将多项式因式分解成以下形式： f ( s ) = K ∏ ( s z i ) ∏ ( s p j ) f(s)=K\frac{\prod_{}{(s z_i)}}{\prod_{}{(s p_j)}} f(s)=K∏(s pj)∏(s zi​)​

注： (1) z i z_i zi​, z j z_j zj​可以以复数形式表达 (2) z i z_i zi​称为表达式零点， z j z_j zj​称为表达式极点 下面我们给出拆解表达式的两种方法。

此方法可以将表达式拆为形式如下

f ( s ) = K ∑ K j ( s + p j ) n f(s)=K\sum_{}\frac{K_j}{(s+p_j)^n} f(s)=K∑​(s+pj​)nKj​​

(1)对于分母无重根情况 对应该项可拆为一项即 n = 1 n=1 n=1阶项

对应各项： n = 1 n=1 n=1 K j = ( s + p j ) f ( s ) 原形式 ∣ s = − p j K_j=({s+p_j})f(s)_{原形式}|_{s=-p_j} Kj​=(s+pj​)f(s)原形式​∣s=−pj​​

(2)对于分母某一项含有二重根情况 对应该项可拆为两项即 n = 2 n=2 n=2和 n = 1 n=1 n=1阶项

1) n = 2 n=2 n=2时 K j 2 = ( s + p j ) 2 f ( s ) 原形式 ∣ s = − p j K_{j_2}=(s+p_j)^2f(s)_{原形式}|_{s=-p_j} Kj2​​=(s+pj​)2f(s)原形式​∣s=−pj​​

2) n = 1 n=1 n=1时 K j 1 = [ ( s + p j ) 2 f ( s ) 原形式 ] ′ ∣ s = − p j K_{j_1}=[(s+p_j)^2f(s)_{原形式}]'|_{s=-p_j} Kj1​​=[(s+pj​)2f(s)原形式​]′∣s=−pj​​

(3)对于分母某一项含有三重根情况 对应该项可拆为三项即 n = 3 n=3 n=3、 n = 2 n=2 n=2和 n = 1 n=1 n=1阶项

1) n = 3 n=3 n=3时 K j 3 = ( s + p j ) 3 f ( s ) 原形式 ∣ s = − p j K_{j_3}=(s+p_j)^3f(s)_{原形式}|_{s=-p_j} Kj3​​=(s+pj​)3f(s)原形式​∣s=−pj​​

2) n = 2 n=2 n=2时 K j 2 = [ ( s + p j ) 3 f ( s ) 原形式 ] ′ ∣ s = − p j K_{j_2}=[(s+p_j)^3f(s)_{原形式}]'|_{s=-p_j} Kj2​​=[(s+pj​)3f(s)原形式​]′∣s=−pj​​

2) n = 1 n=1 n=1时 K j 1 = [ 1 2 ( s + p j ) 3 f ( s ) 原形式 ] ′ ′ ∣ s = − p j K_{j_1}=[\frac{1}{2}(s+p_j)^3f(s)_{原形式}]''|_{s=-p_j} Kj1​​=[21​(s+pj​)3f(s)原形式​]′′∣s=−pj​​

最后，有了上述例子，给出对于任意n重根，第m阶项： K m = [ 1 m ! ( s + p j ) n f ( s ) 原形式 ] ( m ) ∣ s = − p j K_m=[\frac{1}{m!}(s+p_j)^nf(s)_{原形式}]^{(m)}|_{s=-p_j} Km​=[m!1​(s+pj​)nf(s)原形式​](m)∣s=−pj​​ 其系数为求导次数的阶乘的倒数 但考试时大多数为三重根及一下的情况

将函数 f ( s ) f(s) f(s)化为下列形式：

f ( s ) = ∑ j = 0 m b j s m − j ∑ i = 0 n a i s n − i f(s)=\frac{\sum_{j=0}^mb_js^{m-j}}{\sum_{i=0}^na_is^{n-i}} f(s)=∑i=0n​ai​sn−i∑j=0m​bj​