摘 要：针对Pt以二分法为参考，对牛顿法的应用特性进行了详细分析VC 6.将编程结构、计算复杂性、绝对计算精度和相对运行速度进行比较。结果表明，在相同的精度约束下，牛顿法的计算复杂性小，计算精度高，误差小；牛顿法的运行速度快4倍以上。说明在Pt牛顿法是计算100铂热电阻温度的更好选择。
关键词：Pt100热电阻；牛顿法；二分法；特征分析
中图分类号：TN304 文献标识码：B
文章编号：1004-373X(2008)06-146-03
Application Characteristic Analysis of Newton Method in Temperature
Computation of Pt100 Platinum Resistor
ZHANGLi 2，JIANG Jianguo1
(1.Xidian University，Xi′an，710071，China；2.Shaanxi Post and Telecommunication College，Xianyang，712000，China)
Abstract：An analysis of temperature-resistance computation algorithm of Pt100 platinum resistor is discussed.Based on the comparison of the Dichotomy method，programming structure，computing complexity，absolute accuracy and relative operating speed of the Newton method are analyzed in detail.Results show that，at the same accuracy constraint，the Newton method has smaller computation complexity，higher accuracy，lower calculation error and faster operation speed than the Dichotomy method.Therefore，the Newton method is a appropriate algorithm for the temperature computation of Pt100 platinum resistor.
Keywords：Pt100 platinum resistor；Newton method；dichotomy method；characteristic analysis
1 概 述
Pt100 铂热电阻通常与显示仪器、记录仪器、电子计算机等配套使用，在各种生产过程中可直接测量-200 ℃～850 ℃液体、蒸汽、气体介质及固体表面温度范围内。Pt100 铂电阻具有抗震性能好、温度测量范围广、测量精度高、机械强度高、耐压性好、电阻率高等特点Rt单调函数与温度t的关系为正比系数，在实际测量中具有良好的重复性。因此，其工业应用非常广泛。
在使用Pt应用100铂热电阻进行温度计算时，已知温度t计算电阻值Rt的函数Rt(t)已存在，见文献[1]；但在实际工程项目中，通常是测量电阻值Rt，转换后需要获得相应的温度值t，也就是需要求解Rt(t)的反函数。通常有两种方法：数值和分析，数值法在工业控制计算中得到了广泛的应用。因此，详细分析Pt100铂热电阻温度值算法的计算特性具有重要的应用意义。
本文针对Pt在C语言编程环境下，采用牛顿法计算100热电阻Rt-t关系计算问题。为了探讨该方法的应用特点，在程序结构、计算复杂性、绝对计算精度和相对运行速度等方面进行了详细的比较和分析。
2 Pt计算100铂热电阻温度
2.1 计算关系式
根据文献[1]，由温度计算阻值的公式如式(1)所示：
Rt=R0(1 At Bt2 C(t-100)t3)，t∈[-200，0]
R0(1 At Bt2)，t∈(0，850](1)
参数：R0=100.00 Ω；A=3.908 02 ×10-3℃-1，B=- 5.80 2 ×10-7 ℃-2；C=-4.273 50×10-12℃-4。
从公式(1)可以看出已知Rt计算t分为两段t∈ (0，850]范围是一元二次方程求根的问题，有解析关系的定解，不是本文讨论的关键；但在t∈已知区间[-200，0]Rt求t，一元四次方程求根问题。
从理论上讲，一元四次方程可以进行分析，但分析和推导过程更为复杂。同时，需要消除多根复根，判断合理的实根。本文采用数值方法（以牛顿法为代表）解决了该范围内四种多项求根问题。
一般来说，用数值法求根大致需要三个步骤：
(1)判断根的存在；
(2)确定根的分布范围，即隔离每根；
(3)根的准确性，即根据根的初始近似值，按某种方法逐渐准确，直至符合预先要求的准确性。
一般多项式，需要证明确定其根的存在。在这个问题上，由于其具体的工程物理背景，在[-200，0] 在和(0，850]两个区间内，实根是确定存在的。
根据式(1)，得到f(t)：
Иf(t) = t4-100t3 BCt2 ACt 1C(1-RtR0 )(2)И
其中，参数R0，A，B，C和式(1)一样。Rt求T的问题转化为求T的问题f(t)=0方程求根问题。常用的数值计算方法有二分法、切线法(牛顿法)和弦截法等。
