概率论与数理统计 Chapter2. 随机变量及概率分布

P ( x = i ; n , p ) = C n i ⋅ p i ⋅ ( 1 − p ) n − i P(x=i; n,p) = C_{n}^{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i} P(x=i;n,p)=Cni​⋅pi⋅(1−p)n−i

某一事件的发生概率为p，那么，在n次实验之后，其发生次数为i的概率。

P ( x = k ; r , p ) = C k + r − 1 r − 1 ⋅ p r ⋅ ( 1 − p ) k P(x=k; r,p) = C_{k+r-1}^{r-1} \cdot p^r \cdot (1-p)^{k} P(x=k;r,p)=Ck+r−1r−1​⋅pr⋅(1−p)k

假设某商品的次品率为p，我们持续对商品进行良品检测，当检测到第r个次品的时候终止。

当某一次检测终止时，恰好抽取到k个正品的概率即可用上述公式进行表达。

P ( X 1 = n 1 , X 2 = n 2 , . . . , X m = n m ) = n ! n 1 ! n 2 ! . . . n m ! p 1 n 1 p 2 n 2 . . . p m n m P(X_1 = n_1, X_2 = n_2, ..., X_m = n_m) = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_m!} p_1^{n_1} p_2^{n_2} ... p_m^{n_m} P(X1​=n1​,X2​=n2​,...,Xm​=nm​)=n1​!n2​!...nm​!n!​p1n1​​p2n2​​...pmnm​​

某一个事件，出现结果1的概率是 p 1 p_1 p1​，出现结果2的概率是 p 2 p_2 p2​，直到出现结果m的概率为 p m p_m pm​。现在，一共做n次实验，其中结果1到结果m出线的次数分别为 n 1 n_1 n1​到 n m n_m nm​的概率即可用上式进行表达。

P ( X = m ) = C M m ⋅ C N − M n − m / C N n P(X = m) = C_{M}^{m} \cdot C_{N-M}^{n-m} / C_{N}^{n} P(X=m)=CMm​⋅CN−Mn−m​/CNn​

一共N个球，其中黑球有M个，现在一次性抽取n个球，其中黑球的个数为m的概率。

特别的，当 N → ∞ N \to \infty N→∞时，超几何分布可以近似于二项分布。

P ( x = i ) = e − λ ⋅ λ i / i ! P(x=i) = e^{-\lambda} \cdot \lambda^i / i! P(x=i)=e−λ⋅λi/i!

已知某路口在平均每天发生的车祸次数为 λ \lambda λ，则某一天该路口发生了i次车祸的概率即为P。

f ( x ) = 1 / ( b − a ) f(x) = 1/(b-a) f(x)=1/(b−a)

f ( x ) = λ ⋅ e − λ x f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda x} f(x)=λ⋅e−λx

假设某一个电子元件的平均寿命是 λ \lambda λ，则其实际使用寿命为x的概率密度函数即为 f ( x ) f(x) f(x)。

f ( x ) = λ a x a − 1 e − λ x a f(x) = \lambda a x^{a-1} e^{-\lambda x^a} f(x)=λaxa−1e−λxa

依然还是上述寿命问题，只是上述假设任何时候元件损坏的概率都是一致的，这里则假设不同时候设备损坏的概率是不同的，使用时间越长，设备越容易损坏。

f ( x ) = 1 2 π ⋅ σ ⋅ e x p ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma} \cdot exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}) f(x)=2π ​⋅σ1​⋅exp(−2σ2(x−μ)2​)

f ( x ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 ⋅ e x p ( − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) × ( ( x 1 − a ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x 1 − a ) ( x 2 − b ) σ 1 σ 2 + ( x 2 − b ) 2 σ 2 2 ) ) f(x) = \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1- \rho^2}} \cdot exp(-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \times (\frac{(x_1 - a)^2}{\sigma_1^2} - \frac{2 \rho (x_1 - a) (x_2 -b)}{\sigma_1 \sigma_2} + \frac{(x_2 - b)^2}{\sigma_2^2})) f(x)=2πσ1​σ2​1−ρ2 ​1​⋅exp(−2(1−ρ2)1​×(σ12​(x1​−a)2​−σ1​σ2​2ρ(x1​−a)(x2​−b)​+σ22​(x2​−b)2​))

条件概率定义：

• 在事件A发生的前提下，另一个事件B发生的概率。

P ( x = a ∣ y = b ) = P ( x = a , y = b ) / P ( y = b ) P(x = a | y = b) = P(x = a, y = b) / P(y = b) P(x=a∣y=b)=P(x=a,y=b)/P(y=b)

