换群最大的正规子群叫做交替群，交替就很重要了，这样一直做它的最大正规子群一直往下，要求合成列中的指数始终是素数，2、3、5、7、11、13这样的数。如果是这样的数，就称这个方程可解。
从这个道理可看四次方，它的置换群是12个元素，这儿的A4置换群最大正规子群是四个元素，12÷4=3这是素数，所以这个方程可解。可是如果n大于5就麻烦了，交替群An总是简单的，也就是说它的子群只有一个，元素数等于1，An这个数非常大，是一个偶数，是一个大的偶数，肯定不是素数，证明一元五次方程不可解。没有关系，一般听众不需要知道这些。
俄罗斯，我作为一个学物理的，学一点点数学的人，这一位特别帅气的大神阿诺尔德是绕不过去的，你看到1963年的时候，人家这样的一个数学大神竟然还研究x2+bx+c=0。人家从哪个角度研究的呢？，什么叫拓扑学研究呢？他说我现在我当然知道B和C可以当做复数，复数的话是可以表现为平面一点，所以说在平面上选择一点代表B和C的话，那么相应地在另外一个复平面就有两个根x1、x2。这个没问题，他说我发现有一个问题，如果我改动一下B。怎么改动呢？就是绕一个小圈子回到原来的地方，那么这个C也改动一点绕到一个地方。那么大家知道这个BC如果有点改动的话，那相应地两个根应该有一点变动，这可以理解，他发现如果我这两个参数绕一个小圈子的时候，这两个根绕一个小圈子也回到自己那个地方，这个比较合理。他说但是如果BC自己绕的圈子大了，发现这边出的是x1变成x2，x2变成x1了，这叫置换。也就是说这个地方的参数，就是这个方程这个系数仅仅是走了一段路，走的路就是离家远了一点，绕的圈子大了一点，造成了两个根之间的置换。他说这个地方可能会告诉我，这个就能提供代数方程的一般理论。
所以他从这个角度就证明了：一元五次方程为什么不可解呢，就是因为他发现这个两条路径的乘积再倒过来走，倒过来走就相当于回家嘛。就是这样的一个闭合路径，他用这个证明发现一元五次方程的五个根有120个置换，这120个置换就有120×120的这个表达式，叫对易式。他发现120×120个对易式里面有60个还是原来对易的结果，也就是说求这个地方对易的根的时候，要求你的根式套一个根式。可是这60个置换操作，再用60×60去求它的表达式，还是这样表达式。也就是说如果对应根，你用根号下表达的数，外面得再套一层，结果就陷入一个死胡同了。如果这个根要用根号表示的话，就得根号套根号套根号，就套到无穷了。
。大家看看一点：都说数学家聪明，数学家总是坐在桌子前面冥思苦想，大家看看算120×120个这样的对易表达式，大家想象一下得多辛苦。所以说今天也借此，向我们的社会，尤其向管理科学的领导们指出一个事实：科学家首先是个体力活儿。大家千万别误以为科学家光是聪明，科学家首先是一个体力活儿。
一元五次方程既然有人说不可解了，当然总有人不服气，说一定是可解的。英国科学家有一个叫杰拉尔的，写论文说一元五次方程一般可解。结果爱尔兰的著名数学家哈密顿给他审这个文章，花了一晚上给出报告说认为这篇方程很聪明，但是没有解。没有解让提交文章的杰拉尔很生气，又写了一篇文章，干脆说我不仅能解一元五次方程，我能解一元任意次方程的解。结果这个论文又交到哈密顿手里审稿了，结果可能把哈密顿给惹着了。结果大家看什么叫神人，什么叫科学家，首先是体力活儿。哈密顿在1836年5月31号这一天，给这位杰拉尔用笔写了124页的长信，这一天用笔写出124页的审稿意见。告诉他你这个方法是错的，是不对的。
