（1）证明 49 , 4489 , 444889 , 44448889 … 49,4489,444889,44448889… 49,4489,444889,44448889…均为完全平方数 解： 令 f ( n ) = 4 ∑ i = n 2 n ? 1 1 0 i 8 ∑ i = 1 n ? 1 1 0 i 9 ( n ≥ 1 ) f(n)=4\sum_{i=n}^{2n-1}{10^i} 8\sum_{i=1}^{n-1}{10^i} 9 (n\ge1) f(n)=4∑i=n2n?110i 8∑i=1n?110i+9(n≥1) 接着套等比数列公式，得 f ( n ) = 4 9 ( 1 0 2 n − 1 0 n ) + 8 9 ( 1 0 n − 10 ) + 9 f(n)=\frac{4}{9}{(10^{2n}-10^n)}+\frac{8}{9}{(10^{n}-10)}+9 f(n)=94(102n−10n)+98(10n−10)+9 化简，得 f ( n ) = 4 ( 1 0 n ) 2 + 4 ( 1 0 n ) + 1 9 f(n)=\frac{4(10^n)^2+4(10^n)+1}{9} f(n)=94(10n)2+4(10n)+1 开方，得 f ( n ) = 2 × 1 0 n + 1 3 \sqrt{f(n)}=\frac{2\times10^n+1}{3} f(n) =32×10n+1 因为 2 × 1 0 n + 1 ≡ 0 ( m o d 3 ) ( n ≥ 1 ) 2\times10^n+1≡0(mod \ 3) (n\ge1) 2×10n+1≡0(mod 3)(n≥1) 所以 f ( n ) ( n ≥ 1 ) \sqrt{f(n)}(n\ge1) f(n) (n≥1)均为正整数 因此 f ( n ) ( n ≥ 1 ) f(n)(n\ge1) f(n)(n≥1)均为完全平方数 （2）已知 a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d为实数，且满足条件 a + b + c + d + e = 8 , a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = 16 a+b+c+d+e=8,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16 a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16求实数 e e e的取值范围 解： n n n个实数的和为 k k k时，其平方和的最小值为 n ( n k ) 2 n(\frac{n}{k})^2 n(kn)2 首先考虑正数范围内的下限，e可以取0，证明略 因为 e 2 = ( − e ) 2 e^2=(-e)^2 e2=(−e)2，所以使e在满足条件的情况下，尽可能在正数范围内大或在负数范围内小，都需要使得 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 a^2+b^2+c^2+d^2 a2+b2+c2+d2尽可能小，同时考虑e的正数范围内的上限的负数范围内的下限 当e确定时， a 2 + b 2 + c 2 + d 2 a^2+b^2+c^2+d^2 a2+b2+c2+d2最小值为 4 ( 8 − e 4 ) 2 4(\frac{8-e}{4})^2 4(48−e)2 设e在正数范围内的上限的负数范围内的下限为E 所以 E 2 + 4 ( 8 − E 4 ) 2 = 16 E^2+4(\frac{8-E}{4})^2=16 E2+4(48−E)2=16 解得 E 1 = 16 5 , E 2 = 0 ( 舍 ) E1=\frac{16}{5},E2=0(舍) E1=516,E2=0(舍) 因此 0 ≤ e ≤ 16 5 0\le e \le \frac{16}{5} 0≤e≤516