用概率密度表达可以写作：

f ( x ∣ y ) = f ( x , y ) / f ( y ) f(x | y) = f(x, y) / f(y) f(x∣y)=f(x,y)/f(y)

将上述条件概率密度的定义进行转换之后即可得到贝叶斯公式如下：

f ( x ∣ y ) = f ( y ∣ x ) f ( x ) / f ( y ) f(x| y) = f(y | x) f(x) / f(y) f(x∣y)=f(y∣x)f(x)/f(y)

独立性定义：

• 如果满足条件 f ( x 1 , . . . , x n ) = f ( x 1 ) . . . f ( x n ) f(x_1, ..., x_n) = f(x_1)...f(x_n) f(x1​,...,xn​)=f(x1​)...f(xn​)，那么称随机变量 X 1 X_1 X1​到 X n X_n Xn​相互独立。

假设 X 1 X_1 X1​和 X 2 X_2 X2​独立，且分别服从p相同的二项分布 B ( n 1 , p ) B(n_1, p) B(n1​,p)和 B ( n 2 , p ) B(n_2, p) B(n2​,p)，则事件 Y = X 1 + X 2 Y = X_1 + X_2 Y=X1​+X2​满足分布 B ( n 1 + n 2 , p ) B(n_1 + n_2, p) B(n1​+n2​,p)。

这个结论还是比较显然的，且不难推广到m个二项分布之和的情况，即 X 1 + . . . + X m X_1 + ... + X_m X1​+...+Xm​的分布满足 B ( n 1 + . . . + n m , p ) B(n_1 + ... + n_m, p) B(n1​+...+nm​,p)。

假设两个分布 X 1 X_1 X1​与 X 2 X_2 X2​独立，且分别满足泊松分布 P ( λ 1 ) P(\lambda_1) P(λ1​)和 P ( λ 2 ) P(\lambda_2) P(λ2​)，则 Y = X 1 + X 2 Y=X_1 + X_2 Y=X1​+X2​满足泊松分布 P ( λ 1 + λ 2 ) P(\lambda_1 + \lambda_2) P(λ1​+λ2​)。

同理，上述结论推广至n个泊松分布之和的情况，即 Y = X 1 + . . + X n Y=X_1 + .. + X_n Y=X1​+..+Xn​满足泊松分布 P ( λ 1 + . . . + λ n ) P(\lambda_1 + ... + \lambda_n) P(λ1​+...+λn​)。

假设两个正态分布 X 1 = N ( μ 1 , σ 1 ) X_1 = N(\mu_1, \sigma_1) X1​=N(μ1​,σ1​)， X 2 = N ( μ 2 , σ 2 ) X_2 = N(\mu_2, \sigma_2) X2​=N(μ2​,σ2​)，则他们的和同样满足正态分布，即 Y = X 1 + X 2 Y = X_1 + X_2 Y=X1​+X2​同样满足正态分布，其分布函数可以计算得到：

f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π σ 1 e x p ( − ( t − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 ) ⋅ 1 2 π σ 2 e x p ( − ( x − t − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 ) d t = 1 2 π ( σ 1 2 + σ 2 2 ) e x p ( − ( x − μ 1 − μ 2 ) 2 2 ( σ 1 2 + σ 2 2 ) ) = N ( μ 1 + μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) \begin{aligned} f(x) & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} exp(-\frac{(t-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} exp(-\frac{(x-t-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2})dt \\ & \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)}} exp(-\frac{(x- \mu_1 - \mu_2)^2}{2(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)}) \\ \\ & = N(\mu_1 + \mu_2, \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}) \end{aligned} f(x)​=∫−∞∞​2π ​σ1​1​exp(−2σ12​(t−μ1​)2​)⋅2π ​σ2​1​exp(−2σ22​(x−t−μ2​)2​)dt=2π(σ12​+σ22​) ​1​exp(−2(σ12​+σ22​)(x−μ1​−μ2​)2​)=N(μ1​+μ2​,σ12​+σ22​ ​)​

同理可以计算得到两者之差 Y = X 1 − X 2 Y = X_1 - X_2 Y=X1​−X2​同样满足正态分布，其分布为 N ( μ 1 − μ 2 , σ 1 2 + σ 2 2 ) N(\mu_1 - \mu_2 , \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}) N(μ1​−μ2​,σ12​+σ22​ ​)。