那么为什么哈密顿能够评价这个问题写了124的页长信告诉他这个不对呢？是因为哈密顿本人也研究一元五次方程，也有专门的专著研究一元五次方程。这个哈密顿，叫做威廉·卢云·哈密尔顿，请大家记住，这是我们这个世界上产生的一个最珍贵的名字，这个名字比牛顿这个词儿更珍贵。这是唯一的一个在这个世界上任何一个时刻都有人在输入的名字。就是哈密顿这个姓，是这个世界上任何一个时刻都有人在书写这个名字的，这就是因为他。这也是我们学数学、学物理都绕不过去的一个人。那么这个事情的感慨，就是说一元五次方程不可解，为什么有人还要研究这个问题呢？就是我提醒大家的一件事情：这又让我想起了我们的许多基金申请，赌咒发誓说这个事情可行，这个事情有意义的。好像不对。做明知不可能的事情会有大收获。就是做不可能，你要怎么证明它的不可能，不可能里面往别的方向要蹚出路来，这也是做科学的一个很重要的方式。
我们既然说一元五次方程没有一般的解，但并不表示一个特殊的一元五次方程没有解。所以说对于一个特殊的方程怎么解，还是要有人在做这件事情。比方说给大家举个例子，这个方程的解表达成这个样子:
再举个例子，这个方程x5=2625x+61500它的解表达成这个事情；
你看这些具体的解都不容易。还是那句话，请大家一定要记住：
那么这个地方，同样是解方程，解方程的层次可就不一样了，这个大神来自德国哥廷根的一个大神Felix Klein。他专门的一本书研究一元五次方程，但是他把这个一元五次方程的解和正三角形组成的正二十面体具有五次对称性的这个几何联系在一起了，然后这个尝试就会带出一门新的学问。待会我们会知道，后来当有一天我们的科学家在研究团簇、研究碳60、碳72、碳74的时候，突然发现人家这个学问早就准备了。
还有人更神，他不仅研究一元五次方程，研究一元六次方程，他研究。这是谁呢？就是来自瑞士那个小镇子的欧拉。他研究一元无穷次方程，什么意思呢？他说一元无穷次方程应该表达成这样，f(x)=(1-x/ x1)(1-x/x2)…，一直乘下去。大家看：你取x=x1的话，那么第一项等于0，这个方程就等于0，这就成立了。你看多聪明，我看这个我就感慨我怎么没有想到。
那么按照刚才的表达式，这个1/x1+1/x2+…+1/xn加起来，就等于我们的方程中一次的x的系数，这个没有问题。他说我现在给你举个例子，举个什么例子呢？由sin√x除以√x，得出的这样一个代数方程，就是1-x/3!+x2/5!-x3/7!…这就是无穷多次方程了，对不对？无穷多次方程要让它等于0呢，这就是x根。让这样一个sin√x等于0简单，只要√x等于nπ，这个表达式就等于0，也就是说nπ一定是这个方程的解。所以说用这个表达式1/x1+1/x2+…+1/xn呢，就等于-(1/π2+1/4π2+1/9π2+…),就等于x这一项的系数。这一项是1/3!就等于1/6。两边同乘以π，结果就能得出来1/12+1/22+1/32+1/42+…，一直加到无穷大，等于π2/6，而这个竟然是。他的老家就是巴塞尔。
请大家记住这个瑞士的小镇巴塞尔，贝努里家族是我们学数学学物理人的一个噩梦，因为你当写出一个贝努里方程的时候，你不知道这个贝努里是他爷爷是爸爸这一辈还是他孙子这一辈的，你也弄不清他是哪个贝努里。欧拉的爸爸是和贝努里家族交好，他投的是贝努里家族中约翰贝努里的门下，所以才年纪轻轻就成名的。这个点再再地提醒我们大家记住：天才是天生的是没错的，天才的第二步就是一定要遇到好老师。
