第9章-信号处理

虽然采样表示已经在电信使用多年，但在过去十年中使用越来越多的数字记录音频后，1982 光盘是采样的第一个热消费应用。

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数字音频记录链可作为图形中采样和重建过程的具体模型。 同样的欠采样和重建伪影图像或图形中的其他采样信号也发生，解决方案是一样的:采样前过滤，重建期间再过滤

图 9.2 显示了伪影类型的具体示例，可能是由于采样频率过低造成的。 在这里，我们使用两种不同的采样频率来采样简单的正弦波：顶部的每个周期 10.8 每个样本的底部，每个周期的底部 1.2 个样本。 高速产生一组能很好地捕捉信号的样本，但低采样率产生的样本与低频正弦波样本无法区分——事实上，面对这组样本，低频正弦波似乎 更有可能解释。

一旦采样完成，就不可能知道两个信号中的哪一个(快正弦波或慢正弦波)是原始信号，所以在这两种情况下没有正确重建信号的方法。 由于高频信号假装为低频信号，这种现象为低频信号。

在讨论采样和重建算法之前，我们将首先检查它们所基于的数学概念-卷积。 卷积是一个简单的数学概念，是采样、过滤和重建算法的基础。 这也是本章后面分析这些算法的基础。

卷积是函数的一种操作：它需要两个函数并将其组合起来产生新的函数。 在本书中，卷积算子用星号表示：对函数 f 和 g 应用卷积的结果是 f * g。 我们说f与g卷积，f*g是f与g的卷积。

卷积可用于连续函数(任何实参数) x 定义的函数 f(x)）或者离散序列(仅为整数参数) i 定义的函数 a[i]）。 也可应用于定义在一维、二维或更高维域的函数(即具有一个、两个或多个参数的函数)。 我们先从离散的一维情况开始，然后继续讨论连续函数、二维函数和三维函数

为了方便定义，我们通常假设函数域永远存在。当然，在实践中，它们必须停留在某个地方，我们必须以特殊的方式处理端点

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要获得卷积的基本图像，请考虑使用移动平均平滑一维函数的示例(图 9.3）。 为了在任何点获得平滑值，我们计算函数在每个方向的延伸距离 r 平均值在范围内。 距离 r，称为平滑操作的半径，是控制发生多少平滑的参数。

我们可以用数学方法来解释离散或连续函数的想法。 如果我们平滑一个连续 g(x)，平均意味着在一个范围内 g 除以区间长度： h ( x ) = 1 2 r ∫ x − r x + r g ( x ) d t h(x) = \frac{1}{2r} \int_{x-r}^{x+r}g(x)dt h(x)=2r1​∫x−rx+r​g(x)dt ​ 另一方面，如果我们要平滑离散函数 a[i]，平均意味着将一系列索引的 a 相加并除以值的数量： c [ i ] = 1 2 r + 1 ∑ j = i − r i + r a [ j ] c[i] = \frac{1}{2r+1} \sum_{j=i-r}^{i+r} a[j] c[i]=2r+11​j=i−r∑i+r​a[j] ​ (9.1)

​ 在每种情况下，选择归一化常数，以便如果我们平滑一个常数函数，结果将是相同的函数

​ 这种移动平均线的思想是卷积的本质； 唯一的区别是在卷积中移动平均是加权平均。

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​ 我们将从卷积的最具体情况开始：将离散序列 a[i] 与另一个离散序列 b[i] 进行卷积。 结果是一个离散序列(a*b)[i]。 这个过程就像用移动平均值平滑 a 一样，但这次不是对距离 r 内的所有样本均等加权，而是使用第二个序列 b 为每个样本赋予权重（图 9.4）。 值 b[i − j] 给出了位置 j 处样本的权重，该位置距离我们正在评估卷积的索引 i 的距离为 i − j。 这里是（a * b）的定义，用公式表示： ( a ∗ b ) [ i ] = ∑ j a [ j ] b [ i − j ] (a*b)[i] = \sum_ja[j]b[i-j] (a∗b)[i]=j∑​a[j]b[i−j] ​ (9.2)

​ 通过省略 j 的边界，我们表明这个总和在所有整数上运行（即，从 -∞ 到 +∞）。以 图 9.4 为例说明了如何计算一个输出样本。b=1/16[ . . , 0, 1, 4, 6, 4, 1, 0, . . .]——即 b[0] = 6/16 ，a[±1] = 4/16 等。

​ 在图形中，这两个函数之一通常具有有限支持（如图 9.4 中的示例），这意味着它仅在参数值的有限区间内为非零值。 如果我们假设 b 具有有限支持，则存在某个半径 r 使得 b[k] = 0 每当 |k| > r。 在这种情况下，我们可以将上面的总和写为 ( a ∗ b ) [ i ] = ∑ j = i − r i + r a [ j ] b [ i − j ] (a*b)[i] = \sum_{j=i-r}^{i+r}a[j]b[i-j] (a∗b)[i]=j=i−r∑i+r​a[j]b[i−j] 我们可以在代码中表达定义为

function convolve(sequence a, filter b, int i)
    s = 0;
	r = b.radius;
	for j = i - r to i + r do
        s = s + a[j]b[i-j];
return s

