SLAM卡尔曼滤波&&非线性优化
高斯分布（正态分布）是一个常见的连续概率分布。正态分布的数学期望值或期望值 μ μ μ等于位置参数，决定分布位置；方差 σ 2 \sigma ^{2} σ2 开平方或标准差 σ \sigma σ 等于尺度参数，决定分布范围。
1.高斯分布
随机变量 x x x服从高斯分布 N N N，其概率密度函数为： p ( x ) = 1 σ 2 π e x p ( ? ( x ? μ ) 2 2 σ 2 ) p(x)=\frac{1} { {\sigma\sqrt{2\pi}}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}) p(x)=σ2π 1exp(−2σ2(x−μ)2) 它的高维形式为： P ( x ) = 1 ( 2 π ) N d e t ( Σ ) e x p ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) P(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^N det(\Sigma)}}exp(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)) P(x)=(2π)Ndet(Σ) 1exp(−21(x−μ)TΣ−1(x−μ))
2.高斯分布的运算
2.1 线性运算
设两个独立的高斯分布： x ∼ N ( μ x , Σ x x ) , y ∼ N ( μ y , Σ y y ) x\sim N(\mu_x,\Sigma_{xx}),y\sim N(\mu_y,\Sigma_{yy}) x∼N(μx,Σxx),y∼N(μy,Σyy) 那么他们的和仍然是高斯分布： x + y ∼ N ( μ x + μ y , Σ x x + Σ y y ) x+y\sim N(\mu_x+\mu_y,\Sigma_{xx}+\Sigma_{yy}) x+y∼N(μx+μy,Σxx+Σyy) 如果以常数 a a a乘以 x x x，那么 a x ax ax满足： a x ∼ N ( μ a x , a 2 Σ x x ) ax\sim N(\mu_ax,a^2 \Sigma_{xx}) ax∼N(μax,a2Σxx) 如果取 y = A x y=Ax y=Ax,那么 y y y满足： y ∼ N ( μ A x , A 2 Σ x x ) y\sim N(\mu_Ax,A^2 \Sigma_{xx}) y∼N(μAx,A2Σxx)
2.2乘积
设两个高斯分布的乘积满足 p ( x y ) = N ( μ , Σ ) p(xy)=N(\mu,\Sigma) p(xy)=N(μ,Σ),那么： Σ − 1 = Σ x x − 1 + Σ y y − 1 Σ μ = Σ x x − 1 μ x + Σ y y − 1 μ y \Sigma^{-1}=\Sigma^{-1}_{xx}+\Sigma^{-1}_{yy}\\\Sigma_{\mu}=\Sigma^{-1}_{xx}\mu_x+\Sigma^{-1}_{yy}\mu_y Σ−1=Σxx−1+Σyy−1Σμ=Σxx−1μx+Σyy−1μy
2.2复合运算
同时考虑到 x x x和 y y y，当他们不独立时，其复合分布为： p ( x , y ) = N ( [ μ x μ y ] , [ Σ x x Σ x y Σ y x Σ y y ] ) p(x,y)=N\left (\begin{bmatrix}\mu_x\\\mu_y\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\Sigma_{xx}&\Sigma_{xy}\\\Sigma_{yx}&\Sigma_{yy}\end{bmatrix}\right) p(x,y)=N([μxμy],[ΣxxΣyxΣxyΣyy]) 其中 Σ y x \Sigma_{yx} Σyx和 Σ y x \Sigma_{yx} Σyx为两个变量的协方差，满足： C o v ( X , Y ) = E [ ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) ] = E [ X Y ] − E [ X ] E [ Y ] Cov(X,Y) =E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY]-E[X]E[Y] Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]=E[XY]−E[X]E[Y] 协方差为正，则说明这两个变量呈正相关，为零则不相关，为负则为负相关。 由条件分布（贝叶斯法则）展开式 p ( x , y ) = p ( x ∣ y ) p ( y ) p(x,y)=p(x|y)p(y) p(x,y)=p(x∣y)p(y)可以推出，： p ( x ∣ y ) = N ( μ x + Σ x x Σ y y − 1 ( y − μ y ) , Σ x x − Σ x y Σ y y − 1 Σ y x ) p(x|y)=N(\mu_x+\Sigma_{xx}\Sigma_{yy}^{-1}(y-\mu_y),\Sigma_{xx}-\Sigma_{xy}\Sigma_{yy}^{-1}\Sigma_{yx}) p(x∣y)=N(μx+ΣxxΣyy−1(y−μy),Σxx−ΣxyΣyy−1Σyx)
舒尔补
现在来推导如何得出该结论： ：把矩阵分解成上三角矩阵、对角阵、下三角矩阵乘积的形式，方便运算，即： [ A B C D ] = [ I B D − 1 0 I ] [ Δ D 0 0 D ] [ I 0 D − 1 C I ] \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}I&BD^{-1}\\0&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Delta D&0\\0&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I&0\\D^{-1}C&I\end{bmatrix} [ACBD 标签： hpk无功功率变送器