那么我想看欧拉，不是我感慨了，很多人都感慨。有一本著名的书就是How Euler did it，就是欧拉到底怎么能干出来这个事的。那么大家都对他解题能力感到惊讶，我想感慨的是真正的大神是敢于直面吓死人的问题。大家想象一下，如果我们给学生布置题目说请试试怎么解一元无穷次方程。肯定教育局说超纲了。这超纲算什么呀，就是说你要解决吓死人的问题、敢于使用不合理的前提，有能力自己发明解决问题的方法与工具，才是真正的学术大神。
一元五次方程这事说完了，回到我们的一元三次方程√-1的问题。我们现在是被人家像水牛强压着头喝水，接受了√-1，但是既然它有用，它就有合理，它就有存在的价值，那么它就应该有意义。
我们现在就要理解√-1到底是什么意义。到底是什么意义呢？我们看：首先，你接受了√-1，你发现那个解始终是a+b√-1，和a-b√-1的问题，这俩一直同时存在。你看这两项一加，后边√-1就没了；你把他俩一乘，√-1也没了。共轭是什么意思呢，共轭是说牛的：两头牛用同一个轭，用力就往一个方向去了，这个叫共轭。而共轭是我们数学和物理里面始终会用到的这个词。共轭就是一对变量或一对某某关系的时候，说它们俩是共轭的。共轭的意思就他俩像两头牛一样，要用一个轭才能往一个方向使劲。所以说将来我们这个领导干部配置，将来应该是根据共轭原则，它能用力往一个方向去。能够把各种矛盾，让我别扭的地方能够消除掉。a+b√-1，和a-b√-1受它理解的时候，我们再理解我们方程如果有√2的时候，我们发现就是α+β√2，与α-β√2，他们俩相加相乘也把√2这个让我不舒服的，也能甩掉。你看这又给我们带来了新的知识。
再往下，我们都认识到√-1，是能接受它了，接下来我们怎么也给它取个名字吧。所以到1637年，法国的这位数学家、哲学家、大神：笛卡尔，给他取个名字，说这是个到了1777年，起了名字，到这个名字有表达式，又花了140年。欧拉给引进了imaginary的第一个字母i来表示它，说√-1=i。这个√-1=i，我们中国的数学书里面也都是这么教的。对不对呢？不对，因为我们刚才说了：这俩(a+b√-1，和a-b√-1)必须同时存在。这个地方(b左侧)的-1是属于它(√-1)的，这个地方(-)不是减，是它(√-1)的负号。所以说正确的理解应该不是√-1等于i，是√-1等于±i。写成±i也不对，因为有人会把它理解成√-1，既可以等于+i，又可以等于-i。错，是√-1，必须同时等于±i，这才是对的。所以可以理解成√1要同时等于1和-1，√-1要同时等于i和-i，4√-1，要同时等于1、-1、i和-i。这么理解的时候，你将来在数学、在物理应用的时候，你的应用才是对的。
既然我们接受它了，往前发展这个路就好走了，到1813年的时候高斯就把刚才这个a+ib或者x+iy这个东西，就把他称为复数，就是复杂的数，就因为有这么一种奇怪的东西叫做复杂的数。但是高斯这种人就太厉害了，他那时候竟然能随口说一句，说这种表达成x+iy的这种数，它里面有等级。(z=x+iy)这个是复数，还有比复数更是复数的数，他用拉丁语说：那是十足的阴影之阴影。就是我们今天说，我们学什么东西的时候，求你的心里阴影面积。你看那个时候就有这种表达了：他说这复数里面还有更复杂的数，那是十足的阴影的阴影。高斯这种人我们不说了，我愿意把他比喻成，就是从科学家的角度上说他是大鲸鱼类的。我们都知道有个鲸落的概念：一个鲸鱼如果死了的话，它能够哺育一个小生物圈。高斯遗留下的著作里面，如果大家愿意研究的话，里面随便往前发展一点的话，那都有的是内容。
