1984年，Astrom其他人提出了继电反馈算法：如果继电系统最终稳定并产生极限环振荡，则可以利用振荡曲线信息估计被控过程的频率信息。

在测试模式下，系统的等效框图如图2所示。确定系统的振荡频率 ω c \omega_c ωc与临界增益 K c K_c Kc描述函数的方法有很多，其实是根据非线性环节输入信号与输出信号之间的基波分量关系进行近似的有效方法。(建议先复习描述函数)

描述函数的非线性链接 N ( A ) N(A) N(A) 是指：当输入是正弦信号 A s i n ( ω t ) Asin(\omega t) Asin(ωt)时，输出信号的基波分量 Y s i n ( ω t + φ ) Ysin(\omega t + \varphi) Ysin(ωt+φ)对输入正弦量的复数比，即 N ( A ) = Y A ∠ φ = A 1 2 + B 1 2 A ∠ φ N(A)=\frac{Y}{A \angle \varphi}= \frac{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}}{A\angle \varphi} N(A)=A∠φY​=A∠φA12​+B12​ ​​ 其中的 A 1 A_1 A1​和 B 1 B_1 B1​是输出信号的傅里叶级数的第一项的系数。

实际的带有回环的继电非线性环节的描述函数可以表示为 N ( A ) = 4 d π A 2 ( A 2 − ε 2 − j ε ) N(A)=\frac{4d}{\pi A^2}(\sqrt{A^2-\varepsilon^2}-j\varepsilon) N(A)=πA24d​(A2−ε2 ​−jε) 公式中 A A A为正弦波幅值， d d d为回环幅值， ε \varepsilon ε为回环宽度的一半。这里考虑更简单的情况，假设继电环节为理想继电环节，即 ε = 0 \varepsilon=0 ε=0，则可得到下式 N ( A ) = 4 d π A N(A)=\frac{4d}{\pi A} N(A)=πA4d​ 设被控对象的传递函数如下所示 G ( s ) = K e − τ s 1 + T s G(s)=\frac{Ke^{-\tau s}}{1+Ts} G(s)=1+TsKe−τs​ 其中 K K K为对象的增益， T T T为对象的时间常数， τ \tau τ为对象的滞后时间。

考虑由具有传递函数 G ( s ) G(s) G(s)的对象和具有继电特性的反馈部分组成的简单反馈系统如图2所示。这时系统的闭环特征方程发生振荡的条件可以写成： 1 + N ( A ) G ( s ) = 0     ( s = j ω c ) 1+N(A)G(s)=0 \ \ \ (s=j\omega_c ) 1+N(A)G(s)=0   (s=jωc​)（奈奎斯特稳定判据），即 G ( j ω c ) = − 1 / N ( A ) G(j\omega_c)=-1/N(A) G(jωc​)=−1/N(A)。则可得出临界频率（穿越频率） ω c \omega_c ωc​的增益 K c = 1 ∣ G ( j ω c ) ∣ = N ( A ) K_c=\frac{1}{|G(j\omega_c)|}=N(A) Kc​=∣G(jωc​)∣1​=N(A) 最终我们得到系统的临界增益 K c = 4 d π A K_c =\frac{4d}{\pi A} Kc​=πA4d​ 系统的振荡周期 T c T_c Tc​可以通过测量输出曲线相邻峰值的时间得到

到这里，我们就获得了 K c K_c Kc​和 T c T_c Tc​，按照Z-N表即可获得PID参数，如下所示

搭建simulink仿真图，如下所示

将开关打到继电环节上，进行继电特性测试，以获取被控过程特性参数，得到下图

得到 T c = 2.9 s T_c=2.9s Tc​=2.9s， K c = 29 K_c=29 Kc​=29，按照Z-N整定表，整定得PID参数分别为 K p = 17.4 ， K i = 11.9 , K d = 6.05 K_p = 17.4，K_i = 11.9, K_d = 6.05 Kp​=17.4，Ki​=11.9,Kd​=6.05。得到参数后将开关打到PID控制器并输入控制器参数，仿真得到下图