目标平面可以是一个点 x x x法向量 n ? \vec{n} n 还有一点 p i ∈ P k p_i \in P^k pi∈Pk 平面距离为： d i = ( p i ? x ) ? n ? d_i = (p_i - x) \cdot \vec{n} di=(pi​−x)⋅n

即取平面上一点，平面外一点的到平面的距离，就是这两点组成的向量在法向量上面的投影。

如果点到平面的距离为0，即 d i = 0 d_i = 0 di​=0，我们就可以求出平面的法向量了。因此通过以下步骤：

1. 求所有点的质心 p k p^k pk x = p ˉ = 1 k ⋅ ∑ i = 1 k p i x = \bar{p} = \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^k p_i x=pˉ​=k1​⋅i=1∑k​pi​

2. 计算质心 p k p^k pk的协方差矩阵 C ∈ R 3 × 3 C \in \R^{3 \times 3} C∈R3×3，及其特征向量和特征值 C = 1 k ∑ i = 1 k ϵ ⋅ ( p i − p ˉ ) ⋅ ( p i − p ˉ ) T , C ⋅ v j ⃗ = λ j ⋅ v j ⃗ , j ∈ { 0 , 1 , 2 } C = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \epsilon \cdot (p_i - \bar{p}) \cdot (p_i - \bar{p})^T, C\cdot \vec{v_j} = \lambda_j \cdot \vec{v_j}, j\in \{0, 1, 2\} C=k1​i=1∑k​ϵ⋅(pi​−pˉ​)⋅(pi​−pˉ​)T,C⋅vj​ ​=λj​⋅vj​ ​,j∈{ 0,1,2}

   其中 ϵ \epsilon ϵ通常为1。 C C C是对称和半正定矩阵且它的特征值是实数 λ j ∈ R \lambda_j \in \R λj​∈R。特征向量 v j ⃗ \vec{v_j} vj​ ​形成了orthogonal frame， 相对应于质心 p k p^k pk的主成分(principal components)。 如果 0 ≤ λ 0 ≤ λ 1 ≤ λ 2 0 \leq \lambda_0 \leq \lambda_1 \leq \lambda_2 0≤λ0​≤λ1​≤λ2​，最小特征值 λ 0 \lambda_0 λ0​的特征向量 v 0 ⃗ \vec{v_0} v0​ ​就是法向量 + n ⃗ = { n x , n y , n z } + \vec{n} = \{n_x, n_y, n_z\} +n ={ nx​,ny​,nz​}或者 − n ⃗ - \vec{n} −n 的近似。 或者， n ⃗ \vec{n} n 可以在球坐标系下用 ϕ , θ \phi, \theta ϕ,θ表示: ϕ = arctan ⁡ ( n z n y ) , θ = arctan ⁡ ( n y 2 + n z 2 ) n x \phi = \arctan (\frac{n_z}{n_y}) , \theta = \arctan \frac{\sqrt{(n_y^2+n_z^2)}}{n_x} ϕ=arctan(ny​nz​​),θ=arctannx​(ny2​+nz2​) ​​

   可以看到，通过主成分分析法(PCA)来计算它的方向具有二异性，无法对整个点云数据集的法向方向进行一致性定向。 如下图所示：

   

3. 计算法向与视点 解决这个问题的办法就是使用视点 V p V_p Vp​。对所有法线 n i ⃗ \vec{n_i} ni​ ​定向只需要使它们一致朝向视点的方向，满足下面的方程式: n i ⃗ ⋅ ( V p − p i ) > 0 \vec{n_i} \cdot (V_p - p_i) > 0 ni​ ​⋅(Vp​−pi​)>0

先来看看PCL法向量估计的模板。通常包含以下步骤：

• 设置输入点云，及其索引方法
• 设置临近点的半径
• 计算法向量