类似可以推广至n个正态分布之和 Y = X 1 + . . . + X n Y = X_1 + ... + X_n Y=X1​+...+Xn​，则其满足正态分布 N ( μ 1 + . . . + μ n , σ 1 2 + . . . + σ n 2 ) N(\mu_1 + ... + \mu_n, \sqrt{\sigma_1^2 + ... + \sigma_n^2}) N(μ1​+...+μn​,σ12​+...+σn2​ ​)。

指数分布和上述这些分布多少有些不同，他们的求和并不依然满足指数分布，不过也可以算就是了，当成一道习题也没啥问题。

1. Y = X 1 + X 2 Y = X_1 + X_2 Y=X1​+X2​

   1. λ 1 = λ 2 \lambda_1 = \lambda_2 λ1​=λ2​

      f ( x ) = ∫ 0 x λ e − λ ( x − t ) ⋅ λ e − λ t d t = λ 2 x e − λ x \begin{aligned} f(x) & = \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda (x-t)} \cdot \lambda e^{-\lambda t}dt \\ \\ & = \lambda^2xe^{-\lambda x} \end{aligned} f(x)​=∫0x​λe−λ(x−t)⋅λe−λtdt=λ2xe−λx​

   2. λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \neq \lambda_2 λ1​​=λ2​

      f ( x ) = ∫ 0 x λ 1 e − λ 1 ( x − t ) ⋅ λ 2 e − λ 2 t d t = λ 1 λ 2 λ 1 − λ 2 ( e − λ 2 x − e − λ 1 x ) \begin{aligned} f(x) & = \int_{0}^{x} \lambda_1 e^{-\lambda_1 (x-t)} \cdot \lambda_2 e^{-\lambda_2 t}dt \\ \\ & = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2} (e^{-\lambda_2 x} - e^{-\lambda_1 x}) \end{aligned} f(x)​=∫0x​λ1​e−λ1​(x−t)⋅λ2​e−λ2​tdt=λ1​−λ2​λ1​λ2​​(e−λ2​x−e−λ1​x)​

2. Y = X 1 − X 2 Y = X_1 - X_2 Y=X1​−X2​

   f ( x ) = { ∫ 0 ∞ λ 1 e − λ 1 ( x + t ) ⋅ λ 2 e − λ 2 t d t = λ 1 λ 2 λ 1 + λ 2 e − λ 1 x i f ( x ≥ 0 ) ∫ − x ∞ λ 1 e − λ 1 ( x + t ) ⋅ λ 2 e − λ 2 t d t = λ 1 λ 2 λ 1 + λ 2 e λ 2 x i f ( x ≤ 0 ) f(x) = \left \{ \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \lambda_1 e^{-\lambda_1 (x+t)} \cdot \lambda_2 e^{-\lambda_2 t}dt = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} e^{-\lambda_1 x} & &if(x\geq0) \\ \\ \int_{-x}^{\infty} \lambda_1 e^{-\lambda_1 (x+t)} \cdot \lambda_2 e^{-\lambda_2 t}dt = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} e^{\lambda_2 x} & &if(x\leq0) \end{aligned} \right. f(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧​∫0∞​λ1​e−λ1​(x+t)⋅λ2​e−λ2​tdt=λ1​+λ2​λ1​λ2​​e−λ1​x∫−x∞​λ1​e−λ1​(x+t)⋅λ2​e−λ2​tdt=λ1​+λ2​λ1​λ2​​eλ2​x​​if(x≥0)if(x≤0)​

自由度为n的卡方分布的x取值范围为 x > 0 x>0 x>0，其密度分布函数定义为：

k n ( x ) = 1 Γ ( n / 2 ) 2 n / 2 e − x / 2 x ( n − 2 ) / 2 k_n(x) = \frac{1}{\Gamma(n/2) 2^{n/2}}e^{-x/2}x^{(n-2)/2} kn​(x)=Γ(n/2)2n/21​e−x/2x(n−2)/2

其中， Γ \Gamma Γ函数表达式为：

Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ e − t t x − 1 d t \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{x-1} dt Γ(x)=∫0∞​e−ttx−1dt

Γ \Gamma Γ函数满足递推公式：

Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) Γ(x+1)=xΓ(x)

易求得 Γ ( 1 ) = 1 \Gamma(1) = 1 Γ(1)=1以及 G ( 1 / 2 ) = ( π ) G(1/2) = \sqrt(\pi) G(1/2)=( ​π)，则我们可以得到：

{ Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! Γ ( n / 2 ) = ( n − 2 ) ! ! 2 ( n − 1 ) / 2 π \left \{ \begin{aligned} \Gamma(n) & = (n-1)! \\ \\ \Gamma(n/2) & = \frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}} \sqrt{\pi} \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​Γ(n)Γ(n/2)​=(n−1)!=2(n−1)/2(n−2)!!​π ​​

