1、序言
在工业自动化现场，经常会遇到恒压供水、恒温控制、恒速等技术要求的应用。在自动控制理论中，要实现这些技术，必须采用闭环控制。闭环控制是根据控制对象的输出反馈反馈进行校正的控制方法测量实际偏离计划时，根据定额或标准进行校正。例如，要控制电机的转速，必须有一个传感器来测量转速，并将结果反馈到控制路线上。说到闭环控制算法，不得不提PID，它是闭环控制算法中最简单的一种。PID是比例 (Proportion) 积分 ,(Integral) 微分 ,(Differential coefficient) 缩写代表三种控制算法。这三种算法的组合可以有效地纠正被控对象的偏差，从而达到稳定的状态。
2、PID控制原理
PID控制原理如下图所示：
PID控制的本质是根据输入的偏差值、比例、积分和微分的函数关系进行操作，用于控制输出。连续控制数学模型和离散控制数学模型如下：
在PLC在控制中，我们通常通过通信或模拟数量采集来获取数据，这需要一定的时间，所以数据内容是离散的，无法获得连续的数据参数接下来，我们将介绍离散公式PID三种控制算法的原理(当然本文介绍的原理只是作者个人理解的内容和实际情况PID控制原理可能偏差较大，仅供参考)。
假设需要设置几个参数和函数关系：
设定值：要实现的目标值记为A，设定目标值后，一般调整周期不变，是常数；
实际值：当前系统系统的实际数据B(k)，实际值是系统根据传感器收集的数据PID当控制开始运行时，实际值随时间变化；
偏差：设置值A和实际值B(k)两者之间的偏差，记为e(k)=A-B(k)；
公式中的表达式是其他参数。
2.1、比例控制
比例控制的离散数学模型是u(k)=Kp*e(k)，u(k)表示输出结果的实际值B(k)通过阶跃响应的例子，可以更清楚地了解比例控制的过程；
初始实际位置为0点，即B(0)=0,设定值A=1.偏差值e(0)=1，u(0)=Kp；当PID当控制器开始运行时，可以计算出每个调整周期的偏差值，例如：第一个周期B(1)=B(0) u(0)=Kp；e(1)=1-Kp；u(1)=Kp*(1-Kp)；第二个周期B(2)=B(1) u(1)=2Kp-Kp^2；e(2)=(1-Kp)^2；u(2)=Kp*(1-Kp)^2.以此类推，调整周期内的参数值如下表所示：
| 序号 | B(K) | A | e(k) | u(k) |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Kp |
| 1 | Kp | 1 | 1-Kp | Kp*(1-Kp) |
| 2 | 2Kp-Kp^2 | 1 | (1-Kp)^2 | Kp*(1-Kp)^2 |
| 3 | 3Kp-3Kp^2 Kp^3 | 1 | (1-Kp)^3 | Kp*(1-Kp)^3 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| n | 1-(1-Kp)^n | 1 | (1-Kp)^n | Kp*(1-Kp)^n |
闭环调整的最终目的是实际值=设定值，即偏差e(k)=0，根据表格可得，偏差e(n)=(1-Kp)^n，当n趋于无穷大时，通过数学关系分析，e(n)有三种状态(因为是比例控制，可以忽略Kp=0的情况）：
a、Kp>2或者Kp<0，此时1-Kp的绝对值>1，e(n)趋于正无限大或负无限大，即实际值与设定值偏差越来越大，调整失败；
b、Kp=2时，1-Kp=-1，则e(n)在1和1之间冲击，实际值永远达不到设定值；
c、0<Kp<2时，1-Kp的绝对值<1，e(n)趋于0，实际值可在误差范围内达到设定值。
通过以上分析，我们可以得出第一个结论：在调整过程中，比例系数需要设置在合理的范围内，否则a和b会产生震荡，永远达不到设定值。
在工业现场，许多情况下不允许超调，即实际值不能超过设定值，以防止设备过载损坏。因此，在选择比例参数时，只能控制在0和1之间。也就是说
e(n)=(1-Kp)^n，（0<Kp<=1）
先来讨论0<Kp<根据函数关系，可以得出1的情况，Kp值越大，e(n)接近0的趋势越快，但这种趋势不能完全使用e(n)=当然，在实际应用中，控制任务可以通过满足误差精度的要求来实现。这样，我们就可以得出比例参数pid调节的作用：比例参数大，可加快调节，能快速反应误差，从而减少稳态误差。但比例控制不能消除稳态误差。比例系数过大，导致系统稳定性下降，甚至导致系统不稳定。