​ 卷积很重要，因为我们可以用它来执行过滤。 回顾我们的第一个过滤示例，即移动平均，我们现在可以将平滑操作重新解释为与特定序列的卷积。 当我们在某个有限范围的指数上计算平均值时，这与对范围内的所有点都进行相同加权并用零对其余点进行加权是相同的。 这种滤波器在非零区间内具有恒定值，称为盒式滤波器（因为如果绘制图形，它看起来像一个矩形——见图 9.5）。 对于半径为 r 的盒式滤波器，权重为 1/(2r + 1)：

b [ k ] = { 1 2 r + 1 , -r <= k <= r, 0 , otherwise. b[k] = \begin{cases} \frac{1}{2r+1}, &\text{-r <= k <= r,}\\ 0, &\text{otherwise.}\\ \end{cases} b[k]={ 2r+11​,0,​-r <= k <= r,otherwise.​ ​ 如果你把这个滤波器代入方程（9.2），你会发现它可以推导到方程（9.1）中的移动平均

​ 在这个例子中，卷积滤波器通常被设计为它们的总和为 1。这样，它们就不会影响信号的整体电平。

例子： 对于过滤的简单示例，让信号为阶跃函数 a [ i ] = { 1 , i >= 0, 0 , i<0. a[i] = \begin{cases} 1, &\text{i >= 0,}\\ 0, &\text{i<0.}\\ \end{cases} a[i]={ 1,0,​i >= 0,i<0.​ ​ 并且过滤器是以零为中心的五点盒式过滤器， b [ k ] = 1 5 { 1 , -2 <= k <= 2, 0 , otherwise. b[k] = \frac{1}{5} \begin{cases} 1, &\text{-2 <= k <= 2,}\\ 0, &\text{otherwise.}\\ \end{cases} b[k]=51​{ 1,0,​-2 <= k <= 2,otherwise.​ ​ a 和 b 的卷积结果是什么？ 在特定索引 i 处，如图 9.6 所示，结果是阶跃函数在 i − 2 到 i + 2 范围内的平均值。如果 i < −2，我们对所有零进行平均，结果为零。 如果 i ≥ 2，我们对所有 1 求平均，结果为 1。 中间有 i + 3 个，结果为 (i+3/5) 。输出是一个线性斜坡，在五个样本中从 0 到 1：1/5[。 . . , 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, . . .]。

​ 到目前为止，我们所写的方式，卷积似乎是一种非对称操作：a 是我们正在平滑的序列，b 提供权重。 但是卷积的一个很好的特性是它实际上没有任何区别，即：滤波器和信号是可以互换的。 要看到这一点，只需重新考虑公式 (9.2) 中的总和，索引从滤波器 b 的原点开始计数，而不是从 a 的原点开始计数。 也就是说，我们用 i - k 替换 j。 这种变量变化的结果是 ( a ∗ b ) [ i ] = ∑ k a [ i − k ] b [ i − ( i − k ) ] = ∑ k b [ k ] a [ i − k ] (a*b)[i] = \sum_k a[i-k]b[i-(i-k)] =\sum_kb[k]a[i-k] (a∗b)[i]=k∑​a[i−k]b[i−(i−k)]=k∑​b[k]a[i−k] 这与方程 (9.2) 完全相同，但 a 作为滤波器，b 作为信号。 所以对于任何序列 a 和 b，(a* b) = (b*a)，我们说卷积可以做交换操作。

​ 更一般地说，卷积是一种“类似乘法”的操作。 与数字或函数的乘法或加法一样，参数的顺序和括号的位置都不会影响结果。 此外，卷积以与乘法相同的方式与加法相关。 准确地说，卷积是可交换的和可结合的，并且它是分布于加法的。

​ 交换: （a * b）[i] = (b * a)[i]

​ 结合: (a*(b * c))[i] = ((a* b) * c)[i]

​ 分配：（a*(b+c)）[i] = (a * b + a * c)[i]

​ 如果我们将卷积视为乘法，那么这些属性是非常自然的，并且它们非常易于了解，因为它们可以通过在我们实际计算卷积之前通过简化卷积来帮助我们节省工作。 例如，假设我们想要一个序列 a 并用三个过滤器 b1、b2 和 b3 对它进行卷积——也就是说，我们想要 ((a b1) * b2) b3。 如果序列很长而滤波器很短（即它们的半径很小），则首先将三个滤波器一起卷积（计算 b1 *b2 b3），最后将结果与信号卷积，计算速度要快得多 a * (b1 *b2 *b3)，我们从结合性知道它给出了相同的结果。