更进一步的，我们可以定义 β \beta β函数：

β ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t \beta(x, y) = \int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt β(x,y)=∫01​tx−1(1−t)y−1dt

其中， x > 0 x>0 x>0， y > 0 y>0 y>0。

则我们有关系式：

β ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) / Γ ( x + y ) \beta(x, y) = \Gamma(x)\Gamma(y) / \Gamma(x+y) β(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)

1. 若 X 1 , . . . , X n X_1, ..., X_n X1​,...,Xn​独立且均满足正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)，则 Y = X 1 2 + . . . + X n 2 Y = X_1^2 + ... + X_n^2 Y=X12​+...+Xn2​服从自由度为n的卡方分布 k n ( x ) k_n(x) kn​(x)（或记为 χ n 2 \chi_n^2 χn2​），即：

   Y = X 1 2 + . . . + X n 2 ∼ χ n 2 Y = X_1^2 + ... + X_n^2 \sim \chi_n^2 Y=X12​+...+Xn2​∼χn2​

2. 若 X 1 X_1 X1​， X 2 X_2 X2​独立，且 X 1 ∼ χ n 2 X_1 \sim \chi_n^2 X1​∼χn2​， X 2 ∼ χ m 2 X_2 \sim \chi_m^2 X2​∼χm2​，则：

   X 1 + X 2 ∼ χ m + n 2 X_1 + X_2 \sim \chi_{m+n}^2 X1​+X2​∼χm+n2​

3. 若 X 1 , . . . , X n X_1, ..., X_n X1​,...,Xn​独立且均满足指数分布 f ( x ) = λ e − λ x f(x) = \lambda e^{-\lambda x} f(x)=λe−λx，则：

   Y = 2 λ ( X 1 + . . . + X n ) ∼ χ 2 n 2 Y = 2\lambda(X_1 + ... + X_n) \sim \chi_{2n}^2 Y=2λ(X1​+...+Xn​)∼χ2n2​

4. 设 X 1 , . . . , X n X_1, ... ,X_n X1​,...,Xn​独立同分布，且均满足公共的正态分布 N ( μ , σ ) N(\mu, \sigma) N(μ,σ)，记 X ˉ = X 1 + . . . + X n n \bar{X} = \frac{X_1 + ... + X_n}{n} Xˉ=nX1​+...+Xn​​， S 2 = ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 n − 1 S^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_i - \bar{X})^2}{n-1} S2=∑i=1n​n−1(Xi​−Xˉ)2​，则：

   ( n − 1 ) ⋅ S 2 / σ 2 = ∑ i n ( X i − X ˉ ) 2 / σ 2 ∼ χ n − 1 2 (n-1) \cdot S^2 / \sigma^2 = \sum_{i}^{n}(X_i - \bar{X})^2 / \sigma^2 \sim \chi_{n-1}^2 (n−1)⋅S2/σ2=i∑n​(Xi​−Xˉ)2/σ2∼χn−12​

自由度为n的学生分布 t n ( x ) t_n(x) tn​(x)的密度函数表达式为：

t n ( x ) = Γ ( ( n + 1 ) / 2 ) n π Γ ( n / 2 ) ( 1 + x 2 n ) − n + 1 2 t_n(x) = \frac{\Gamma((n+1)/2)}{\sqrt{n\pi} \Gamma(n/2)} (1+ \frac{x^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}} tn​(x)=nπ ​Γ(n/2)Γ((n+1)/2)​(1+nx2​)−2n+1​

1. 若 X 1 , X 2 X_1, X_2 X1​,X2​独立， X 1 ∼ χ n 2 X_1 \sim \chi_{n}^2 X1​∼χn2​， X 2 ∼ N ( 0 , 1 ) X_2 \sim N(0, 1) X2​∼N(0,1)，则:

   Y = X 2 / ( X 1 / n ) ∼ t n ( y ) Y = X_2 / (\sqrt{X_1} / n) \sim t_n(y) Y=X2​/(X1​ ​/n)∼tn​(y)

2. 设 X 1 , . . . , X n X_1, ... ,X_n X1​,...,Xn​独立同分布，且均满足公共的正态分布 N ( μ , σ ) N(\mu, \sigma) N(μ,σ)，记 X ˉ = X 1 + . . . + X n n \bar{X} = \frac{X_1 + ... + X_n}{n} Xˉ=nX1​+...+Xn​​， S 2 = ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 n − 1 S^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_i - \bar{X})^2}{n-1} S2=∑i=1n​n−1(Xi​−Xˉ)2​，则:

   n ( X ˉ − μ ) / S ∼ t n − 1 \sqrt{n} (\bar{X} - \mu) / S \sim t_{n-1} n ​(Xˉ−μ)/S∼tn−1​

