Schur \texttt{Schur} Schur 不等式： x ， y ， z x，y，z x，y，z 非负实数， r r r 为实数时，下列不等式成立 x r ( x ? y ) ( x ? z ) y r ( y ? x ) ( y ? z ) z r ( z ? x ) ( z ? y ) ≥ 0 x^r(x-y)(x-z) y^r(y-x)(y-z) z^r(z-x)(z-y)\ge 0 xr(x?y)(x?z) yr(y?x)(y?z)+zr(z−x)(z−y)≥0

• r = 0 r=0 r=0 时 ( x − y ) ( x − z ) + ( y − x ) ( y − z ) + ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 (x-y)(x-z)+(y-x)(y-z)+(z-x)(z-y)\ge 0 (x−y)(x−z)+(y−x)(y−z)+(z−x)(z−y)≥0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − x y − y z − z x ≥ 0 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\ge 0 ⇔x2+y2+z2−xy−yz−zx≥0 ⇔ 1 2 { ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 } ≥ 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\} \ge 0 ⇔21​{ (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2}≥0
• r = 1 r=1 r=1 时 x ( x − y ) ( x − z ) + y ( y − x ) ( y − z ) + z ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)\ge 0 x(x−y)(x−z)+y(y−x)(y−z)+z(z−x)(z−y)≥0 ⇔ x 3 + y 3 + z 3 + 3 x y z ≥ x y ( x + y ) + y z ( y + z ) + z x ( z + x ) \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) ⇔x3+y3+z3+3xyz≥xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)
• r = 1 2 r=\dfrac{1}{2} r=21​ 时 x ( x − y ) ( x − z ) + y ( y − x ) ( y − z ) + z ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 \sqrt{x}(x-y)(x-z)+\sqrt{y}(y-x)(y-z)+\sqrt{z}(z-x)(z-y)\ge 0 x ​(x−y)(x−z)+y ​(y−x)(y−z)+z ​(z−x)(z−y)≥0 ⇔ x 3 2 ( y + z − x ) + y 3 2 ( z + x − y ) + z 3 2 ( x + y − z ) ≤ x y z ( 1 x + 1 y + 1 z ) \Leftrightarrow x^{\frac{3}{2}}(y+z-x)+y^{\frac{3}{2}}(z+x-y)+z^{\frac{3}{2}}(x+y-z)\le xyz\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right) ⇔x23​(y+z−x)+y23​(z+x−y)+z23​(x+y−z)≤xyz(x ​1​+y ​1​+z ​1​)

证明： 左边是 x , y , z x,y,z x,y,z 的对称式，设 x ≥ y ≥ z x\ge y\ge z x≥y≥z 不失一般性．