(1) 设 W 1 W_1 W1和 W 2 W_2 W2是向量空间 V V V两个子空间，它们的交集 W 1 ∩ W 2 W_1 \cap W_2 W1∩W2也是 V V V的子空间。 (2) 设 W 1 W_1 W1​和 W 2 W_2 W2​是向量空间 V V V中的子空间，则和 W 1 + W 2 W_1+W_2 W1​+W2​也是 V V V的子空间。

如前所述，线性无关的向量 x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,…,x_n x1​,x2​,…,xn​构成 n n n维向量子空间 S p a n ( x 1 , x 2 , … , x n ) Span(x_1,x_2,…,x_n) Span(x1​,x2​,…,xn​)的基向量。在许多应用中，往往希望基是标准正交的。 下面的定理给出了将 x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,…,x_n x1​,x2​,…,xn​转换为标准正交向量组{ u 1 , u 2 , … , u n u_1,u_2,…,u_n u1​,u2​,…,un​}的方法，称为Gram-Schmidt正交化。

定理 令{ x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,…,x_n x1​,x2​,…,xn​}是p维向量子空间 W W W的任意一组基(即线性无关的向量)。于是，子空间W的标准正交基{ u 1 , u 2 , … , u n u_1,u_2,…,u_n u1​,u2​,…,un​}可以通过Gram-Schmidt正交化构造如下: p 1 = x 1 , u 1 = p 1 ∣ ∣ p 1 ∣ ∣ = x 1 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ p_1 = x_1, u_1 = \frac{p_1}{||p_1||}=\frac{x_1}{||x_1||} p1​=x1​,u1​=∣∣p1​∣∣p1​​=∣∣x1​∣∣x1​​ p k = x k − ∑ i = 1 k − 1 ( u i H x k ) u i , u k = p k ∣ ∣ p k ∣ ∣ p_k=x_k-\sum_{i=1}^{k-1}(u_i^Hx_k)u_i, u_k=\frac{p_k}{||p_k||} pk​=xk​−i=1∑k−1​(uiH​xk​)ui​,uk​=∣∣pk​∣∣pk​​ 式中， 2 ≤ k ≤ n 2≤k≤n 2≤k≤n。

证明 **(1)**使用数学归纳法证明由上式构造的向量 u 1 , u 2 , … , u n u_1,u_2,…,u_n u1​,u2​,…,un​全部都是非零和有限大的向量。 由于 x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,…,x_n x1​,x2​,…,xn​是一组基，它们都是非零向量，故向量 u 1 = x 1 / ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ u_1=x_1/||x_1|| u1​=x1​/∣∣x1​∣∣是非零向量。因此，内积 u 1 H u 1 = 1 u_1^Hu_1=1 u1H​u1​=1。又由于 x i x_i xi​是非正交的，于是有 u 1 H x 2 = x 1 H x 2 / ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ ≠ 0 u_1^Hx_2=x_1^Hx_2/||x_1||≠0 u1H​x2​=x1H​x2​/∣∣x1​∣∣​=0。考虑由上式构造的向量 p 2 = x 2 − ( u 1 H x 2 ) u 1 = x 2 − x 1 H x 2 ∣ ∣ x 1 ∣ ∣ 2 x 1 = x 2 − c x 1 p_2=x_2-(u_1^Hx_2)u_1=x_2-\frac{x_1^Hx_2}{||x_1||^2}x_1=x_2-cx_1 p2​=x2​−(u1H​x2​)u1​=x2​−∣∣x1​∣∣2x1H​x2​​x1​=<