3. 设 X 1 , . . . , X n X_1, ..., X_n X1​,...,Xn​， Y 1 , . . . , Y m Y_1, ..., Y_m Y1​,...,Ym​独立，且 X i X_i Xi​各自满足分布 N ( μ 1 , σ 2 ) N(\mu_1, \sigma^2) N(μ1​,σ2)， Y j Y_j Yj​各自满足分布 N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_2, \sigma^2) N(μ2​,σ2)，则：

   n m ( n + m − 2 ) n + m [ ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) ] / ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 + ∑ j = 1 m ( Y j − Y ˉ ) 2 ∼ t n + m − 2 \sqrt{\frac{nm(n+m-2)}{n+m}} [(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)] / \sqrt{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + \sum_{j=1}^m(Y_j - \bar{Y})^2} \sim t_{n+m-2} n+mnm(n+m−2)​ ​[(Xˉ−Yˉ)−(μ1​−μ2​)]/i=1∑n​(Xi​−Xˉ)2+j=1∑m​(Yj​−Yˉ)2 ​∼tn+m−2​

自由度为 m , n m,n m,n的F分布的密度函数表达式为：

f m n ( x ) = m m / 2 n n / 2 Γ ( ( m + n ) / 2 ) Γ ( m / 2 ) Γ ( n / 2 ) x m / 2 − 1 ( m x + n ) − ( m + n ) / 2 f_{mn}(x) = m^{m/2} n^{n/2} \frac{\Gamma((m+n)/2)}{\Gamma(m/2)\Gamma(n/2)} x^{m/2-1}(mx+n)^{-(m+n)/2} fmn​(x)=mm/2nn/2Γ(m/2)Γ(n/2)Γ((m+n)/2)​xm/2−1(mx+n)−(m+n)/2

1. 设 X 1 , X 2 X_1, X_2 X1​,X2​独立， X 1 ∼ χ n 2 X_1 \sim \chi_{n}^2 X1​∼χn2​， X 2 ∼ χ m 2 X_2 \sim \chi_m^2 X2​∼χm2​，则 Y = ( X 2 / m ) / ( X 1 / n ) Y = (X_2/m) / (X_1/n) Y=(X2​/m)/(X1​/n)满足自由度为 m , n m, n m,n的F分布，即：

   Y = ( X 2 / m ) / ( X 1 / n ) ∼ m m / 2 n n / 2 Γ ( ( m + n ) / 2 ) Γ ( m / 2 ) Γ ( n / 2 ) y m / 2 − 1 ( m y + n ) − ( m + n ) / 2 Y = (X_2/m) / (X_1/n) \sim m^{m/2} n^{n/2} \frac{\Gamma((m+n)/2)}{\Gamma(m/2)\Gamma(n/2)} y^{m/2-1}(my+n)^{-(m+n)/2} Y=(X2​/m)/(X1​/n)∼mm/2nn/2Γ(m/2)Γ(n/2)Γ((m+n)/2)​ym/2−1(my+n)−(m+n)/2

2. 设 X 1 , . . . , X n X_1, ..., X_n X1​,...,Xn​， Y 1 , . . . , Y m Y_1, ..., Y_m Y1​,...,Ym​独立，且 X i X_i Xi​各自满足分布 N ( μ 1 , σ 1 2 ) N(\mu_1, \sigma_1^2) N(μ1​,σ12​)， Y j Y_j Yj​各自满足分布 N ( μ 2 , σ 2 2 ) N(\mu_2, \sigma_2^2) N(μ2​,σ22​)，则：

   [ ∑ j = 1 m ( Y j − Y ˉ ) 2 / ( σ 2 2 ( m − 1 ) ) ] / [ ∑ i = 1 m ( X i − X ˉ ) 2 / ( σ 1 2 ( n − 1 ) ) ] ∼ F m − 1 , n − 1 [\sum_{j=1}^{m} (Y_j - \bar{Y} )^2 / (\sigma_2^2 (m-1))] / [\sum_{i=1}^{m} (X_i - \bar{X})^2 / (\sigma_1^2 (n-1))] \sim F_{m-1, n-1} [j=1∑m​(Yj​−Yˉ)2/(σ22​(m−1))]/[i=1∑m​(Xi​−Xˉ)2/(σ12​(n−1))]∼Fm−1,n−1​