所以说，我们现在看高斯。既然我们接受了复数表达式，我们发现复数与复数相加，前边叫实部相加，后边是虚部相加。然后z1乘z2是这个样子：(ac-bd)+i(ad+bc)，和z2乘上z1是一样的，这就是我们小朋友在中学学的叫“乘法交换率”。但是到1863年Karl Weierstrass就证明了实数到复数这个地方是两个交换代数的扩展，再也没了。再往后再想有z1z2=z2z1这事是没了，接下来我们会看这种事情。
我们会发现引入复数之后出事了，什么呢？就是当我们谈a、b这种实数的时候我们经常会比大小，这是我们关于数的习惯地比较大小，这事儿就不能干了。这就逼得我们不得不去理解这个东西到底是什么意思。谁跟我们理解呢？还是要用，你用几何你就能理解了。看几何是怎么理解的：这是初中的时候经常有这种题目，给你两个长度a、b，再给你一个夹角α，你给我做一个三角形。这种题目都有。
大家看如果这个长度是a，这一段是b的话，夹角是在这儿，是和水平面夹角的。如果，大家看，这是夹角α，这个长度是a，那么这个顶点到垂线的距离就是asinα。如果b大于垂线这个距离的话，你画一个圆的话，和它（基线）就有两个交点。这两个交点当作三角形第三点，A、P、B就决定一个三角形。当然了有两个解，这个没问题。可是如果是b要比这个垂线，也就是比asinα短的话，你以它(P)为圆心画个圆呢，就没有焦点了，好像这个三角形就不能画了。结果有人说不对，这个三角形好像还能画。怎么画呢？他说你看这个垂线：那我用这个垂线当作一个直径的话，我画一个圆（绿色虚线）。那我以这一点(P)为圆心，以b为半径画一个圆，和这个圆（绿色虚线）交两点，它也能得出两个三角形，它也是由原来的两个长度和一个夹角决定的三角形，不一样是出题老师的意思吗？但是你会发现有意思了，这个三角形（下图）相对这个三角形（上图）它往上挪了。也就是它提醒了我们大家，当出现√-1这种事情，它意味着是一个和水平面垂直方向的运动，往垂直方向挪了。
那这让我想起什么呢？这个就触到知识盲区了。那么有没有这回事呢？你会发现同时有很多人注意到这一点。谁呢？我刚才提到了1832年还陨落了一个大神叫萨迪·卡诺，Sadi Carnot。萨迪卡诺不仅厉害，他们家族将来会出现一个姓庞加莱的。大家不理解为什么卡诺家族会出现一个姓庞加莱的。这是一个据说人类历史上唯一一个什么数学物理都会的。大家知道三体吧，三体就是他（庞加莱）的文章里来的概念，我们不提。将来他的一个侄子是法兰西的总统，卡诺的一个侄子也是法兰西的总统，这一家人太厉害了。那么热力学创始人萨迪卡诺他爹，老卡诺，当年竟然出了一个几何题：说这有一个线段a，在线段上找一点，把这个线段截成两截，这两截乘积等于线段平方的一半。也就是说，我把它写成方程的话就是x(a-x)=a2/2，但是这个一元二次方程大家都会解了，解等于a/2+(±ai/2)。ai/2说明这个点就不在这条线上。另外一个法国人比埃就解释，说这就可能意味着这代表这个点不在这根线上，在旁边。a/2±ai/2，就是这个半截到这儿（线段中点）的距离，再往上这么多距离在这个点（X点），这一点（X点）到这一点（线段一端）的距离乘上这一点（X点）到这一点（线段另一端）的距离，就等于这个a2/2。当然这是直角三角形，大家用几何做法一定就懂这个道理是怎么回事儿。也就是说，现在我们突然认识到ai/2这个东西，它不在你这一条线上，它是在旁边。是个几何意义。
这是数学史上真实发生的事情，没想到有一天我会在我们的日常生活里也注意到这个事情。我的一位朋友带着他的小女儿，我们知道小孩子嘛，有时候弄不清楚方向，所以这个妈妈就故意训练她。年轻的妈妈就问：你现在在我的左边还是右边？小女孩想了半天，特聪明地来了一句“旁边”。；当这个小孩子回答说在旁边的时候，大家知道旁边是什么，饶你一圈的时候，这个回答是对的。它天然地就可以用来表示二维空间里面的东西。这个例子也告诉我们大家，看见没有，就是数学史上存在真实发生的事情，在今天依然发生在我们的日常生活里面。所以说我希望大家能记住这个故事的时候，就千万别再误以为那些高深数学有多么难，那些高深的数学和我们的生活它的联系可能就是很紧密的，而仅仅是你不知道而已。
