相比之下，第一类曲线积分是弧长曲线积分，没有方向(也就是说，你对弧AB从A到B和从B到A积分的结果是一样的)

坐标曲线积分最显著的特点是有方向。实际应用，如在某个方向（如x轴）上寻求某种力。 ∫ L P ( x , y ) d x Q ( x , y ) d y \int_L P(x,y)dx Q(x,y)dy ∫LP(x,y)dx Q(x,y)dy

对于这样的公式， P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)这意味着这种力在运动过程中的力在x轴方向上是如何变化的，类似地 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在运动过程中，这种力的大小是如何在y轴方向上改变的

曲线积分的第一类(被积函数为标量函数) ∫ L f ( x , y ) d s \int_L f(x,y)ds ∫Lf(x , y)ds 第二类曲线积分 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy ∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy 由于 d y = f ′ ( x ) d x dy=f'(x)dx dy=f′(x)dx，上式亦可以写为 ∫ a b [ F y ( x , y ) ∗ f ′ ( x ) + F x ( x , y ) ] d x \int_a^b [F_y(x,y)*f'(x)+F_x(x,y)]dx ∫ab​[Fy​(x,y)∗f′(x)+Fx​(x,y)]dx 由于可以参数化表示，即 x = x ( t ) , y = y ( t ) x=x(t),y=y(t) x=x(t),y=y(t)则有 ∫ α β [ F y ( x , y ) ∗ y ′ ( t ) d t + F x ( x , y ) ∗ x ′ ( t ) d t ] \int_\alpha^\beta [F_y(x,y)*y'(t)dt+F_x(x,y)*x'(t)dt] ∫αβ​[Fy​(x,y)∗y′(t)dt+Fx​(x,y)∗x′(t)dt]

分割：将有向弧AB分为若干微元，从A标这端记为 M 0 M_0 M0​，B那段记为 M n M_n Mn​，一共有n段。记第i段是 Δ i \Delta_i Δi​ 近似：每一小段上的做功为 Δ W i = F → ( ξ i , η i ) ⋅ Δ i \Delta W_i= \overrightarrow F (\xi_i,\eta_i)·\Delta_i ΔWi​=F (ξi​,ηi​)⋅Δi​

注意这里是向量的点乘，这意味着可以转化为 Δ W i = [ P ( ξ i , η i ) , Q ( ξ i , η i ) ] ⋅ [ Δ x i , Δ y i ] \Delta W_i=[P(\xi_i,\eta_i),Q(\xi_i,\eta_i)]·[\Delta x_i,\Delta y_i] ΔWi​=[P(ξi​,ηi​),Q(ξi​,ηi​)]⋅[Δxi​,Δyi​] 进一步地变为下式（三维空间同理） Δ W i = P ( ξ i , η i ) Δ x i + Q ( ξ i , η i ) Δ y i \Delta W_i=P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i ΔWi​=P(ξi​,ηi​)Δxi​+Q(ξi​,ηi​)Δyi​ 求和： W ≈ ∑ i = 1 n P ( ξ i , η i ) Δ x i + Q ( ξ i , η i ) Δ y i W\approx \sum_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i W≈i=1∑n​P(ξi​,ηi​)Δxi​+Q(ξi​,ηi​)Δyi​ 最终经过取极限变为 W = ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y W= \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy W=∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy 这称之为 P ( x , y ) , Q ( x , y ) P(x,y),Q(x,y) P(x,y),Q(x,y)分别对坐标x,y的曲线积分

进一步地将 ∫ L P ( x , y ) d x \int_L P(x,y)dx ∫L​P(x,y)dx称为 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)在有向弧L上对x的曲线积分

转化成定积分处理

∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ x 0 x 1 P ( x , y ( x ) ) d x + Q ( x , y ( x ) ) d y ( x ) \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{x_0}^{x_1}P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy(x) ∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫x0​x1​​P(x,y(x))dx+Q(x,y(x))dy(x)

由于 d y ( x ) = y ′ ( x ) d x dy(x)=y'(x)dx dy(x)=y′(x)dx则有 ∫ x 0 x 1 [ P ( x , y ( x ) ) + Q ( x , y ( x ) ) ⋅ y ′ ( x ) ] d x \int_{x_0}^{x_1}[P(x,y(x))+Q(x,y(x))·y'(x)]dx ∫x0​x1​​[P(x,y(x))+Q(x,y(x))⋅y′(x)]dx 从而将之转化为常见的定积分进行处理 同理地也可以转化为对y轴的定积分如下式 ∫ y 0 y 1 [ P ( x ( y ) , y ) x ′ ( y ) + Q ( x ( y ) , y ) ] d y \int_{y_0}^{y_1}[P(x(y),y)x'(y)+Q(x(y),y)]dy ∫y0​y1​​[P(x(y),y)x′(y)+Q(x(y),y)]dy

请注意，将所有 y y y换成 x x x意味着 d y dy dy也要换成 d x dx dx。类似地 y y y换成 x 2 x^2 x2则意味着 d y dy dy也要换成 d x 2 dx^2 dx2,。对所有 x x x换成 y y y亦然。