​ 一个非常简单的滤波器用作离散卷积的标识：它是半径为零的离散滤波器，或序列 d[i] = 。 . . , 0, 0, 1, 0, 0, . . . （图 9.7）。 如果我们将 d 与信号 a 进行卷积，则总和中将只有一个非零项： ( a ∗ b ) [ i ] = ∑ j = i j = i a [ j ] b [ i − j ] = a [ i ] (a*b)[i] = \sum_{j=i}^{j=i} a[j]b[i-j] = a[i] (a∗b)[i]=j=i∑j=i​a[j]b[i−j]=a[i] ​ 很明显，将 a 与 d 进行卷积只会再次返回 a。 序列 d 被称为离散脉冲。 它有时在表达滤波器时很有用：例如，用滤波器 b 平滑信号 a 然后从原始信号中减去它的过程可以表示为与滤波器 d - b 的单个卷积：

​ c = a - a * b = a * d - a * b = a * (d - b)

​ 有第二种完全等效的方式来解释方程（9.2）。 一次查看一个 b 的样本会导致我们已经看到的加权平均解释。 但是如果我们省略 [i]，我们可以将总和视为将整个序列相加。 需要一个符号来完成这项工作：如果 b 是一个序列，那么右移 j 个位置的相同序列称为 b→j（图 9.8）：

​ b→j[i] = b[i - j]

然后，我们可以将方程（9.2）写成关于整个序列（a* b）而不是逐个元素的陈述： ( a ∗ b ) = ∑ j a [ j ] b − > j (a * b) = \sum_j a[j]b->j (a∗b)=j∑​a[j]b−>j ​ 从这个角度来看，卷积是 b 的移位副本的总和，由 a 的条目加权（图 9.9）。 由于可交换性，我们可以选择 a 或 b 作为过滤器； 如果我们选择 b，那么我们将为输入中的每个样本添加一个过滤器副本。

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9.2.4 连续函数卷积（Convolution with Continuous Functions ）

​ 虽然离散序列确实是我们在计算机程序中实际使用的，但这些采样序列应该代表连续函数，并且通常我们需要对连续函数进行数学推理以弄清楚要做什么。 因此，定义连续函数之间以及连续函数和离散函数之间的卷积很有用。

​ 两个连续函数的卷积是方程（9.2）的明显推广，用积分代替总和： ( f ∗ g ) ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) g ( x − t ) d t (f*g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)g(x-t)dt (f∗g)(x)=∫−∞+∞​f(x)g(x−t)dt ​ (9.3)

​ 解释此定义的一种方法是，在参数 x 处计算的 f 和 g 的卷积是两个函数的乘积曲线下的面积

​ 在我们移动 g 使得 g(0) 与 f(t) 对齐之后。 就像在离散情况下一样，卷积是一个移动平均值，滤波器提供平均值的权重（见图 9.10）

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​ 像离散卷积一样，连续函数的卷积是可交换的和结合的，并且是分配的加法。 同样与离散情况一样，连续卷积可以被视为滤波器副本的总和，而不是加权平均值的计算。 除了在这种情况下，过滤器 g 有无限多个副本： ( f ∗ g ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) g → t d t (f * g) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g\rightarrow t dt (f∗g)=∫−∞+∞​f(t)g→tdt 例子（两个框函数的卷积）。令 f 为盒函数 $$ f(x) = \begin{cases}

1. &\text{-1/2 <= x < 1/2,}\ 0 &\text{otherwise.}\ \end{cases} 那 么 什 么 是 f ∗ f 呢 ？ 定 义 （ 公 式 9.3 ） 给 出 那么什么是 f * f 呢？定义（公式 9.3）给出 那么什么是f∗f呢？定义（公式9.3）给出 (f * f)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(x-t)dt $$ 图 9.11 显示了这种积分的两种情况。 这两个框可能有零重叠，当 x ≤ -1 或 x ≥ 1 时会发生这种情况； 在这种情况下，结果为零。 当−1 < x < 1 时，重叠取决于两个框之间的间隔，

​ 这是|x|;结果是 1 − |x|。所以 ( f ∗ f ) ( x ) = { 1 − ∣ x ∣ . -1< x < 1, 0 otherwise. (f*f)(x) = \begin{cases} 1-|x|. &\text{-1< x < 1,}\\ 0 &\text{otherwise.}\\ \end{cases} (f∗f)(x)={ 1−∣x∣.0​-1< x < 1,otherwise.​ 此函数称为帐篷函数，是另一种常见的过滤器（请参阅第 9.3.1 节）

​ 在离散卷积中，我们看到离散脉冲 d 充当身份：d * a = a。 在连续情况下，还有一个恒等函数，称为狄拉克脉冲或狄拉克 delta 函数，表示为 δ(x)。