02 复杂网络分析的基本概念
- 2.1.复杂网络的表达方式
- 2.2.度、平均度、度分布
- 2.3.路径、距离和介数
- 2.4.集聚系数
- 2.5.网络稀疏性和联通性
- 2.6.度相关性
- 2.7.富人俱乐部
- 2.8.有向网络
- 2.9.加权网络
2.1复杂网络的表达方式
哥尼斯堡七桥问题 1736年 欧拉定理
若图中有两个以上的奇数度节点，则无路径；若图为连接，且无奇数度节点，则至少有一条路径。
- 网络的可视化表达 图表达
| 组成部分 | 节点，顶点 | N=6 |
|---|---|---|
| 相互作用 | 连边，边 | L=5 |
| 系统 | 网络，图 | (N,L) |
节点，顶点之间的相互作用，表达成连边或者是边，如此，网络变成了一个系统。该系统是由节点与节点之间相互作用抽象出来的连边所构成的 2. 集合表达
V V V 点集 { \{ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 } \} } E E E 边集 { \{ { e e e 1 1 1 , , , e e e 2 2 2, e e e 3 3 3 , , , e e e 4 4 4 , , , e e e 5 5 5, } \} }
网络 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E),由点集 V ( G ) V(G) V(G)和边集 E ( G ) E(G) E(G)组成一个图，可分为无向、有向和加权网络 令 e ∈ E ( G ) e∈E(G) e∈E(G),每条边 e e e i i i有 V ( G ) V(G) V(G)中的一对点 ( u , v ) (u,v) (u,v)与之对应；如果任意 ( u , v ) (u,v) (u,v)与 ( v , u ) (v,u) (v,u)对应同一条边，则称无向网络，否则成为有向网络；如果任意 ∣ e |e ∣e i i i ∣ | ∣ = 1 =1 =1,则称无权网络，否则称为加权网络。 3. 链接矩阵
{ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 } (A) \begin{Bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 &0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 &0 \\ \end{Bmatrix} \tag{A} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧001000001000110100001011000100000100⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫(A) 两个节点之间有边存在所对应的位置取值为1 无边则放0 在链接矩阵基础上，构造Laplace矩阵 L = K − A L=K-A L=K−A; A A A为网络链接矩阵， K K K为对角矩阵，对角线上的元素对应的网络中各个节点的度。 链接矩阵及其对应的拉普拉斯矩阵的特征值和特征谱分析可以提供帮助。
网络是一个由多个节点组成的集合，节点之间有一定的连接。 拓扑指的是节点之间相互联系的模式
| 实例 | 节点 | 连接 |
|---|---|---|
| 国际互联网 | 路由器 | 光纤 |
| 科学引用网 | 文章 | 文章引用 |
| 社会网络 | 个体人 | 人际关系 |
2.2度、平均度、度分布
- 度
- 节点的度：与节点直接相连的连边数
- 通常，节点的度值是一个离散型随机变量，在计算中主要涉及以下统计量
- 均值
- 方差
- 标准差
- n阶矩
- x的分布
- 平均度