另外对于积分区域 L L L是一条直线例如 y = a y=a y=a的情况，此时 d y = 0 dy = 0 dy=0

∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ L P ( x , a ) d x \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LP(x,a)dx ∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫L​P(x,a)dx 同理对于积分区域 L L L是直线 x = a x=a x=a的情况，此时 d x = 0 dx = 0 dx=0 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ L Q ( a , y ) d y \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LQ(a,y)dy ∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫L​Q(a,y)dy

对于参数方程下的第二类曲线积分 f ( x ) = { x = x ( t ) y = y ( t ) t : t 1 → t 2 f(x)=\left\{ \begin{aligned} x & = & x(t) \\ y & = & y(t) \\ \end{aligned} \right. \quad t:t_1 \to t_2 f(x)={ xy​==​x(t)y(t)​t:t1​→t2​ 也可以这样处理为 ∫ t 1 t 2 [ P ( x ( t ) , y ( t ) ) x ′ ( t ) + Q ( ( x ( t ) , y ( t ) ) y ′ ( t ) ] d t \int_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q((x(t),y(t))y'(t)]dt ∫t1​t2​​[P(x(t),y(t))x′(t)+Q((x(t),y(t))y′(t)]dt

∫ L 2 x y d x + x 2 d y \int_L 2xydx+x^2dy ∫L​2xydx+x2dy 在 L 1 L_1 L1​情况下，由于 y = x 2 y=x^2 y=x2代入原式等于 ∫ 0 1 2 x ⋅ x 2 d x + x 2 d x 2 \int_0^1 2x·x^2dx+x^2dx^2 ∫01​2x⋅x2dx+x2dx2 然后就是说对于 x 2 d x 2 = x 2 ⋅ 2 x d x x^2dx^2=x^2·2xdx x2dx2=x2⋅2xdx，这是为什么呢，原因在于这是 d x 2 d x = 2 x \frac{dx^2}{dx}=2x dxdx2​=2x的移项，进一步地将之带入上式。 ∫ 0 1 ( 2 x 3 + 2 x 3 ) d x = 4 ∫ 0 1 x 3 d x = 1 \int_0^1 (2x^3+2x^3)dx=4\int_0^1x^3dx=1 ∫01​(2x3+2x3)dx=4∫01​x3dx=1

在 L 2 L_2 L2​情况下，由于 y = x y=\sqrt{x} y=x ​代入原式等于 ∫ 0 1 2 x ⋅ x d x + x 2 d x = ∫ 0 1 [ 2 x 3 2 + 1 2 x 3 2 ] d x = 5 2 ∫ 0 1 x 3 2 d x = 1 \int_0^1 2x·\sqrt{x}dx+x^2d\sqrt{x}=\int_0^1 [2x^{\frac32} +\frac12x^{\frac32}]dx=\frac52\int_0^1x^{\frac32}dx=1 ∫01​2x⋅x ​dx+x2dx ​=∫01​[2x23​+21​x23​]dx=25​∫01​x23​dx=1

在 L 3 L_3 L3​的情况下

这仨结果都一样，这说明啥？说明做功跟起点和终点的位置有关，跟走的路径无关。

∫ 0 1 2 x ⋅ x 2 d x + x 2 d x 2 \int_0^1 2x·x^2dx+x^2dx^2 ∫01​2x⋅x2dx+x2dx2因为对上式的两部分求偏导，不论是 2 x y 2xy 2xy还是 x 2 x^2 x2其结果都是 2 x 2x 2x。详见格林公式。

计算 ∫ τ x 3 d x + 3 z y 2 d y − x 2 y d z \int_\tau x^3dx+3zy^2dy-x^2ydz ∫τ​x3dx+3zy2dy−x2ydz其中 τ \tau τ如下图 从 A ( 3 , 2 , 1 ) A(3,2,1) A(3,2,1)到 B ( 0 , 0 , 0 ) B(0,0,0) B(0,0,0)的两种路径

1. 沿直线 A B AB AB
2. 沿折线 A C D B ACDB ACDB，其中 C ( 3 , 2 , 0 ) , D ( 3 , 0 , 0 ) C(3,2,0),D(3,0,0) C(3,2,0),D(3,0,0)

对于第一种情况，先转换出参数方程。可由下式移项得 x 3 = y 2 = z 1 = t \frac x3 =\frac y2 =\frac z1=t 3x​=2y​=1z​=t 然后就把 x = 3 t , y = 2 t , z = t x=3t,y=2t,z=t x=3t,y=2t,z=t带入所求的积分式中 ∫ 1 0 ( 3 t ) 3 d 3 t + 3 ⋅ t ⋅ ( 2 t ) 2 d 2 t − ( 3 t ) 2 ⋅ 2 t d t \int_1^0 (3t)^3d3t+3·t·(2t)^2d2t-(3t)^2·2tdt ∫10​(3t)3d3t+3⋅t⋅(2t)2d2t−(3t)2⋅2tdt 其中在 x = 3 x=3 x=3时 t = 1 t=1 t=1， x = 0 x=0 x=0时 t = 0 t=0 t=0，这也是积分的范围

进一步地 − ∫ 0 1 87 t 3 d t = − 87 4 -\int_0^1 87t^3dt=-\frac{87}{4} −∫01​87t3dt=−487​

对于第二种情况则有

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