这时候在欧洲挪威有一个工程师韦塞尔Wessel，注意到了复数是可以表述成有方向的线段，其实就是“极坐标”。极坐标在我们中国的古诗里面早就有，极坐标的出现有2000多年了，而笛卡尔坐标，即直角坐标是1600多年出现的，请大家一定要记住。所以在我学数学的过程当中，我误认为极坐标出现的晚，不对，极坐标是最自然的东西。大家记得我们中小学念的诗词：西北望长安，可怜无数山。它指的就是方向+距离。极坐标是特别特别自然的，西北望长安，可怜无数山；方位角+距离。
这位韦塞尔是一个工程师，他就认识到用复数就可以表示成平面上的一点。这样的话从原点出发就是线段。大家知道三个线段组成一个三角形是什么条件呢？你看，用复数代表这样一个有方向的线的话，突然就是这么简单的事情，就是：
也就是说如果这就是原点的话，有方向的线段加上有方向的线段加上有方向的线段，回到原点，这就是三角形。这就是，你看这就是所谓的最高深的数学，其实很早很早就有。这个地方我又要提醒大家一句，关于三角形我们上初中就学了，许多人肯定误以为三角形已经早会了。我提醒大家一句，关于三角形的内容太多了，我们在中学教过重心、教过垂心、外心，大家就误认为三角形可能就只有这几个心，我告诉大家三角形里面几何的心最少两万种，你才学三四种，才哪跟哪呢。那许多人肯定不服气，说曹老师你又骗我，说三角形就是画三条边，怎么会有那么多内容呢？你肯定骗人嘛，哪有那么复杂？你看不出这么复杂，是因为你看的角度不对，因为你是从这一点出发，画一条线闭合了，说这个就叫三角形，你觉得没有什么复杂的地方。但是反过来想，假设是这三个随机的线段，随便撒到这个平面上，或者撒到一个空间里，这三个线段碰巧凑成了一个三角形，请问这个条件有多么地难。那么如果你从这个角度来说，突然认识到一个特别难能够达成的事情，它里面一定有特别多的内容。从这个角度你就能明白三角形里面的几何，可不是你我三天两天能学完的。
我们突然发现bi代表的东西如果是平方是负的，大家知道一个线段如果变成负的就是转180度，所以bi*bi=-b，相当于b转动了180度。转两次是180度，那bi转一次就是转90度。也就是说，如果你用实数表示水平方向的话，那么bi一定表示的是垂直方向，这就告诉我们复数表达的一个平面，就是一个笛卡尔坐标所表征的平面。这个地方我要提醒许多学理论物理的人，为什么我们的复平面和平面不是一回事，因为复平面只能用直角坐标，i代表的是90度的偏转；而一般平面是可以任意两个方向，只要它俩不重合，就能够表征这个平面，这是平面与复平面之间还是有细微差别的地方。
现在我们来表达复数，复数有多少种表达呢？我们刚才已经学了x+iy；第二种就是极坐标表达，就是说距离和方位角的表达；第三种我们将来会学，有这种rcosθ+irsinθ的表达；第四种就是这种一个模乘上一个相位角eiθ，这个θ就叫，这个就是我们将来通向规范场论的地方。那么还有没有别的表示呢？有，比方说我们可以把a+ib表示成这样的2*2矩阵(a,-b;b,a)，这个对角线都是a，这两边的b是-b与b。这样的矩阵的加法和乘法就是复数的加法与乘法。那还有没有表达式或表达矩阵呢？有，有很多，比方说将来你学的时候，可以用四元数来表达复数。