环岛元素是智能汽车比赛中难以处理的元素之一。比赛要求智能汽车检测环岛，从入口驶入，绕行约 270°离开环岛后，高响应性和高鲁棒性检测环岛是后续进出环岛步骤的基础。根据计算机视觉中的多视图几何学，本文证明了环岛椭圆投影的存在，利用优化的最小二乘法拟合法，并结合相关限制识别环岛。

环岛元素是智能汽车比赛中难以处理的元素之一。由于车身在驾驶过程中的不确定性，很难保证稳定的识别效果。如图所示 1-1 与图 1-2 所示。

本文分析了传统电磁识别和摄像头识别环岛的优缺点，首先证明了环岛椭圆投影的正确性，然后提出了基于椭圆拟合的环岛识别方法，通过拉格朗日算子优化最小二乘误差函数，将结果转化为特征向量的形式。最后，通过模拟和实验验证了环岛识别方案的性能，并给出了方案评价和进一步研究的方向。

环岛检测方案可分为摄像头识别和电磁识别。

智能车大赛道路首先布置通有 20kHz、100mA 交变电流的中心电磁导线，频率范围 20k±1kHz，电流范围 100±20mA。由于电磁导线与环岛完全绕行，在环岛圆与轨道的交叉口等效为电磁场的两倍，因此可配置在智能汽车前支架上

电感检测装置检测智能车是否到达环岛入口，即点 B 位置。若电磁测量值约为正常行驶时的两倍，则可放置在环标位置。

该方案的缺点是检测效果滞后。当通过摄像头正常搜索时，由于车身到入口点，可以检测到环岛，车辆在 A、B 在点之间，由于缺乏左轨道，智能汽车将偏移到左边，然后通过扫描到岛内边缘进行校正。这一过程震荡了智能汽车，导致驾驶

使用摄像头识别环岛入口的常规方法如下。

（1） 右轨道突然变宽，左轨道正常，标志位置 1。 （2） 右轨道丢线，左轨道正常，标志位置为 2。 （3） 右轨由宽变窄，然后逐渐变宽，左轨不变，标志位置为 3。 （4） 右轨道再次丢线，标志位置为 4。 （5） 若标志位等于 四、识别环岛。

该方案计算量小，但仍存在滞后检测效果。智能汽车将在范围内 2 小右转会影响后续过程的判断过程。此外，该方案是一个过程方案。如果在判断过程中有一步意外错误，则无法正确判断为环岛入口，导致智能汽车无法进入环，甚至冲出轨道。

建模椭圆投影，如下图所示。将P平圆投影到H平面。设置P平面的椭圆长半轴长度为A，短半轴的长度为B。P平面与H平面的夹角为 α \alpha α。

取 0 0 < α < 9 0 0 0^0 < \alpha < 90^0 00<α<900。笛卡尔坐标系建立在P平面上XOY，X轴上有椭圆长轴，Y轴上有椭圆短轴，线段OO1的长度为L。可以平面P上的椭圆方程为：

一束平行光 O 1 o 1 O_1 o_1 O1​o1​的方向照烧，是P平面椭圆映射在H平面上，形成椭圆o1。

在平面H上建立笛卡尔坐标系，oy与OY相重合，OX投影于ox，椭圆上一点M(X,Y)投影到m(x,y)，可知两平面的坐标系关系为：

联立C-1与C-2，得： 令 m = A ⋅ cos ⁡ α ,    n = B ,    p = L ⋅ cos ⁡ α m = A \cdot \cos \alpha ,\,\,n = B,\,\,p = L \cdot \cos \alpha m=A⋅cosα,n=B,p=L⋅cosα

将C-3记作：

显然，C-4为椭圆方程，即平面P上的椭圆经过平行光投影后仍然是椭圆。

特殊的，当平面P上的椭圆为圆时，有： L = 0 , A = B = R L = 0,A = B = R L=0,A=B=R，则C-3为：

令 m ′ = R ⋅ cos ⁡ α ,    n ′ = n m' = R \cdot \cos \alpha ,\,\,n' = n m′=R⋅cosα,n′=n，平面H上的投影为： x 2 m ′ 2 + y 2 n ′ 2 = 1 { {x^2 } \over {m'^2 }} + { {y^2 } \over {n'^2 }} = 1 m′2x2​+n′2y2​=1

显然，当 cos ⁡ α ≠ 1 \cos \alpha \ne 1 cosα​=1时， m ′ ≠ n ′ m' \ne n' m′​=n′，该解析式描述的为椭圆。

对于环岛元素，设内环岛边缘为平面P上的圆。自然光线在P平面上的发生反射。由于物象距离较远，反射光可近似为平行光。根据摄像机的真空成像模型，反射光在详平面成像，即图像平面为H平面。因此，只需验证内环岛边缘微椭圆即可。

设椭圆一般方程为： F ( a , x ) = a ⋅ x = a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 F\left( {a,x} \right) = a \cdot x = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 F(a,x)=a⋅x=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

其中， a = [ a , b , c , d , e , f ] T a = \left[ {a,b,c,d,e,f} \right]^T a=[a,b,c,d,e,f]T

x = [ x 2 , x y , y 2 , x , y , 1 ] T x = \left[ {x^2 ,xy,y^2 ,x,y,1} \right]^T x=[x2,xy,y2,x,y,1]T

对于一个待拟合的离散点集合， X i = ( x , y ) X_i = \left( {x,y} \right) Xi​=(x,y)， F ( a , X i ) F\left( {a,X_i } \right) F(a,Xi​)表示点Xi到椭圆 F ( a , x ) F\left( {a,x} \right) F(a,x)的几何距离。

最小二乘法的目标是求取使得李散掉的几何距离最短的a，即最小化： D a = ∑ i = 1 N F ( a , X i ) 2 D_a = \sum\limits_{i = 1}^N {F\left( {a,X_i } \right)^2 } Da​=i=1∑N​F(a,Xi​)2

由于环岛内边缘投影为椭圆，而F(a,x)为广义圆锥曲线一般表达式，需要表示为添加约束条件，以保证你和结果仅为椭圆。即： 4 a c − b 2 = 1 4ac - b^2 = 1 4ac−b2=1

为了表达方便，将前面方程吧粗歘在：

a T C a = 1 a^T Ca = 1 aTCa=1

其中： c = [ 0 0 2 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] c = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\0 & { - 1} & 0 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\end{matrix} \end{bmatrix} c=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​00200​0−1000​20000​00000​00000​00000​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

故问题转换为最小化误差函数： E = ∥ D a ∥ 2 E = \left\| {Da} \right\|^2 E=∥Da∥2

约束条件为： a T C a = 1 a^T Ca = 1 aTCa=1

其中矩阵： D = [ X 1 X 2 ⋯ X N ] D = \left[ {X_1 X_2 \cdots X_N } \right] D=[X1​X2​⋯XN​]

对于一个离散点： X i = [ x 2 , x y , y 2 , x , y , 1 ] X_i = \left[ {x^2 ,xy,y^2 ,x,y,1} \right] Xi​=[x2,xy,y2,x,y,1]

根据拉格朗日乘子法，求解 z = f ( x , y ) z = f\left( {x,y} \right) z=f(x,y)在条件 ϕ ( x , y ) = 1 \phi \left( {x,y} \right) = 1 ϕ(x,y)=