机器人学基础–左乘和右乘

有坐标系{A}，坐标系{A}改变齐次坐标，得到{B}，此时变换矩阵 T B A T_B^A TBA；坐标系{B}再次改变坐标，得到{C}， 此时变换矩阵为 T C A = T C B T B A T_C^A = T_C^BT_B^A TCA=TCBTBA 时称为左乘，为 T C A = T B A T C B T_C^A = T_B^AT_C^B TCA​=TBA​TCB​ 时称为右乘。

坐标系{A}中的一矢量 p p p，记此时 p p p 为 p 0 p_0 p0​（ p 0 p_0 p0​ 与坐标系{A}固连）； p 0 p_0 p0​经过坐标系{A}的变换得到坐标系{B}后，相应的得到一个新位置，记此时 p p p 为 p 1 p_1 p1​（ p 1 p_1 p1​ 与坐标系{B}固连，注意 p 1 p_1 p1​ 在坐标系{B}中的坐标值就是 p 0 p_0 p0​）； p 1 p_1 p1​经过坐标系{B}的变换得到坐标系{C}后，也相应的得到一个新位置，记此时 p p p 为 p 2 p_2 p2​（ p 2 p_2 p2​ 与坐标系{B}固连，注意 p 2 p_2 p2​ 在坐标系{B}中的坐标值也是 p 0 p_0 p0​）。

变换矩阵 T B A T_B^A TBA​ 的含义是坐标系{A}变换到坐标系{B}的变换矩阵（并没有提到变换的方式），但这里有一个问题（左乘和右乘区别的来源）： T B A T_B^A TBA​ 是怎么计算的？—— T B A = [ R B A P B o A   0 1 ] T_B^A = \left[ \begin{matrix} R_B^A & P_{B_o}^A \\\ 0 & 1\end{matrix} \right] TBA​=[RBA​ 0​PBo​A​1​]，其中的 R B A R_B^A RBA​ 与 P B o A P_{B_o}^A PBo​A​ 的计算直接导致了左乘和右乘。

以旋转矩阵为例，在坐标系{B}变换到坐标系{C}的过程中， R B A = R o t ( x , θ ) R_B^A = Rot(x,\theta) RBA​=Rot(x,θ) 中 x x x 的来源（坐标系{A}？坐标系{B}?）

现给出 p 1 = R o t ( x , θ ) p 0 p_1 = Rot(x, \theta) p_0 p1​=Rot(x,θ)p0​（没有进行平移变换），其中 x 轴是指坐标系{A}中的 x 轴。

注意上式中各个变量的意义：

• p 1 p_1 p1​：矢量 p p p 变换后的坐标
• p 0 p_0 p0​：矢量 p p p 变换前的坐标（原坐标）
• R o t ( x , θ ) Rot(x, \theta) Rot(x,θ)：以矢量 p 0 p_0 p0​（原坐标）所在的坐标系的轴为旋转轴进行旋转（角度为 θ \theta θ）

也就是说 T B A T_B^A TBA​ 的基准坐标系是 坐标系{A}（原坐标系）

1. 坐标系{B}变换到坐标系{C}，变换基准是坐标系{A}

变换前 p p p 在{A}中的坐标为 p 1 p_1 p1​，变换后 p p p 在{A}中的坐标为 p 2 p_2 p2​，得到

p 2 = T C B p 1 p_2 = T_C^B p_1 p2​=TCB​p1​

因此有

p 2 = T C A p 1 = T C B ( T B A p 0 ) = T C B T B A p 0 p_2 = T_C^A p_1 = T_C^B (T_B^A p_0) = T_C^B T_B^A p_0 p2​=TCA​p1​=TCB​(TBA​p0​)=TCB​TBA​p0​ ==> T C A = T C B T B A T_C^A = T_C^B T_B^A TCA​=TCB​TBA​（左乘）

2. 坐标系{B}变换到坐标系{C}，变换基准是坐标系{B}

变换前 p p p 在{B}中的坐标为 p 1 B p_1^B p1B​，变换后 p p p 在{B}中的坐标为 p 2 B p_2^B p2B​，得到

p 2 B = T C B p 1 B p_2^B = T_C^B p_1^B p2B​=TCB​p1B​