再来讨论下Kp=1的情况，当Kp=1时，e(n)=0.这是一个非常理想的状态，即一步调整到位。然而，在实际应用中，它根本无法实现。如果可以实现，则无需使用控制器进行闭环调节，如锅炉温度，目前技术仍为30°直接到90°，，另一个例子是电机的转速不能从300开始rpm直接升至2000rpm等等。
比例参数的调整需要根据实际系统控制量与被控制量之间的关系来设置，如线性关系、非线性关系、正比例关系、反比例关系等，不能应用于确定的值。
2.2、积分控制
离散数学模型的积分控制是：
首先，从公式分析，在积分时间Tk内，有K个T周期，即T/Tk=1/k，求和公式是将Tk时间周期内的所有偏差值和记录为sum(k)，sum(k)/k算数平均值的计算方法记为avg(k)，然后可以将积分控制模型转换为u(k)=Kp*avg(k)；
在数理统计中，算数平均值是计算误差的一个重要参数，因此积分控制的作用我们就不难理解了：消除系统的静态误差。
从参数值的影响来看，积分时间越小，例如，Tk=1.然后我们可以发现u(k)=Kp*e(k)，它已成为一种比例控制。总的来说，积分控制是偏差平均值的比例控制。当积分和比例叠加时，如果积分时间很小，可以将其视为一种比例控制，比例系数2*Kp，在比例控制中，我们分析了比例参数的影响，即当2*Kp过大时，会产生较大的超调甚至震荡。在术语中，可以定义为积分饱和，因此积分时间不宜过小。
当积分时间趋于无限时，T/Tk在合理的比例参数下，e(n)的值趋于0，所以sum(k)会趋于恒定值，所以当Tk当价值选择无限大时，avg(k)=0，即u(k)=积分效果很小，甚至没有。
因此，积分参数的作用是消除系统的静态误差，但积分时间的选择不能太小，太小会导致积分饱和，导致响应过程过度超调。积分时间不能太大，太大不能消除系统的静态误差、阴影系统调节精度。当然，在某些理想状态下，不存在系统静态误差，则可以不用积分控制。
2.3、微分控制
微分控制的离散数学模型为：
首先我们需要理解微分的含义，e(k)是当前周期的偏差值，e(k-1)是上个周期的偏差值，而T是一个周期，（e(k)-e(k-1))/T就可以理解为单位周期内偏差值的变化，即偏差值变化速度的定义，用连续模型可以更直观的理解，d(e(t))/dt就是速度的计算方法。那么有了微分控制，系统调节过程中的变化速率就可以进行调整了。这就是微分控制的作用：改善系统的动态特性，在响应过程中抑制偏差变化方向的改变。
再看其参数的影响，微分作用是在产生误差之前，预先发现有产生误差的趋势时就开始调节，是提前控制，可以最大限度地减少动态误差，使系统控制效果更好。但是微分作用只能作为比例和积分控制的一种补充作用不能起到主导作用。微分作用也不能太强，当微分时间Td过大时，会使系统提前制动，延长调整时间，甚至也会引起系统的不稳定而产生振荡。
3、综述
通过以上内容，我们对PID离散模型有了一个基本的概念，各PID参数的作用分析如下：
a、比例参数的作用：增加系统的响应速度，提高系统的调节精度，但比例参数需要在合理区间内，在区间内，比例系数越大，反应越快，精度越高。在区间外的比例参数会导致系统震荡，不稳定。且比例控制无法消除静态误差，如果系统中存在静态误差，需要配合积分控制使用。
b、积分参数的作用：消除系统的静态误差。但积分时间的选取不能过小，过小会导致积分饱和，引起响应过程的过大超调。积分时间又不能过大，过大则无法消除系统静态误差，影响系统调节精度。
c、微分参数的作用：改善系统的动态特性，微分作用也不能太强，会使系统提前制动，延长调整时间，甚至也会引起系统的不稳定而产生振荡。微分作用只能作为比例和积分控制的一种补充作用不能起到主导作用。
d、三个参数中，比例参数起最主要的作用，但在实际应用中，需要2-3个参数配合，且3个参数各自都需要在合理的范围内，因此在调节时需要根据系统情况和调整曲线不断调整参数，以达到需要的曲线。也就是说我们在调PID参数的过程也是一个PID的控制，是不是很意外呢。
e、关于PID的调整方法，网上有不少的内容，也存在各自的差异，但综合第一步都是先调好比例控制，再去调整积分和微分，这也符合比例参数的主导地位。具体的调整方法需要根据系统和响应，再结合个人经验去试验，说难听点属于凑参数，嘿嘿。
4、备注
以上是作者对于离散PID数学模型的分析，鉴于个人学识和使用经验有限，对这个数学模型的理解可能有些片面，甚至有较大偏差，希望可以跟大家多多交流，也希望有深入研究的大佬批评指正！！接下来我将通过Codesys对以上理解的内容进行验证和仿真，预计下周可以出结果，希望大家多多支持，谢谢！！