参考链接： DR_CAN老师的原视频

对于周期为 T T T，即 f ( t ) = f ( t T ) f\left( t \right) = f\left( {t T} \right) f(t)=f(t T)傅里叶级数的复数扩展形式如下：

f ( t ) = ∑ n = ? ∞ ∞ c n e i n ω t f\left( t \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty { {c_n}{e^{in\omega t}}} f(t)=n=?∞∑∞cneinωt, 其中， c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω t d t {c_n} = \frac{1}{T}\int_0^T {f\left( t \right){e^{ - in\omega t}}dt} cn​=T1​∫0T​f(t)e−inωtdt

重写一下 f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n ω 0 t ( 1 ) {f_T}\left( t \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty { {c_n}{e^{in{\omega _0}t}}} {\rm{(1)}} fT​(t)=n=−∞∑∞​cn​einω0​t(1)， ω 0 = 2 π T {\omega _0} = \frac{ {2\pi }}{T} ω0​=T2π​为角频率。

c n = 1 T ∫ 0 T f T ( t ) e − i n ω 0 t d t = 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t ( 2 ) {c_n} = \frac{1}{T}\int_0^T { {f_T}\left( t \right){e^{ - in{\omega _0}t}}dt} = \frac{1}{T}\int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} { {f_T}\left( t \right){e^{ - in{\omega _0}t}}dt} {\rm{(2)}} cn​=T1​∫0T​fT​(t)e−inω0​tdt=T1​∫−2T​2T​​fT​(t)e−inω0​tdt(2)

在上式中， ∑ n = − ∞ ∞ e i n ω 0 t \sum\limits_{n = - \infty }^\infty { {e^{in{\omega _0}t}}} n=−∞∑∞​einω0​t可以理解一种规则，而 c n c_n cn​呢，我们可以理解为它定义了函数， c n = a + b i {c_n} = a + bi cn​=a+bi是一个复数。

用图像的表达形式如下

我们称上面的图为时域表达，下面的图为频域表达。 工程上一般会取 ∣ c n ∣ \left| { {c_n}} \right| ∣cn​∣专门来看幅值。

对于一个非周期函数，也就说它不重复， T → ∞ T \to \infty T→∞。

lim ⁡ T → ∞ f T ( t ) = f ( t ) \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } {f_T}\left( t \right) = f\left( t \right) T→∞lim​fT​(t)=f(t)

我们定义，两个频率之间的距离 Δ ω ≜ ( n + 1 ) ω 0 − n ω 0 = ω 0 = 2 π T \Delta \omega \triangleq \left( {n + 1} \right){\omega _0} - n{\omega _0} = {\omega _0} = \frac{ {2\pi }}{T} Δω≜(n+1)ω0​−nω0​=ω0​=T2π​。

当 T ↑ , Δ ω ↓ T \uparrow ,\Delta \omega \downarrow T↑,Δω↓, T → ∞ , Δ ω = 0 T \to \infty ,\Delta \omega = 0 T→∞,Δω=0。

离散的形式→连续的形式，Cn那个图就变成了三维空间的一条连续的曲线啦。 我们横轴的 n ω 0 n{\omega _0} nω0​，也可以变成 ω \omega ω 啦。 我们现在把最开始的（2）式带入到（1）式当中，可以得到 f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t e i n ω 0 t {f_T}\left( t \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\frac{1}{T}\int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} { {f_T}\left( t \right){e^{ - in{\omega _0}t}}dt} {\rm{ }}{e^{in{\omega _0}t}}} fT​(t)=n=−∞∑∞​T1​∫−2T​2T​​fT​(t)e−inω0​tdteinω0​t

根据 Δ ω \Delta \omega Δω的定义， Δ ω ≜ 2 π T ⇒ 1 T = 2 π Δ ω \Delta \omega \triangleq \frac{ {2\pi }}{T} \Rightarrow \frac{1}{T} = \frac{ {2\pi }}{ {\Delta \omega }} Δω≜T2π​⇒T1​=Δω2π​。因此上式可进一步表达为:

f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ Δ ω 2 π ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − i n ω 0 t d t e i n ω 0 t {f_T}\left( t \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\frac{ {\Delta \omega }}{ {2\pi }}\int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} { {f_T}\left( t \right){e^{ - in{\omega _0}t}}dt} {e^{in{\omega _0}t}}} fT​(t)=n=−∞∑∞​2πΔω​∫−2T​2T​​fT​(t)e−inω0​tdteinω0​t

此时，我令 T → ∞ T \to \infty T→∞

f T ( t ) → f ( t ) {f_T}\left( t \right) \to f\left( t \right) fT​(t)→f(t)

∫ − T 2 T 2 d t → ∫ − ∞ ∞ d t \int_{ - \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {dt} \to \int_{ - \infty }^\infty {dt} ∫−2T​2T​​dt→∫−∞∞​dt

n ω 0 → ω n{\omega _0} \to \omega nω0​→ω

∑ n = − ∞ ∞ Δ ω → ∫ − ∞ ∞ d ω \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {\Delta \omega } \to \int_{ - \infty }^\infty {d\omega } n=−∞∑∞​Δω→∫−∞∞​dω

因此，上式可进一步化为:

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t e i ω t d ω f\left( t \right) = \frac{1}{ {2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right){e^{ - i\omega t}}dt} {e^{i\omega t}}d\omega } f(t)=2π1​∫−∞∞​∫−∞∞​f(t)e−iωtdteiωtdω

定义

F ( ω ) ≜ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t F\left( \omega \right) \triangleq \int_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right){e^{ - i\omega t}}dt} F(ω)≜∫−∞∞​f(t)e−iωtdt ， 这就是傅里叶变换。

f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω f\left( t \right) = \frac{1}{ {2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {F\left( \omega \right){e^{i\omega t}}d\omega } f(t)=2π1​∫−∞∞​F(ω)eiωtdω， 这就是傅里叶逆变换。

扩展：我们令 s = i ω s = i\omega s=iω， F ( s ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t F\left( s \right) = \int_{ - \infty }^\infty {f\left( t \right){e^{ - st}}dt} F(s)=∫−∞∞​f(t)e−stdt，这就是Laplace变换啦

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