2.2 二分法和牛顿法的计算过程分析
2.2.1 二分法的计算步骤
二分法的计算步骤如下：
(1) 输入有根区间的端点a，b以及提前给定的精度ε；
(2)(a b) /2 赋予x；
(3)若f(a)f(x)
(4)若b-a
2.2.2 计算牛顿法的步骤
牛顿法的计算步骤如下：
(1) 给出初始近似根x0及精度ε；
(2) 计算x0-f(x0)f′(x0)=x1；
(3) 若|x1-x0|
(4) 输出满足精度的根x1，结束。
牛顿法的特点是计算函数必须可导，导数必须由(2)计算：
Иf′(x)=4x3-300x2 2BCx AC(3)И
能够满足牛顿法应用的要求。
3 牛顿法和二分法计算特征分析
3.1 程序结构
从流程图(见图1)可以看出，二分法计算出满足精度要求的解决方案，需要在给定的范围内计算x对应的中点f(x)，满足精度要求可以结束，编程更容易实现。牛顿法需要先求函数。在某些问题上，原函数可能无法引导，或在求导后，导数更加复杂，不易编程。在本项目中求导后Rt ～ t导数关系见式(3)比原函数简单，编程实现可行。一般来说，这两种方法的程序结构相当。
3.2 计算复杂性分析
根据图1，需要迭代一定数量才能达到解决问题的有限精度。一般来说，算法迭代次数越少，算法的应用特性就越好。
图1 二分法和牛顿法的流程图
本文根据图1，在VC 6.在0环境下，设计计算程序，并根据程序运行的实际结果分析牛顿法和二分法的迭代。在温度t的[-200，0]范围内，精度相同ε约束，每0.1度取一组t，Rt检查计算数据点，统计两种方法所需的最大迭代次数。统计结果如表1所示。
表1 计算精度ε与数值计算的最大迭代次数关系
从表1的对比可以看出，牛顿法可以用较少的次数最大4次）迭代来达到所需的精度；算法性能稳定，计算精度高Е诺谋习不敏感。二分法使用的最大迭代次数较多，随着精度的提高，最大迭代次数显著增加。
3.3 精度分析的绝对计算
计算精度是衡量算法是否准确的一个非常重要的约束条件。同等量级的精度ε近似根的实际误差因算法而异，计算精度高的算法具有较好的实用价值。
以上程序为准，在温度t的[-200，0]范围内，每0.1 ℃取一组t，Rt数据点精度相同ε=1×在10-3算10-3，分析两种方法的最大误差。
选择有代表性的数据点对结果进行比较，图2所示。
图2 精度误差分析图
从精度误差分析可以看出，在相同的精度约束下，牛顿法的误差非常小。图2中列出的数据点中牛顿法误差明显的数据基本为1×10-11量级比给定量级好ε=1×10-3低7个量级，精度特性很好；相比之下，虽然满足了二分法的误差ε约束，但几乎在同一量级(图见约0.8×10-3，与1×10-3的ε非常接近)；分法相邻数据点的误差分为正负两侧，呈现明显的锯齿形振荡。
3.4 比较相对运行速度
运行速度是衡量算法是否优秀的必要条件。快速运行的算法具有更高的实用价值。牛顿法的运行速度具有重要的实用意义。
在t的[-200，0]-200，0]范围内均匀抽取数据点，限制精度ε，完成相同次数的循环(2 000 记录操作时间，得到结果如表2所示。
表2 比较相对运行速度
从速度比较来看，牛顿法程序度要求下，牛顿法程序的运行时间明显小于二分法；随着精度要求的提高，牛顿法所需的时间变化不明显，而二分法所需的时间明显变长。计算精度ε二分法越高，运行时间越长。二分法至少需要牛顿法的4倍。
牛顿法每次迭代需要完成大约22次浮点乘法和9次加法。二分法的一次迭代需要完成大约25次浮点乘法和11次加法。从单次迭代的计算来看，二分法稍多，但差别不大。然而，由于算法本身的特点，二分法的迭代次数是牛顿法的4倍以上，因此二分法实际上比牛顿法长得多。
4 结 语
在实际使用中，一元多次方程的解决问题非常普遍。根据阿贝尔定理，5次或更高的代数方程不是一般的数解法，这样的方程，不能由方程的系数经过有限次四则运算和开方运算求根。也就是说，在工程运算中，解析法难以求解5次以上的高次方程，这时，数值求根就成了工程技术人员的第一选择。二分法和牛顿法作为基本的计算机编程方法，他们的特点比较明显。二分法对函数要求较低，在所求区间只要确证有根，就能以很稳定的速度在不断减小的区间找到满足精度要求的近似解。而牛顿法虽然要比二分法优异很多，但要求函数必须可导。当导函数要比函数本身简单时，牛顿法能快速准确地计算出高精度的近似解。
本文针对Pt100铂热电阻温度计算问题，以二分法为参照，详细分析了牛顿法的应用特性。结果表明，在相同的精度约束下，牛顿法计算复杂性小、计算精度高、误差较小；相对运行速度牛顿法要快4倍以上。这反映出在Pt100铂热电阻温度计算中，牛顿法是一个较好的选择。
参考文献
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[6]傅民仓，冯立杰，袁俊飞.基于PIC单片机的热敏电阻数字化方法\[J\].现代电子技术，2006，29(5)：76-78.
作者简介 张 莉 女，1974年出生，汉族，陕西眉县人，陕西邮电职业技术学院教师，讲师，西安电子科技大学在读硕士研究生。研究方向为计算机网络、计算机应用。
姜建国 男，1956年出生，汉族，陕西渭南人，西安电子科技大学教授，硕士生导师。研究方向为计算机辅助设计和图形图像处理技术、网络技术等。
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