哎你不是说四元数比复数更复杂吗，怎么用更复杂的来表达简单的呢？这个地方又牵扯到一个哲学的东西，就是，或者告诉你简单里面也会内置复杂，有一天你要能学会从高观点下去看简单的问题，你才能看出它的不简单之处。回到比方说刚才的三角形，如果你学的就是在黑板上从一点出发画一个三角形，你永远想象不到它里面有多少内容，但是如果你从高观点，从高维空间说随机的线段它们碰巧粘在一起能够构成三角形的时候，你就能明白它里面包含了多深刻的内容。这也是俄罗斯有一套教材，关于数学物理教材，叫做高观点下有效的xx东西，请家长关注一下这套东西，学会从高观点下去看问题。
那么我们既然学了复数，复数有什么用？复数的用处太多了，比方说数论里面有一个说法，叫做任意两平方和的乘积必定是两整数的平方和，如果你从数论角度证明的话，这个可难证明了。但是如果用复数的乘法，就是复数乘复数等于复数，复数取模就是平方和，那就等于平方和，这是一个算法，算数，特别简单。举个例子，比方说(2+5i)×(4+3i)=-7+26i，这个意思是(22+52)x(42+32)，一定等于72+262，特简单，算就完了，有什么好证明的？大家看到没有，高观点下看问题就能够看出它的简单，也可以看出它的不简单。
那么第二个复数有什么用呢？就是用来证明几何，我们都知道比方说这是一个三角形，从每个顶点到对面中点画这三条中线，然后交一点，这就叫做重心。重心等于什么呢？几何证明可费劲了，但如果用复数表示三个顶点位置的话，重心就等于三个顶点复数的算术平均，(za+zb+zc)/3就完了，哪有那么多事，然后用复数去表达线之间是平行的、垂直的，那就是实部虚部那一乘，到底等不等于0的问题，就特别简单。
知道我们用复数去做几何，将来同学们如果是敏感的话，你就知道天底下将来一定存在一个学问就叫几何代数。学会几何代数那物理表达就更简单了，当然了，你们也一定知道将来还有一个学问反过来叫做代数几何。
。我们在电磁学里面用复数的时候还是羞答答的，是当做辅助工具，去帮助求积分。而等到量子力学里面用复数就是赤裸裸的，因为学量子力学上来波函数一定是复数，量子力学的语言里面一定用复数。甚至复数不过瘾，待会还有旋量，旋量很多人就不懂了。相对论表达有人误以为是复数，不对，那是一个简化，是约化了的四元数甚至是双四元数，如果你懂这些数的时候再看相对论就会发现数学好简单。
这个地方我还提醒大家一句，就是，我读过许多量子力学的书里面都会说描述电子这样自旋1/2粒子用到的数学有多么神奇等等，是量子力学的神奇。直到有一天我发现我被他们骗了，在量子力学诞生之前，所有这些描述自旋1/2粒子的数学都发明出来了，只是你不知道而已。你不知道就在那儿糊弄别人，告诉他这个东西多神奇，量子世界多么难以理解，其实那数学早就有了。关于量子力学表达的虚张声势是由这些人不知道数学造成的，那个东西数学早就有，而且特简单。
接下来故事就有意思了，我们说复数能够表示我们二维平面里面的转动，转动特别好玩，这个复数a±ib就是实数3±1，5±2的一个扩展。这种3±1=（2，4）在一条直线上，a±ib变成平面的扩展，立马就有人说一件事情：不对，我们生活的空间不是二维的，我们生活的空间是三维的，所以如果有一个数能够跟它描述二维空间里面的物理似的，能描述三维空间的物理那多爽呀。所以这就有人想把a±ib这样一个描述二维的数给表示成描述三维的数，这个事儿是谁干的？就是刚才我提到的那个哈密顿，哈密顿想：这样一个数什么复数不复数的，它就是一对数而已，只要它的加法和乘法弄对了，你写成什么样都无所谓，所以请大家记住形式不是重