??在解决实际问题的时候，多变量问题是经常会遇到的，变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性。同时，在许多实际问题中，多个变量有一定的相关性。因此，在研究各变量之间关系的基础上， 用更少的新变量代替更多的原始变量，并尽可能多地保留更多的原始变量所反映的信息？事实上，这种想法是可以实现的。

??PCA(Principal Components Analysis,，主要成分分析)是一种统计分析方法，将多个变量化为少数综合指标。从数学的角度来看，这是一种降维处理技术。 以下示例说明其原理，并添加以下数据：

以上数据可视为椭圆形，椭圆有长轴和短轴。 在短轴方向上， 在极端情况下，在极端情况下，如果短轴稍微退化， 这些点的变化只能在长轴的方向上解释。这样，从二维到一维的降维自然就完成了。 从数据波动的角度来看，短轴上数据的方差较小，因此轴上的信息属于次信息；长轴上数据的方差较大，因此轴上的信息属于主信息。了解 PCA 在基本原理之后，我们必须考虑一个问题，PCA 优化的目标是什么？请看下图：

我们将上图中的点投影到两个超平面上，分别得到不同超平面的方差：0.045，0.因此，所有样本点都投影到方差 0.206 的超平面能在实现降维的目标且保留更多的信息。因此 PCA 要尽可能分离所有样本的投影，即找到样本投影后方差最大的超平面来降低维度。我们称上述降维标准为 最大可分性；同时，样本点击超平面的距离足够近，即下图中所有红线（即投影造成的损失）加起来最小，即保留更多信息。我们称这个标准为 最近重构性。

??PCA 算法流程的总体描述如下：

输入：样本集 D = x 1 , x 2 , ? ? , x m \boldsymbol{D = {x_1,x_2, \cdots,x_m}} D=x1,x2​,⋯,xm​； 低维空间维数 k \boldsymbol{k} k;

过程：

1：对所有样本进行零均值化： x i ← x i − 1 m ∑ i = 1 m x i \boldsymbol{x_i\leftarrow x_i - \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_i} xi​←xi​−m1​∑i=1m​xi​;

2：计算样本的协方差矩阵 X X T \boldsymbol{XX^T} XXT;

3：对协方差矩阵 X X T \boldsymbol{XX^T} XXT 做特征值分解；

4：取最大的 k \boldsymbol{k} k 个的特征值所对应的特征向量 w 1 , w 2 , ⋯   , w k \boldsymbol{w_1, w_2, \cdots, w_{k}} w1​,w2​,⋯,wk​;

输出：投影矩阵 W = ( w 1 , w 2 , ⋯   , w k ) \boldsymbol{W = (w_1, w_2, \cdots, w_{k})} W=(w1​,w2​,⋯,wk​)。

下面对每个步骤进行详细分析。

  此步骤的目的是标准化输入数据集，使数据成比例缩小。更确切地说，在使用 PCA 之前必须标准化数据的原因是 PCA 方法对初始变量的方差非常敏感。也就是说，如果初始变量的范围之间存在较大差异，那么范围较大的变量占的比重较大，和较小的变量相比(例如，范围介于 0 和 100 之间的变量较 0 到 1 之间的变量会占较大比重)，这将导致主成分的偏差。通过将数据转换为同样的比例可以防止这个问题。在实现过程中，我们的操作区别于标准的标准化，我们只将每个样本减去它们的均值。

  此步骤的目的是了解输入数据集的变量相对于彼此平均值变化，换句话说，查看它们是否存在关系。因为有时候变量由于高度相关，这样就会包含冗余信息。因此，为了识别变量的相关性，我们计算协方差矩阵。下面以二维矩阵为例： C = [ C o v ( x , x ) C o v ( x , y ) C o v ( x , z ) C o v ( y , x ) C o v ( y , y ) C o v ( y , z ) C o v ( z , x ) C o v ( z , y ) C o v ( z , z ) ] C= \begin{bmatrix} Cov(x,x)&Cov(x,y)&Cov(x, z)\\ Cov(y,x)&Cov(y, y)&Cov(y,z)\\ Cov(z,x)&Cov(z, y)&Cov(z,z) \end{bmatrix} C=⎣ ⎡​Cov(x,x)Cov(y,x)Cov(z,x)​Cov(x,y)Cov(y,y)Cov(z,y)​Cov(x,z)Cov(y,z)Cov(z,z)​⎦ ⎤​ 上述矩阵中，对角线上分别是特征 x , y , z x, y,z x,y,z 的方差，非对角线上是协方差。由于协方差是可交换的 C o v ( a , b ) = C o v ( b , a ) Cov(a, b) = Cov(b,a) Cov(a,b)=Cov(b,a)，协方差矩阵关于主对角线是对称的，这意味着上三角部分和下三角部分相等。协方差矩阵可以告诉我们变量之间的关系，总结有如下三点：

• 如果协方差为正则：两个变量一起增加或减少(正相关)；
• 如果协方差为负则：两个变量其中一个增加，另一个减少(负相关)；
• 协方差绝对值越大，两者对彼此的影响越大，反之越小。

  求协方差矩阵 C C C 的特征值 λ \lambda λ 和相对应的特征向量 u u u (每一个特征值对应一个特征向量)： C u = λ u Cu = \lambda u Cu=λu 特征值 λ \lambda λ 会有 N N N 个，每一个 λ \lambda λ 对应一个特征向量 u u u，将特征值 λ \lambda λ 按照从大到小的顺序排序，选择最大的前 K K K 个，并将其相对应的 K K K 个特征向量拿出来，我们会得到一组 { ( λ 1 , u 1 ) , ( λ 2 , u 2 ) , ⋯   , ( λ k , u k ) } \{(\lambda_1,u_1),(\lambda_2,u_2),\cdots,(\lambda_k, u_k)\} {(λ1​,u1​),(λ2​,u2​),⋯,(λk​,uk​)}。为什么只取特征值较大的特征向量，因为较大特征值对应的特征向量保留了原始数据的大部分信息吗，也即方差较大，可作为数据的主成分。

  选取最大的前 K K K 个特征值和相对应的特征向量，并进行投影的过程，就是降维的过程。对于每个样本 X i X_i Xi​，原始的特征是 ( x 1 , x 2 , ⋯   , x m ) (x_1, x_2, \cdots,x_m) (x1​,x2​,⋯,xm​)，投影之后的新特征是 ( y 1 , y 2 , ⋯   , y k ) (y_1,y_2,\cdots,y_k) (y1​,y2​,⋯,yk​)，计算过程如下： [ y 1 i y 2 i ⋮ y k i ] = [ u 1 T ⋅ ( x 1 i , x 2 i , ⋯   , x m i ) T u 2 T ⋅ ( x 1 i , x 2 i , ⋯   , x m i ) T ⋮ u k T ⋅ ( x 1 i , x 2 i , ⋯   , x m i ) T ] \begin{bmatrix} y_1^i\\ y_2^i\\ \vdots \\ y_k^i\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u^T_1\cdot(x_1^i, x_2^i, \cdots,x_m^i)^T\\ u^T_2\cdot(x_1^i, x_2^i, \cdots,x_m^i)^T\\ \vdots\\ u^T_k\cdot(x_1^i, x_2^i, \cdots,x_m^i)^T \end{bmatrix} ⎣ ⎡​y1i​y2i​⋮yki​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​u1T​⋅(x1i​,x2i​,⋯,xmi​)Tu2T​⋅(x1i​,x2i​,⋯,xm