D n = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ = Σ ( ? 1 ) t ( p 1 p 2 . . . p n ) a 1 p 1 a 2 p 2 . . . a n p n = Σ ( ? 1 ) t ( p 1 p 2 . . . p n ) a p 1 1 a p 2 2 . . . a p n n \begin{aligned} D_n= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} &=\Sigma(-1)^{t(p_1p_2...p_n)} a_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n} \\ &=\Sigma(-1)^{t(p_1p_2...p_n)} a_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn} \end{aligned} Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​​=Σ(−1)t(p1​p2​...pn​)a1p1​​a2p2​​...anpn​​=Σ(−1)t(p1​p2​...pn​)ap1​1​ap2​2​...apn​n​​ 行列式定义计算：不同行不同列选取元素做乘积再做和。式子1按照列标排序，即每一行选取不同列数的元素做乘积再做和（见下方公式）。按照行标准排序，则保持列不变，变动行。 （个数的话就是排列组合，以免算错。比如有三列，那摆在第一个的可以是三列中任意一列，第二个只有两列中任意一列，所以是3 X 2 X 1 = 6） D n = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ( − 1 ) t ( 123 ) a 11 a 22 a 33 + ( − 1 ) t ( 132 ) a 11 a 23 a 32 + ( − 1 ) t ( 213 ) a 12 a 21 a 33 + ( − 1 ) t ( 231 ) a 12 a 23 a 31 + ( − 1 ) t ( 312 ) a 13 a 21 a 32 + ( − 1 ) t ( 321 ) a 13 a 22 a 31 \begin{aligned} D_n= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{vmatrix} &=(-1)^{t(1 2 3)} a_{11}a_{22}a_{33} + (-1)^{t(132)} a_{11}a_{23}a_{32} + (-1)^{t(213)} a_{12}a_{21}a_{33} \\&+ (-1)^{t(231)} a_{12}a_{23}a_{31} + (-1)^{t(312)} a_{13}a_{21}a_{32} + (-1)^{t(321)} a_{13}a_{22}a_{31} \end{aligned} Dn​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​​=(−1)t(123)a11​a22​a33​+(−1)t(132)a11​a23​a32​+(−1)t(213)a12​a21​a33​+(−1)t(231)a12​a23​a31​+(−1)t(312)a13​a21​a32​+(−1)t(321)a13​a22​a31​​ 其中， t ( p 1 p 2 . . . p n ) t(p_1p_2...p_n) t(p1​p2​...pn​)为逆序数，当前数字后面有多少比当前数字小的数字之和。以 t ( 213 ) t(213) t(213) 为例，在2后面比2小的只有一个1，在1后面比1小的没有，在3后面比3小的没有，所以 t ( 213 ) = 1 + 0 + 0 t(213)=1+0+0 t(213)=1+0+0。

例1：